《高中数学 2.5从力做的功到向量的数量积课件 北师大版必修4.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 2.5从力做的功到向量的数量积课件 北师大版必修4.ppt（77页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5从力做的功到向量的数量积问题问题引航引航 1.1.向量的夹角、投影与数量积的定义是什么向量的夹角、投影与数量积的定义是什么？夹角的大小与向量的同向、反向及垂直关？夹角的大小与向量的同向、反向及垂直关系如何？数量积有什么重要性质及应遵循什系如何？数量积有什么重要性质及应遵循什么运算律？么运算律？2.2.三角形的内角一定是其两边所在向量的夹三角形的内角一定是其两边所在向量的夹角吗？向量的数量积与实数乘积有什么差异角吗？向量的数量积与实数乘积有什么差异？1.1.向量的夹角与投影向量的夹角与投影(1)(1)夹角夹角定义：已知两个非零向量定义：已知两个非零向量a和和b，作，作 = =a, =, =b,
2、 ,则则_叫作向量叫作向量a与与b的夹角；的夹角；范围：范围：_；大小与向量共线、垂直的关系：大小与向量共线、垂直的关系：=AOB=AOB=0180018000a与与b_，180180a与与b_，9090a_b. .同向同向反向反向(2)(2)投影投影定义：如图所示：定义：如图所示： = =a， = =b，过点，过点B B作作BBBB1 1垂直于直线垂直于直线OAOA，垂足为，垂足为B B1 1，则，则OBOB1 1=_. _=_. _叫做向量叫做向量b在在a方向上的投影数量方向上的投影数量( (简称投影简称投影).).| |b|cos |cos | |b|cos |cos 大小与夹角的关系：
3、大小与夹角的关系：夹角夹角 0 0 锐角锐角 9090 钝角钝角 180180 射影射影 _ _ _| |b| |正值正值0 0负值负值-|-|b| |2.2.向量的数量积向量的数量积(1)(1)定义：已知两个向量定义：已知两个向量a与与b，它们的夹角为，它们的夹角为，我们把，我们把_叫作叫作a与与b的数量积的数量积( (或内积或内积) )，记作，记作_，即，即ab= _.= _.(2)(2)几何意义：数量积几何意义：数量积ab等于等于a的长度的长度| |a| |与与b在在a方向上投影方向上投影_的乘积，或的乘积，或b的长度的长度_与与a在在b方向上投影方向上投影_的乘积的乘积. .(3)(3
4、)物理意义：力对物体做功，就是力物理意义：力对物体做功，就是力F与其作用下物体的位移与其作用下物体的位移s的数量积的数量积_._.| |a|b|cos |cos ab| |a|b|cos |cos | |b|cos |cos | |b| | |a|cos |cos Fs(4)(4)性质：性质：若若e是单位向量，则是单位向量，则ea= =ae= _= _；ab_；| |a|=|=cos =_(|cos =_(|a|b|0)|0)；| |ab|_|_|a|b|.|.| |a|cos |cos ab=0=0(5)(5)运算律：运算律：交换律：交换律：ab= =_. .结合律：结合律：(a)b= _=
5、 = _= _. .分配律分配律：a(b+ +c)=)=_. .ba(ab) )a(b) )ab+ +ac1.1.判一判判一判( (正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”)”)(1)(1)向量的夹角与直线的倾斜角的范围相同向量的夹角与直线的倾斜角的范围相同.( ).( )(2)(2)向量的投影与向量的数量积和向量的线性运算的结果都是向量的投影与向量的数量积和向量的线性运算的结果都是一个向量一个向量.( ).( )(3)(3)设非零向量设非零向量a与与b的夹角为的夹角为，cos cos 0 0ab0.( )0.( )(4)(4)若若ab= =bc, ,则一定有则一定有a= =c.( )
6、.( )【解析解析】(1)(1)错误，两个向量夹角的范围是错误，两个向量夹角的范围是0 0，而直线，而直线倾斜角的范围是倾斜角的范围是0 0，).).(2)(2)错误错误, ,向量的投影与向量的数量积结果是一个数量，而非向向量的投影与向量的数量积结果是一个数量，而非向量量. .(3)(3)正确正确,cos = ,cos = 故故cos cos 0 0ab0.0.(4)(4)错误错误, ,向量向量b与向量与向量a，c可能垂直可能垂直, ,向量向量a，c可能方向相反可能方向相反. .答案：答案：(1) (2) (1) (2) (3) (3) (4)(4)2.2.做一做做一做( (请把正确的答案写在
