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1、学案学案学案学案5 5 和角公式、倍角公式和半角公式和角公式、倍角公式和半角公式和角公式、倍角公式和半角公式和角公式、倍角公式和半角公式填填知学情填填知学情填填知学情填填知学情课内考点突破课内考点突破课内考点突破课内考点突破规规规规 律律律律 探探探探 究究究究考考考考 纲纲纲纲 解解解解 读读读读考考考考 向向向向 预预预预 测测测测返回目录返回目录 考考考考 纲纲纲纲 解解解解 读读读读两角和与两角和与差的正弦、差的正弦、余弦和正余弦和正切公式切公式(1)(1)会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. . (2)(2)会用两角差的余弦公式推导出两角差的
2、正弦、会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式正切公式. .(3)(3)会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系式，了解它们的内在联系. .考考考考 向向向向 预预预预 测测测测 在选择题、填空题以及解答题中出现最多的题型在选择题、填空题以及解答题中出现最多的题型就是三角求值问题就是三角求值问题.解答这类题目需要重视应用三角公解答这类题目需要重视应用三角公式对三角式进行变换，需要有熟练的恒等变形能力，式对三角式进行变换，需要有熟练的恒等变形能
3、力，故求值题仍将是今后命题的重点内容故求值题仍将是今后命题的重点内容.返回目录返回目录 返回目录返回目录 1.cos(-)=coscos+sinsin(C(-) cos(+)= (C (+) ) sin(-)=sincos-cossin(S (-) ) sin(+)= (S (+) ) tan(-)= (T (-) ) tan(+)= (T (+) )coscos-sinsin sincos+cossin 前面前面4个公式对任意的个公式对任意的,都成立都成立,而后面两个公式成而后面两个公式成立的条件是立的条件是k+ ,k+ ,k Z,且且+k+ (T(+)需满足需满足),-k+ (T(-)需满
4、足需满足)k Z时成立时成立,否否则是不成立的则是不成立的.当当tan,tan或或tan()的值不存在时的值不存在时,不能不能使用公式使用公式T ()处理有关问题处理有关问题,应改用诱导公式或其它方法应改用诱导公式或其它方法求解求解. 2.要辨证地看待和角与差角要辨证地看待和角与差角,根据需要根据需要,可以进行适当可以进行适当的变换的变换: =(+)-,=(-)+,2=(+)+(-),2=(+)-(-)等等.返回目录返回目录 返回目录返回目录 3.二倍角公式二倍角公式sin2= ;cos2= = = ;tan2= .4.半角公式半角公式sin = ;cos = ;tan = .2sincos
5、cos2-sin2 2cos2-1 1-2sin2 5.函数函数f()=acos+bsin(a,b为常数为常数),可以化为可以化为f()= 或或f()= ,其中其中 可由可由a,b的值唯一确的值唯一确定定.返回目录返回目录 【分析【分析【分析【分析】注意角之间的关系注意角之间的关系,切化弦切化弦,从题设代数式从题设代数式联系与三角函数公式结构的差异联系与三角函数公式结构的差异,寻找解题思路寻找解题思路,同时将同时将非特殊角转化为特殊角或通过约分消掉非特殊角转化为特殊角或通过约分消掉.考点考点考点考点1 1 三角函数的化简求值三角函数的化简求值三角函数的化简求值三角函数的化简求值 求求2sin5
6、0+sin10(1+ tan10)的值的值.返回目录返回目录 【解析解析解析解析】原式原式= 2sin50+sin10(1+ ) sin80=(2sin50+sin10 ) sin80=(2sin50+2sin10 ) cos10=(2sin50+ ) cos10= 2cos10=2 sin60=2 = .返回目录返回目录 对于给角求值问题对于给角求值问题,往往所给角都是非特殊角往往所给角都是非特殊角,解决解决这类问题的基本思路有这类问题的基本思路有: (1)化为特殊角的三角函数值化为特殊角的三角函数值; (2)化为正、负相消的项，消去求值；化为正、负相消的项，消去求值； (3)化分子、分母出
