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1、 静定平面桁架本章内容本章内容 桁架的特点及分桁架的特点及分类类，结结点法、截面法及其点法、截面法及其联联合合应应用，用，对对称性的利用，几种梁式桁架的受力特点，称性的利用，几种梁式桁架的受力特点，组组合合结结构的构的计计算。算。目的要求目的要求 1. 了解桁架的受力特点及其分了解桁架的受力特点及其分类类。 2. 熟熟练练运用运用结结点法和截面法点法和截面法计计算桁架内力。算桁架内力。 3. 掌握掌握组组合合结结构的构的计计算方法。算方法。 1 平面桁架计算简图 1. 特点及特点及组组成成 所有所有结结点都是点都是铰结铰结点，在点，在结结点荷点荷载载作用下，各杆内作用下，各杆内力中只有力中只有
2、轴轴力。截面上力。截面上应应力分布均匀，可以充分力分布均匀，可以充分发挥发挥材材料的作用。因此，桁架是大跨度料的作用。因此，桁架是大跨度结结构中常用的一种构中常用的一种结结构构形式。在形式。在桥桥梁及房屋建筑中得到广泛梁及房屋建筑中得到广泛应应用。用。 图5-1 2 2计计算算简图简图中引用的基本假定中引用的基本假定（1）桁架中的各）桁架中的各结结点都是光滑的理想点都是光滑的理想铰结铰结点。点。（2）各杆）各杆轴线轴线都是直都是直线线，且在同一平面内并通，且在同一平面内并通过铰过铰的中心。的中心。（3）荷）荷载载及支座反力都作用在及支座反力都作用在结结点上且在桁架平面内。点上且在桁架平面内。
3、上述假定，保上述假定，保证证了桁架中各了桁架中各结结点均点均为铰结为铰结点，各杆内只有点，各杆内只有轴轴力，都是二力杆。符合上述假定的桁架，是理想桁架。力，都是二力杆。符合上述假定的桁架，是理想桁架。实实际际桁架与上述假定是有差桁架与上述假定是有差别别的。如的。如钢钢桁架及桁架及钢钢筋混凝土桁架筋混凝土桁架中的中的结结点都具有很大的点都具有很大的刚刚性。此外，各杆性。此外，各杆轴线轴线也不可能也不可能绝对绝对平直，也不一定正好都平直，也不一定正好都过铰过铰中心，荷中心，荷载载也不完全作用在也不完全作用在结结点点上等等。但工程上等等。但工程实实践及践及实验实验表明，表明，这这些因素所些因素所产产
4、生的生的应应力是力是次要的，称次要的，称为为次次应应力力。按理想桁架。按理想桁架计计算的算的应应力是主要的，称力是主要的，称为为主主应应力力。本。本节节只只讨论产讨论产生主生主应应力的内力力的内力计计算。算。 3 3名名词词解解释释 桁架的杆件按其所在位桁架的杆件按其所在位置置分分为为弦杆弦杆和和腹杆腹杆。弦杆又分。弦杆又分为为上弦杆上弦杆和和下弦杆下弦杆腹杆也分腹杆也分为为斜杆斜杆和和竖竖杆杆，如，如图图5-3所所示。两支座之示。两支座之间间的水平距离的水平距离l称称为为跨度跨度，支座，支座联线联线至桁架至桁架最高点的距离最高点的距离H称称为为桁高桁高。弦杆上相弦杆上相邻邻两两结结点之点之间
5、间的区的区间间称称为为节间节间，其，其间间距距d称称为为节节间长间长度度。 图5-3 4 4桁架的分桁架的分类类： (1) 按几何外形分按几何外形分 1） 平行弦桁架、平行弦桁架、2） 折弦桁架、折弦桁架、3） 三角形桁架，分三角形桁架，分别别 如如图图5-4(a)、(b)、(c)所示。所示。 (2) 按有无水平支座反力分按有无水平支座反力分 1）梁式桁架）梁式桁架 如如图图5-4(a)、(b)、(c)所示。所示。 2）拱式桁架）拱式桁架 如如图图5-4(d)所示。所示。 (3) 按几何按几何组组成分成分 1) 简单简单桁架桁架 由一个基本由一个基本铰结铰结三角形开始，依次增加二元三角形开始，