7、横线上请把正确的答案写在横线上) )(1)(1)若若| |a|=2|=2，向量，向量a与与b的夹角为的夹角为 则则a在在b方向上的投影为方向上的投影为_._.(2)(2)若若| |a|=1|=1，| |b|=4|=4，a与与b的夹角为的夹角为 则则ab=_.=_.(3)(3)若若| |a|=2|=2，| |b|=1|=1，ab= = 则则a与与b的夹角为的夹角为_._.【解析解析】(1)(1)由投影的定义得由投影的定义得a在在b方向上的投影为方向上的投影为| |a|cos |cos =2 =1.=2 =1.答案：答案：1 1(2)(2)由数量积的定义得由数量积的定义得: :ab=|=|a|b|
8、cos =14 =-2.|cos =14 =-2.答案：答案：-2-2(3)(3)设设a与与b的夹角为的夹角为，由，由ab=|=|a|b|cos |cos ，得，得cos =cos =又又0 0，所以，所以=答案：答案：【要点探究要点探究】知识点知识点1 1 向量的数量积向量的数量积1.1.写法及与实数乘积的区别写法及与实数乘积的区别两向量两向量a，b的数量积也称作内积，写成的数量积也称作内积，写成ab，其应与代数中的，其应与代数中的a a，b b的乘积的乘积abab区分开来，其中区分开来，其中“”是一种运算符号，不同于是一种运算符号，不同于实数的乘法符号实数的乘法符号. .在向量运算中既不能
9、省略，也不能用在向量运算中既不能省略，也不能用“”代替代替. .2.2.运算的结果运算的结果(1)(1)向量线性运算的结果是一个向量，但两个向量的数量积是向量线性运算的结果是一个向量，但两个向量的数量积是一个数量一个数量. .(2)(2)由于由于01800180，所以，所以ab可以为正数、负数和零，且可以为正数、负数和零，且当当009090时，时，ab0 0；当；当=90=90时，时，ab=0=0；当；当9090180180时，时，ab0.0.(3)(3)若若a为零向量，则为零向量，则| |a|=0|=0，从而，从而ab=0=0，故零向量与任一向量，故零向量与任一向量的数量积为的数量积为0.0
10、.(4)(4)aa= =a2 2=|=|a| |2 2. .(5)(5)两个单位向量的数量积等于它们的夹角的余弦值两个单位向量的数量积等于它们的夹角的余弦值. .【微思考微思考】(1)(1)影响数量积大小的因素有哪些？影响数量积大小的因素有哪些？提示：提示：影响数量积大小的因素有两个，向量的模及其夹角大小影响数量积大小的因素有两个，向量的模及其夹角大小. .(2)(2)若若ab=0=0，是否一定有，是否一定有ab? ?请说明理由明理由. .提示：提示：一定一定, ,因因a, ,b中至少有一个为零向量时，我们规定了零向中至少有一个为零向量时，我们规定了零向量与任一向量垂直，因此一定正确量与任一向
11、量垂直，因此一定正确. .【即时练即时练】已知已知| |a|=2,|=2,|b|=4|=4，当，当(1)(1)ab；(2)(2)ab；(3)(3)a与与b的夹角为的夹角为150150时，分别求时，分别求a与与b的数量积的数量积. .【解析解析】(1)(1)当当ab时，若时，若a与与b同向，即同向，即=0=0，则，则ab=|=|a|b|cos =8|cos =8；若；若a与与b反向，即反向，即=180=180，ab=|=|a|b|cos |cos 180=-8.180=-8.(2)(2)当当ab时，时，=90=90，则，则ab=|=|a|b|cos 90=0.|cos 90=0.(3)(3)当当
12、a与与b的夹角为的夹角为150150时，时，ab=|=|a|b|cos 150|cos 150知识点知识点2 2 数量积的性质与运算律数量积的性质与运算律1.1.数量积五条性质的应用数量积五条性质的应用性质性质(1)(1)可以帮助理解数量积的几何意义；可以帮助理解数量积的几何意义；性质性质(2)(2)可以解决有关垂直的问题；可以解决有关垂直的问题；性质性质(3)(3)可以求向量的长度；可以求向量的长度；性质性质(4)(4)可以求两向量的夹角可以求两向量的夹角; ;性质性质(5)(5)可以解决有关不等式的问题，当且仅当可以解决有关不等式的问题，当且仅当ab时，等号时，等号成立成立. .2.2.数