7、现公约数进行约分求值化分子、分母出现公约数进行约分求值. 返回目录返回目录 求下列各式的值求下列各式的值:（1） ;（2）返回目录返回目录 (1)原式原式 返回目录返回目录 （2）原式）原式 返回目录返回目录 已知已知tan=- ,cos= , (0,).(1)求求tan(+)的值；的值；(2)求函数求函数f(x)= sin(x-)+cos(x+）的最大值）的最大值.考点考点考点考点2 2 三角函数的给值求值问题三角函数的给值求值问题三角函数的给值求值问题三角函数的给值求值问题 【分析【分析】 (1)先求出先求出tan的值的值,再求再求tan(+)的值的值.(2)求出求出,的正、余弦，再展开化
8、简的正、余弦，再展开化简.返回目录返回目录 【解解析析】(1)由由cos= ,=(0,),得得sin= ,tan=2,所所以以tan(+)= =1.(2)因因为为tan=- , (0,),所所以以sin= ,cos=- ,f(x)=- sinx- cosx+ cosx- sinx=- sinx.所所以以f(x)的的最最大大值值为为.返回目录返回目录 对于给值求值问题对于给值求值问题,即由给出的某些角的三角函数即由给出的某些角的三角函数的值的值 , 求另外一些角的三角函数值求另外一些角的三角函数值,关键在于关键在于“变角变角”，使使“所求角所求角”变为变为“已知角已知角”，若角所在象限没有确定，
9、若角所在象限没有确定，则应分类讨论则应分类讨论.应注意公式的灵活运用应注意公式的灵活运用,掌握其结构特征掌握其结构特征,还要会拆角、拼角等技巧还要会拆角、拼角等技巧.返回目录返回目录 已已知知为为第第二二象象限限角角,sin= ,为为第第一一象象限限角角,cos= ,求求tan(2-)的的值值. 【解析【解析】解法一解法一: , 为第二象限角为第二象限角,sin= , cos= , tan= . tan2= . 为第一象限角为第一象限角,cos= , sin= , tan= , tan(2-)= . 返回目录返回目录 解法二：解法二：为第二象限角，为第二象限角，sin= ,cos= .为第一象
10、限，为第一象限，cos= ,sin= .故故sin2=2sincos= ,cos2=1-2sin2= ,sin(2-)=sin2cos-cos2sin=- ,cos(2-)=cos2cos+sin2sin=- ,tan(2-)= .返回目录返回目录 若若sin= ,sin= ,且且,为锐角为锐角,求求+的值的值. 【分析【分析【分析【分析】欲求欲求+,先求先求+的一个三角函数值的一个三角函数值,再再由由,的范围确定出的范围确定出+的值的值.考点考点考点考点3 3 给值求角问题给值求角问题给值求角问题给值求角问题 【解析【解析【解析【解析】 ,为锐角为锐角,且且sin= ,sin = , cos
11、= ,cos= . cos(+)=coscos-sinsin= . 又又,均为锐角均为锐角, 0+, += .返回目录返回目录 (1)通过求角的某种三角函数值来求角通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数在选取函数时时,可遵照下列原则可遵照下列原则: 已知正切函数值已知正切函数值,选正切函数选正切函数; 已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是角的范围是(0， )，选正、余弦皆可；若角的范围，选正、余弦皆可；若角的范围是（是（0，），选余弦较好；若角的范围是），选余弦较好；若角的范围是( )，选正弦较好选正弦较好. (2)解这类问题的一般步骤
12、为解这类问题的一般步骤为: 求角的某一个三角函数值求角的某一个三角函数值; 确定角的范围确定角的范围; 根据角的范围写出所求的角根据角的范围写出所求的角. 返回目录返回目录 已知已知0 ,0 ,且且3sin=sin(2+),4tan =1-tan2 ,求求+的值的值.返回目录返回目录 由由4tan =1- tan2 ,得得由由3sin(+)-=sin(+)+,得得tan(+)=2tan, tan(+)=1.又又 0 ,0 , 0+ , += .返回目录返回目录 1. 1.巧用公式变形巧用公式变形巧用公式变形巧用公式变形: : 和差角公式变形和差角公式变形和差角公式变形和差角公式变形:tanxt