6、依次增加二元 体体组组成的桁架，如成的桁架，如图图5-4(a)、(b)、(c)所示。所示。 2) 联联合桁架合桁架 由几个由几个简单简单桁架按几何不桁架按几何不变变体系的体系的简单组简单组成成 规则规则而而联联合合组组成的桁架，如成的桁架，如图图5-4(d)、(e)所示。所示。 3) 复复杂杂桁架桁架 不属前两种方式不属前两种方式组组成的其他桁架，如成的其他桁架，如图图5-4(f) 所示。所示。 5图5-4 65-2 结点法 桁架桁架计计算一般是先求支座反力后算一般是先求支座反力后计计算内力。算内力。计计算内力算内力时时可截取桁架中的一部分可截取桁架中的一部分为为隔离体，根据隔离体的平衡条件隔
7、离体，根据隔离体的平衡条件求解各杆的求解各杆的轴轴力。如果截取的隔离体包含两个及以上的力。如果截取的隔离体包含两个及以上的结结点，点，这这种方法叫种方法叫截面法截面法。如果所取隔离体。如果所取隔离体仅仅包含一个包含一个结结点，点，这这种方法叫种方法叫结结点法点法。 当取某一当取某一结结点点为为隔离体隔离体时时，由于，由于结结点上的外力与杆件内点上的外力与杆件内力力组组成一平面成一平面汇汇交力系，交力系，则则独立的平衡方程只有两个，即独立的平衡方程只有两个，即Fx=0，Fy=0。可解出两个未知量。因此，在一般情况。可解出两个未知量。因此，在一般情况下，用下，用结结点法点法进进行行计计算算时时，其
8、上的未知力数目不宜超，其上的未知力数目不宜超过过两两个，以避免在个，以避免在结结点之点之间间解解联联立方程。立方程。 结结点法用于点法用于计计算算简单简单桁架很方便。因桁架很方便。因为简单为简单桁架是依次桁架是依次增加二元体增加二元体组组成的。每个二元体只包含两个未知成的。每个二元体只包含两个未知轴轴力的力的杆，完全可由平衡方程确定。杆，完全可由平衡方程确定。计计算算顺顺序按几何序按几何组组成的相反成的相反次序次序进进行，即从最后一个二元体开始行，即从最后一个二元体开始计计算。算。7 桁架杆件内力的符号桁架杆件内力的符号规规定：定：轴轴力以使截面受拉力以使截面受拉为为正，受正，受压为负压为负。
9、在取隔离体。在取隔离体时时，轴轴力均先假力均先假设为设为正。即正。即轴轴力方向力方向用离开用离开结结点表示。点表示。计计算算结结果果为为正，正，则为则为拉力；反之，拉力；反之，则为则为压压力。力。 桁架中常有一些特殊形式的桁架中常有一些特殊形式的结结点，掌握点，掌握这这些特殊些特殊结结点点的的平衡条件，可使平衡条件，可使计计算大算大为简为简化。把内力化。把内力为为零的杆件称零的杆件称为为零零杆杆。 (1) L型型结结点点。不在一直不在一直线线上的两杆上的两杆结结点，当点，当结结点不受外点不受外力力时时，两杆均，两杆均为为零杆，如零杆，如图图5-5(a)所示。若其中一杆与外所示。若其中一杆与外力
10、力F共共线线，则则此杆内力与外力此杆内力与外力F相等，相等， 另一杆另一杆为为零杆，如零杆，如图图5-5(d)所示。所示。 (2) T型型结结点点。两杆在同一直两杆在同一直线线上的三杆上的三杆结结点，当点，当结结点不点不受外力受外力时时，第三杆，第三杆为为零杆，如零杆，如图图5-5(b)所示。若外力所示。若外力F与第与第三杆共三杆共线线，则则第三杆内力等于外力第三杆内力等于外力F，如，如图图5-5(e)所示。所示。 8图5-5(3) X型型结结点点。四杆结点两两共线，如图5-5(c)所示，当结点不受外力时，则共线的两杆内力相等且符号相同。(4) K型型线线点点。这也是四杆结点，其中两杆共线，另