13、量积运算遵循的运算律及常用公式数量积运算遵循的运算律及常用公式(1)(1)遵循的运算律：数量积的运算只适合交换律、分配律及数遵循的运算律：数量积的运算只适合交换律、分配律及数乘结合律，不适合乘法结合律，即乘结合律，不适合乘法结合律，即( (ab) )c不一定等于不一定等于a( (bc).).这这是由于是由于( (ab) )c表示一个与表示一个与c共线的向量，而共线的向量，而a( (bc) )表示一个与表示一个与a共线的向量，而共线的向量，而c与与a不一定共线不一定共线. .(2)(2)常用公式及注意点：常用公式及注意点：( (a+ +b)()(a- -b)=|)=|a| |2 2-|-|b|
14、|2 2; ;(a+ +b) )2 2=|=|a| |2 2+2+2ab+|+|b| |2 2; ;(a- -b) )2 2=|=|a| |2 2-2-2ab+|+|b| |2 2. .注意：注意：| |a| |2 2= =aa,|,|b| |2 2= =bb. .【知识拓展知识拓展】向量数量积与实数乘积相关结论比较向量数量积与实数乘积相关结论比较实数实数a,b,ca,b,c 向量向量a, ,b, ,c a a0,a0,ab=0b=0b=0b=0 a0, ,ab=0 =0 b= =0 a ab=bb=bc(bc(b0)0)a=ca=c ab= =bc( (b0) ) a= =c |a|ab|=
15、|a|b|=|a|b|b| | |ab|a|b| | 满足乘法结合律满足乘法结合律 不满足乘法结合律不满足乘法结合律【微思考微思考】(1)(1)若若ab0 0，a与与b的夹角是锐角吗？若的夹角是锐角吗？若ab0 0，a与与b的夹角的夹角是钝角吗？反过来呢？是钝角吗？反过来呢？提示：提示：不一定，可能为不一定，可能为0.0.不一定，可能为不一定，可能为180.180.反过来正确反过来正确. .(2)(2)若若| |ab|=|=|a|b| |，是否一定有，是否一定有ab？请说明理由？请说明理由. .提示：提示：一定一定. .因为因为ab=|=|a|b|cos |cos ，所以所以| |ab|=|=
16、|a|b|cos |.|cos |.由已知得由已知得,|,|a|b|cos |=|cos |=|a|b|,|,即即|cos |=1|cos |=1，cos =1,cos =1,又又0,0, ,所以所以=0=0或或，故，故ab. .【即时练即时练】1.(20141.(2014西安高一检测西安高一检测) )若若e1 1, ,e2 2是两个平行的单位向量，则下是两个平行的单位向量，则下面结果正确的是面结果正确的是( )( )A.A.e1 1e2 2=1 B.=1 B.e1 1e2 2=-1=-1C.|C.|e1 1e2 2|=1 D.|=1 D.e1 1e2 21 12.2.设设a, ,b, ,c是
17、任意的非零向量，且两两不共线，给出下列说法：是任意的非零向量，且两两不共线，给出下列说法：( (ab) )c-(-(ca) )b=0;=0;|a|-|-|b|a- -b|;|;(bc) )a-(-(ca) )b与与c不可能垂直；不可能垂直；(3(3a+2+2b)(3)(3a-2-2b)=9|)=9|a| |2 2-4|-4|b| |2 2. .其中正确的有其中正确的有( )( )A. B. A. B. C. C. D.D.【解析解析】1.1.选选C.C.由于由于e1 1, ,e2 2是两个平行的单位向量，设其夹角为是两个平行的单位向量，设其夹角为，则，则|cos |=1|cos |=1，所以，
18、所以| |e1 1e2 2|=|cos |=1.|=|cos |=1.2.2.选选D.(D.(ab) )c是与向量是与向量c平行的向量，平行的向量，( (ca) )b是与向量是与向量b平行平行的向量，因此的向量，因此( (ab) )c与与( (ca) )b不一定相等，故不一定相等，故不正确；不正确；因为因为a, ,b, ,c是任意的非零向量，且相互不共线，则根据三角形是任意的非零向量，且相互不共线，则根据三角形两边之差小于第三边可知两边之差小于第三边可知正确；正确；由于由于( (bc) )a-(-(ca) )bc=(=(bc)()(ac)-()-(ca)()(bc)=)=0 0，因此，因此(
