《线性代数课件：5-3实对称矩阵的相似对角化》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数课件：5-3实对称矩阵的相似对角化（47页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5.3 实对称矩阵的相似对角化5.3.1 5.3.1 向量的内积与施密特正交化方法向量的内积与施密特正交化方法建立n维实向量空间中的直角坐标系 长度？夹角？垂直？设 是三维向量空间中互相垂直的单位向量,若 则与的数量积 定义5.3.1 5.3.1 设 向量，令是实n维向量空间Rn中任二称实数为向量与的内积. 向量的内积具有以下性质： 1. 对称性= 2.线性性= + =k 3.恒正性 0, 当0. 内积为零的两个向量称为正交向量. 零向量与任何向量正交. 定义5.3.3 5.3.3 设设是n维向量，称 为的长，记为 |. 若 |=1，称为单位向量.|=0 IFF 为零向量. 任给非零向量 ，
2、|0，从而 的长 ，即 是单位向量称为的单位化.定义5.3.4 5.3.4 设1,2,s 是一组皆非零的向量.若其中任意两个向量都是正交的，则称其为一个正交向量组.仅由一个非零向量组成的向量组也称为正交向量组. 若正交向量组中每个向量都是单位向量，则称其为标准正交组. 以下向量组是正交向量组吗？是标准 正交组吗？ 是R4中正交向量组，但不是标准正交组. 因为 是正交组. 又 故 , 从而1,2,3都不是单位向量. 把它们单位化，令 则1,2,3是标准正交组. 设1,2,m是Rn中的向量组若一条直线与平面中的两条相交直线垂直，则与该平面的任一直线垂直。推而广之： (1) 若与1,2,m的每一个向
3、量正交，则必与1,2,m的任一线性组合正交.其中1,2,m是Rn中的向量组互相垂直的两直线必不共线或平行。(2) 若1,2,m是正交组，它们必线性无关. 证 (1) 若=0 ，i=1,2,m,任给1,2,m的线性组合=k11+k22 +kmm,由内积的线性性， 故与正交. (2) 设=k11+k22 +kmm=0, 用1与上式两边作内积运算，得 由于1,2,m两两正交，则当j1时, =0. 于是得到,k1=0,即k1|1|2=0.由于1是非零向量，故|1|0，因此k1=0. 用i替代 1重复以上论证，可得ki=0，i=2, m，这就证明了1,2, , m线性无关. 证毕.定理5.3.1表明，在
4、Rn中正交向量组至多含有n个向量，这是因为在Rn中至多有n个线性无关的向量. 怎样得到一个正交向量组？怎样得到一个正交向量组？危房改造：将无关向量组改造成正交向量组！如何改造：先考察平面情形。施密特(Schmidt)免费拨款危房改造：定理5.3.2 (施密特正交化定理) 设 1,2,m(mn)是Rn中线性无关向量组，令则1,2,m是正交向量组，且与向量组1,2,m等价.如何由正交组得到标准正交组？将正交组中每个向量单位化即得标准正交组！例5.3.2 设 是R3中的向量组，用施密特正交化方法把它们化为标准正交组.解 易验证 1,2,3线性无关，从而可施行施密特标准正交化. 令 再令 则1,2,
5、3 是1,2, 3的标准正交组.5.3.2 实对称矩阵的特征值与特征向量当n阶矩阵A=(aij)nn 满足aij=aji，且aij全为实数时，称为n阶实对称矩阵. 定理5.3.3 设A是实对称矩阵，则A的特征值全为实数. 证 设0是A的特征值，则有非零向量 使A= 0.记 其中 表示ai的共轭复数(注意现在并不知道0是否实数，也不知道是否为实向量). A= 0两边取共轭复数得, 由于A，由于A是实对是实对称矩阵，有称矩阵，有 从而 又对A= 0两边取转置得即由于且0，故|a1|2+|a2|2+|an|20,由此推出，故0是实数.证毕.=0.这样由于使A=0的特征向量是(E-A)X=0的非零解，
6、故定理5.3.3还告诉我们必可在Rn中选取，即必然是实向量. 注意若A是一般的实矩阵而非对称的，则其特征值与特征向量完全可能是复数.矩阵A的属于不同特征值的特征向量是线性无关的. 实对称阵更加过分！ 定理5.3.4 设A是实对称矩阵，则Rn中属于A的不同特征值的特征向量必正交.子曰：必也正名乎！子曰：必也正名乎！为正交阵正名！Q为正交矩阵当且仅当Q的列向量组为标准正交组.事实上，若1，2，n是标准正交的列向量组，Q=( 1，2，n)，则由1，2，n的标准正交性，有 故得QTQ=E，即Q是正交矩阵.反之亦然. 天生丽质天生丽质-实对称阵实对称阵定理5.3.5 设A是n阶实对称矩阵，则必有n阶正交
7、矩阵Q使其中Q的列向量是A的n个相互正交的单位特征向量，1,2,n是A的全部实特征值.颂曰：天生丽质难自弃，必定正交对角化。颂曰：天生丽质难自弃，必定正交对角化。用正交矩阵把实对称阵A相似对角化的步骤如下:第二步: 对每个互异的特征根，求出其全部线性无关特征向量； 第一步: 写出A的特征多项式|E-A|，并求出所有特征根(均为实数)； 第三步: 对属于同一个特征值的线性无关特征向量，用施密特正交化方法化为标准正交向量组； 第四步: 用所得到的所有标准正交特征向量作为列向量组成矩阵Q，则 Q-1AQ=QTAQ必是对角形，且对角线上元素为A的全部特征值. 例5.3.3 设4阶实对称方阵用正交矩阵把A相似对角化.解 得A的特征值1=1,2=-3；其中1是三重根. 再求属于1=1再求属于=1代入 (5.3.3) 求得基础解系对之进行正交化，得再单位化得再求属于2=-3的特征向量，把=-3代入(5.3.3)式，求得基础解系 将其单位化得以1,2,3,4为列向量组成正交矩阵 则 本章重点1.会求矩阵的特征值与特征向量2.判断矩阵对角化并化成对角形3.通过正交阵将实对称阵对角化 典型题选（2006考研题，P148. 8） 典型题选（2007考研题） 典型题选（2008考研题）