11、两杆在该直线同侧且与直线夹角相等，如图5-5(f)所示，当结点不受外力时，则非共线的两杆内力大小相等但符号相反。 9 以上以上结论结论，均可取适当的坐，均可取适当的坐标标由投影方程得出。由投影方程得出。 应应用上述用上述结论结论可判定出可判定出图图5-6(a)、(b)、(c)所示所示结结构中构中虚虚线线各杆均各杆均为为零杆。零杆。这这里所里所讲讲的零杆是的零杆是对对某种荷某种荷载载而言而言的，当荷的，当荷载变载变化化时时，零杆也随之，零杆也随之变变化，如化，如图图5-6(b)、(c)所所示。此示。此处处的零杆也决非多余的零杆也决非多余联联系。系。图5-6 10 例例5-1 用用结结点法点法计计
12、算算图图5-7(a)所示桁架各杆的内力。所示桁架各杆的内力。 解解：该该桁架桁架为简单为简单桁架，桁架，由由于桁架及荷于桁架及荷载载都都对对称，故可称，故可计计算其中的一半杆件的内力，最算其中的一半杆件的内力，最后由后由结结点点C的平衡条件的平衡条件进进行校行校核。核。 1.计计算支座反力。算支座反力。 Fx = 0, FAx = 0由由对对称性可知称性可知 FAy = FBy = (2+4+2)/2 = 4 kN ()图5-7 112.内力内力计计算。算。(1) 取取结结点点A为为隔离体，如隔离体，如图图5-7(b)所示。所示。 Fy = 0, FNAE = -4 = -5.66 kN Fx
13、 = 0, FNAD+FNAE /2 = 0 FNAD = -(-4 ) /2 = 4 kN(2) 取取结结点点D为为隔离体，如隔离体，如图图5-7(c)所示。所示。 Fx = 0, FNDC = 4 kN； Fy = 0, FNDE = 2 kN (3) 取取结结点点E为为隔离体，如隔离体，如图图5-7(d)所示。所示。 Fy = 0, 4 /2-2-FNEC /2 = 0, FNEC = 2 = 2.83 kN Fx = 0, FNEG+FNEC /2+4 /2 = 0, FNEG = -2 /2-4 = -6 kN(4) 由由对对称性可知另一半桁架杆件的内力。称性可知另一半桁架杆件的内力
14、。(5) 校核。校核。 取取结结点点C为为隔离体，如隔离体，如图图5-7(e)所示。所示。 Fx = 4+2 /2-2 /2-4 = 0 Fy = 2 /2+2-4 = 0C结结点平衡条件点平衡条件满满足，故知内力足，故知内力计计算无算无误误。 125-3 截面法 用截面法用截面法计计算内力算内力时时，由于隔离体上所作用的力，由于隔离体上所作用的力为为平平面一般力系，故可建立三个平衡方程。若隔离体上的未知面一般力系，故可建立三个平衡方程。若隔离体上的未知力数目不超力数目不超过过三个，三个，则则可将它可将它们们全部求出，否全部求出，否则则需利用解需利用解联联立方程的方法才能求出所有未知力。立方程
15、的方法才能求出所有未知力。为为此，可适当此，可适当选选取取矩心及投影矩心及投影轴轴，利用力矩法和投影法，尽可能使建立的平，利用力矩法和投影法，尽可能使建立的平衡方程只包含一个未知力，以避免解衡方程只包含一个未知力，以避免解联联立方程。立方程。 例例5-2 用截面法用截面法计计算算图图5-8(a)所示桁架中所示桁架中a、b、c、d各各杆的内力。杆的内力。 解解： 1.求支座反力。求支座反力。 由由对对称性可知：称性可知： FA = FB = (10+205+10)/2 = 60 kN ()13图5-8 14 2.计计算各杆内力。算各杆内力。 (1)作截面作截面-，如，如图图5-8(a)所示，取左