19、(bc) )a-(-(ca) )b与与c垂直，垂直，不正确；不正确；(3(3a+2+2b)(3)(3a-2-2b)=9)=9a2 2-4-4b2 2=9|=9|a| |2 2-4|-4|b| |2 2. .正确，故选正确，故选D.D. 【题型示范题型示范】类型一类型一 平面向量数量积的运算平面向量数量积的运算【典例典例1 1】(1)(2014(1)(2014咸阳高一检测咸阳高一检测) )已知平面上三点已知平面上三点A A，B B，C C满足满足=2=2， 则则 的值为的值为_._.(2)(2014(2)(2014合肥高一检测合肥高一检测) )已知向量已知向量a与与b的夹角是的夹角是120,12
20、0,且且| |a| |=2,|=2,|b|=3|=3，求：，求：( (a-2-2b) )2 2;(2;(2a- -b)()(a+3+3b).).【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中计算中计算 的关键是的关键是什么？什么？2.2.解答题解答题(2)(2)的突破口是什么？的突破口是什么？【探究提示探究提示】1.1.判断判断ABCABC的形状，确定出相关向量的夹角的形状，确定出相关向量的夹角. .2.2.运用数量积的性质及运算律和相关公式，将待求式转化为运用数量积的性质及运算律和相关公式，将待求式转化为a与与b的数量积运算的数量积运算. .【自主解答自主解答】(1)(1)由已知，由已知，所
21、以所以ABCABC为直角三角形为直角三角形, ,且且ACB=90,ACB=90,如图如图. .从而从而sinABC=sinABC=sinBAC=sinBAC=所以所以ABC=60,BAC=30.ABC=60,BAC=30.所以所以 与与 的夹角为的夹角为120, 120, 与与 的夹角为的夹角为90, 90, 与与 的夹角为的夹角为150.150.故故= =答案：答案：-4-4(2)(2)因为因为ab=|=|a|b|cos 120=23 =-3,|cos 120=23 =-3,所以所以( (a-2-2b) )2 2= =a2 2-2-2a(2(2b)+(2)+(2b) )2 2=|=|a| |
22、2 2-4-4ab+4|+4|b| |2 2=22-4(-3)+432=52.=22-4(-3)+432=52.(2(2a- -b)()(a+3+3b) )=2=2a2 2+6+6ab- -ab-3-3b2 2=2|=2|a| |2 2+5+5ab-3|-3|b| |2 2=22=222 2+5(-3)-33+5(-3)-332 2=-34.=-34.【延伸探究延伸探究】在题在题(2)(2)的条件下，若的条件下，若(3(3a+5+5b)(m)(ma- -b)=-45)=-45，则，则m m的值如何？的值如何？【解析解析】(3(3a+5+5b)(m)(ma- -b) )=3m=3ma2 2+(5
23、m-3)+(5m-3)ab-5-5b2 2=3m2=3m22 2+(5m-3)23 -53+(5m-3)23 -532 2=-3m-36=-45=-3m-36=-45，解得解得m=3.m=3.【方法技巧方法技巧】1.1.求平面向量数量积的流程求平面向量数量积的流程2.2.形如形如(m(ma+n+nb)(k)(ka+ +lb) )的运算技巧及注意点的运算技巧及注意点(1)(1)技巧：类似于实数多项式的运算，将运算转化为向量技巧：类似于实数多项式的运算，将运算转化为向量a, ,b的的数量积运算数量积运算. .(2)(2)注意点注意点:a与与b的数量积不可书写或认为是的数量积不可书写或认为是ab,
24、,a2 2=|=|a| |2 2的应用的应用. .【变式训练变式训练】1.1.已知正已知正ABCABC的边长为的边长为2 2，设，设 = =a， = =b， = =c，则，则ab+ +bc+ +ca=_.=_.【解析解析】a与与b，b与与c，a与与c的夹角为的夹角为120120，所以原式所以原式=|=|a|b|cos 120+|cos 120+|b|c|cos 120+|cos 120+| |a|c|cos 120=22 3=-6.|cos 120=22 3=-6.答案：答案：-6-6【误区警示误区警示】本题求解时易将向量本题求解时易将向量a, ,b，c夹角的大小定错而致夹角的大小定错而致误误