13、any:tanxtany=tan(xy)(1=tan(xy)(1tanxtanxtany);tany);倍角公式变形倍角公式变形倍角公式变形倍角公式变形: :降幂公式降幂公式降幂公式降幂公式coscos2 2= ,sin= ,sin2 2= ;= ;配方配方配方配方变形：变形：变形：变形：1sin=1sin=（sin cossin cos ）2 2,1+cos=2cos,1+cos=2cos2 2 ,1-cos=2sin,1-cos=2sin2 2 . . 2. 2.利用辅助角公式求最值、单调区间、周期利用辅助角公式求最值、单调区间、周期利用辅助角公式求最值、单调区间、周期利用辅助角公式求最值
14、、单调区间、周期.y=asin+bcos= sin(+.y=asin+bcos= sin(+) )其中其中其中其中tantan= =有：有：有：有： |y|.|y|.返回目录返回目录 3. 3.重视三角函数的重视三角函数的重视三角函数的重视三角函数的“ “三变三变三变三变” ”：“ “三变三变三变三变” ”是指是指是指是指“ “变角、变角、变角、变角、变名、变式变名、变式变名、变式变名、变式” ”；变角为：对角的分拆要尽可能化成同名、；变角为：对角的分拆要尽可能化成同名、；变角为：对角的分拆要尽可能化成同名、；变角为：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对
15、式同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等. .在解在解在解在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求（或所证明）问题的整体形式中的差异，再选择适当
16、所求（或所证明）问题的整体形式中的差异，再选择适当所求（或所证明）问题的整体形式中的差异，再选择适当所求（或所证明）问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形的三角公式恒等变形的三角公式恒等变形的三角公式恒等变形. . 4. 4.已知和角函数值已知和角函数值已知和角函数值已知和角函数值, ,求单角或和角的三角函数值的技求单角或和角的三角函数值的技求单角或和角的三角函数值的技求单角或和角的三角函数值的技巧巧巧巧: :把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减, ,观察是
17、观察是观察是观察是不是常数角不是常数角不是常数角不是常数角, ,只要是常数角只要是常数角只要是常数角只要是常数角, ,就可以从此入手就可以从此入手就可以从此入手就可以从此入手, ,给这个等式两给这个等式两给这个等式两给这个等式两边求某一函数值边求某一函数值边求某一函数值边求某一函数值, ,可使所求的复杂问题简单化可使所求的复杂问题简单化可使所求的复杂问题简单化可使所求的复杂问题简单化. .返回目录返回目录 5. 5.熟悉三角公式的整体结构熟悉三角公式的整体结构熟悉三角公式的整体结构熟悉三角公式的整体结构, ,灵活变换灵活变换灵活变换灵活变换. .本学案要重本学案要重本学案要重本学案要重视公式的
18、推导视公式的推导视公式的推导视公式的推导, ,既要熟悉三角公式的代数结构既要熟悉三角公式的代数结构既要熟悉三角公式的代数结构既要熟悉三角公式的代数结构, ,更要掌握更要掌握更要掌握更要掌握公式中角和函数名称的特征公式中角和函数名称的特征公式中角和函数名称的特征公式中角和函数名称的特征, ,要体会公式间的联系要体会公式间的联系要体会公式间的联系要体会公式间的联系, ,掌握掌握掌握掌握常见的公式变形常见的公式变形常见的公式变形常见的公式变形, ,倍角公式应用是重点倍角公式应用是重点倍角公式应用是重点倍角公式应用是重点, ,涉及倍角或半角涉及倍角或半角涉及倍角或半角涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形的都可以利用倍角公式及其变形的都可以利用倍角公式及其变形的都可以利用倍角公式及其变形. .返回目录返回目录