16、部分所示，取左部分为为隔离隔离体，如体，如图图5-8(b)所示。所示。为为求求a杆内力，可以杆内力，可以b、c两杆的交点两杆的交点E为为矩心，由方程矩心，由方程ME = 0，得，得 603-103-FNa3 = 0， FNa = 50 kN (2) 求上弦杆求上弦杆c的内力的内力时时，以，以a、b两杆的交点两杆的交点D为为矩心，矩心，此此时时要要计计算算FNc的力臂不太方便，的力臂不太方便，为为此将此将FNc分解分解为为水平和水平和竖竖直方向的两个分力。直方向的两个分力。则则各分力的力臂均各分力的力臂均为为已知。已知。 由由MD=0，得，得 (FNc1/ )3+(FNc3/ )3+606-10
17、6-203=0 FNc = -20 = -63.2 kN15 (3) 求求b杆内力杆内力时时，应应以以a、c两杆的交点两杆的交点O为为矩心，矩心，为为此，此，应应求出求出OA之之间间的距离，的距离，设为设为x，由比例关系：，由比例关系： 可得，可得， x = 6m 同同样样，将，将FNb在在E点分解点分解为为水平和水平和竖竖直方向的两个分力，直方向的两个分力，由由MO = 0，得，得 (FNb /2)9+( FNb /2)3+106+209 - 606 = 0 FNb = 10 = 14.1 kN (4) 为为求求FNd，作截面，作截面-，取左部分，取左部分为为隔离体，如隔离体，如图图5-8(
18、a)、(c)所示。因被截断的另两杆平行，故采用投所示。因被截断的另两杆平行，故采用投影方程影方程计计算。由算。由Fy = 0，得，得 FNd4/5+60-10-20-20 = 0 FNd = -105/4 = -12.5 kN16 如前所述，用截面法求桁架内力如前所述，用截面法求桁架内力时时，应应尽量使截断的杆件不超尽量使截断的杆件不超过过三三根，根，这样这样所截杆件的内力均可利用同一隔离体求出。特殊情况下，所作所截杆件的内力均可利用同一隔离体求出。特殊情况下，所作截面截面虽虽然截断了三根以上的杆件，但只要在被截各杆中，除一根外，其然截断了三根以上的杆件，但只要在被截各杆中，除一根外，其余各杆
19、余各杆汇汇交于同一点或互相平行，交于同一点或互相平行，则该则该杆的内力仍可首先求出。杆的内力仍可首先求出。 例如例如图图5-9(a)所示桁架中，作截面所示桁架中，作截面-，由，由MC=0，可求出，可求出a杆内杆内力。又如力。又如图图5-9(b)所示桁架中，作截面所示桁架中，作截面-，由，由X = 0，可求出，可求出b杆内杆内力。力。图图5-10所示的工程上多采用的所示的工程上多采用的联联合桁架，一般宜用截面法将合桁架，一般宜用截面法将联联合杆合杆DE的内力求出。即作的内力求出。即作-截面，取左部分或右部分截面，取左部分或右部分为为隔离体，由隔离体，由MC=0求出求出FNDE。这样这样左、右两个
20、左、右两个简单简单桁架就可用桁架就可用结结点法来点法来计计算。算。 图5-9 图5-10 17截面法和结点法的联合应用 结结点法和截面法是点法和截面法是计计算桁架内力的两种基本方法。两算桁架内力的两种基本方法。两种方法各有所种方法各有所长长，应应根据具体情况灵活根据具体情况灵活选选用。用。 例例5-3 试试求求图图5-11所示桁架中所示桁架中a、b及及c杆的内力。杆的内力。 解解：从几何：从几何组组成看，桁架中的成看，桁架中的AGB为为基本部分，基本部分，EHC为为附属部分。附属部分。 (1) 作截面作截面-，取右部分，取右部分为为隔离体，由隔离体，由MC=0，得，得 FNad + Fd =
21、0 FNa = -F (2) 取取结结点点G为为隔离体，由隔离体，由Fy = 0，得，得 FNc = -F 由由Fx = 0，得，得 FNFG = FNa = -F (3) 作截面作截面-，取左部分，取左部分为为隔离体，由隔离体，由MA=0，得，得 FNb d+Fd-Fd = 0， FNb = 0 18例例5-4 求求图图5-12所示桁架中所示桁架中a杆的内力。杆的内力。解解： 1.求支座反力。求支座反力。 MB = 0, FA=(2015+2012+209) /18=40kN() MA = 0, FB=20 kN() 校核校核;Fy=40+20-20-20-20 = 0故知反力故知反力计计算
22、无算无误误。2.计计算算a杆内力。杆内力。(1)作作-截面，取左部分截面，取左部分为为隔离体，由隔离体，由MF=0，得：，得： FNHC4-203-403 = 0， FNHC = 45 kN。 图5-12 图5-11 19(2)取取结结点点H为为隔离体，由隔离体，由Fx = 0， 得：得：FNGH =FNHC = 45 kN (3) 作截面作截面-，仍取左部分，仍取左部分为为隔离体，由隔离体，由MF = 0，得，得 FNa3/ 4+454-403 = 0， FNa = -5 = -18.0 kN 在在该题该题中，若取截面中，若取截面-所截取的一部分所截取的一部分为为隔离体隔离体(图图5-12)
23、，由于，由于ED杆杆为为零，零，FNED = 0。由平衡方程由平衡方程MC = 0，可得，可得 FNa2/ 3+FNa3/ 2+203 = 0， FNa = -5 = -18.0 kN可可见见，按后一种方法，按后一种方法计计算更算更简单简单。20 组合结构的计算 组组合合结结构是指由构是指由链链杆和受弯杆和受弯为为主的梁式杆主的梁式杆组组成的成的结结构。构。链链杆只受杆只受轴轴力作用，梁式杆除受力作用，梁式杆除受轴轴力外，力外，还还要受弯要受弯矩、剪力的作用。用截面法矩、剪力的作用。用截面法计计算算组组合合结结构内力构内力时时，为为了使了使隔离体上的未知力不致隔离体上的未知力不致过过多，多，应
24、应尽量避免截断受弯杆件。尽量避免截断受弯杆件。因此，因此，计计算算组组合合结结构的步构的步骤骤一般是先求支座反力，然后一般是先求支座反力，然后计计算各算各链链杆的杆的轴轴力，最后力，最后计计算受弯杆的内力。算受弯杆的内力。 例例5-5 求求图图5-13(a)所示所示组组合合结结构各杆的构各杆的轴轴力，作受弯杆力，作受弯杆的的M、FS图图。 解解：1.计计算支座反力。算支座反力。 MB = 0, FA = (2063)/12 = 30 kN() MA = 0, FB = (2069)/12 = 90 kN()校核：校核： Fy = 30+90-206 = 0故知反力故知反力计计算无算无误误。21
25、 2.求求链链杆内力。杆内力。 (1) 作截面作截面-，拆开，拆开铰铰C及截断及截断DE杆，取左杆，取左边为边为隔离隔离体，由体，由MC = 0，得，得 FNDE3-306 = 0， FNDE = 60 kN (2) 取取结结点点D、E为为隔离隔离体，由平衡条件体，由平衡条件Fx=0、Fy = 0可求得各可求得各链链杆杆轴轴力如力如图图5-13(a)所示。所示。图5-13 22 3.计计算受弯杆内力。算受弯杆内力。 (1) 取出取出CB杆杆为为隔离体，如隔离体，如图图5-13(b)所示。由平衡条所示。由平衡条件件可得可得 FCH = 60 kN()， FCV =3 0 kN()据此可作出据此可作出CB杆的弯矩杆的弯矩图图及剪力及剪力图图。 (2) AC杆的内力可与杆的内力可与CB杆相同的方法求得。最后受弯杆相同的方法求得。最后受弯杆的弯矩杆的弯矩图图及剪力及剪力图图如如图图5-13(c)、(d)所示。所示。23