25、. .2.(20132.(2013新课标全国卷新课标全国卷)已知两个单位向量已知两个单位向量a, ,b的夹角为的夹角为60,60,c=t=ta+(1-t)+(1-t)b，若，若bc=0=0，则，则t=_.t=_.【解析解析】由由c=t=ta+(1-t)+(1-t)b得得, ,bc=t=tab+(1-t)+(1-t)b2 2=0,=0,解得解得t|t|a|b|cos 60+(1-t)|cos 60+(1-t)|b| |2 2=0,=0,化简得化简得 t+(1-t)=0t+(1-t)=0，所以，所以t=2.t=2.答案：答案：2 2【补偿训练补偿训练】1.1.已知已知ABCABC为等边三角形，为等
26、边三角形，AB=2.AB=2.设点设点P,QP,Q满足满足 R.R.若若 则则=_.=_.2.2.已知已知| |a|= |= |b|=3|=3，| |c|= |= 且且a+ +b+ +c= =0，求，求ab+ +bc+ +ca【解析解析】(1)(1)因为因为所以所以=2(1+-=2(1+-2 2)-4+4(-1)-4+4(-1)=2(-=2(-2 2+-1).+-1).又因为又因为所以所以442 2-4+1=0-4+1=0，所以，所以=答案：答案：(2)(2)因为因为a+ +b+ +c= =0，所以所以( (a+ +b+ +c) )2 2= =0，即即a2 2+ +b2 2+ +c2 2+2+
27、2ab+2+2ac+2+2bc=0.=0.又因为又因为| |a|= |= |b|=3,|=3,|c|=|=所以所以a2 2=3,=3,b2 2=9,=9,c2 2=12=12，所以所以ab+ +bc+ +ca=-12.=-12.类型二类型二 向量的模的计算问题向量的模的计算问题【典例典例2 2】(1)(2013(1)(2013浙江高考浙江高考) )设设e1 1, ,e2 2为单位向量，非零向量为单位向量，非零向量b=x=xe1 1+ +y ye2 2，x,yR.x,yR.若若e1 1, ,e2 2的夹角为的夹角为 则则 的最大值等于的最大值等于_._.(2)(2)已知向量已知向量a, ,b的夹
28、角为的夹角为45,45,且且| |a|=1,|2|=1,|2a- -b|= |= 则则| |b|=|=_._.(3)(3)已知已知a，b满足满足| |a+ +b|= |= |a- -b|,|,|a|=|=|b|=1|=1，求，求|3|3a-2-2b|.|.【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中求中求 的最大值的突破口是什么？的最大值的突破口是什么？2.2.题题(2)(2)中如何将中如何将|2|2a- -b|= |= 用用a与与b的模及数量积表示？的模及数量积表示？3.3.题题(3)(3)中向量的数量积与向量模如何转化？中向量的数量积与向量模如何转化？【探究提示探究提示】1.1.先将求先
29、将求 的最大值转化为求的最大值转化为求 的最大值，的最大值，进而利用进而利用| |b| |2 2= =b2 2转化为求关于转化为求关于x,yx,y的函数的最值的函数的最值. .2.2.利用利用|2|2a- -b| |2 2=(2=(2a- -b) )2 2. .3.|3.|a| |2 2= =a2 2. .【自主解答自主解答】(1) (1) = =当当x=0x=0时，时， =0;=0;当当x0x0时，时，令令 则则所以所以 的最大值为的最大值为2.2.答案：答案：2 2(2)|2(2)|2a- -b|= |= (2(2a- -b) )2 2=10=104+|4+|b| |2 2-4|-4|b|
30、cos 45|cos 45=10=10| |b|=|=答案：答案：(3)(3)由由| |a+ +b|= |= |a- -b| |得得,|,|a+ +b| |2 2=3|=3|a- -b| |2 2, ,即即( (a+ +b) )2 2=3(=3(a- -b) )2 2, ,所以所以a2 2+2+2ab+ +b2 2=3(=3(a2 2-2-2ab+ +b2 2),),所以所以8 8ab=2=2a2 2+2+2b2 2=2|=2|a| |2 2+2|+2|b| |2 2=4,=4,即即ab= =所以所以|3|3a-2-2b|=|= =【方法技巧方法技巧】求向量的模的常见思路求向量的模的常见思路
31、求向量的模是向量运算问题中的常见题型，解答这类问题求向量的模是向量运算问题中的常见题型，解答这类问题时，可考虑先求向量的平方，应用向量的运算公式、法则求出时，可考虑先求向量的平方，应用向量的运算公式、法则求出其平方值，然后再利用公式其平方值，然后再利用公式| |a| |2 2= =a2 2= =aa，将其两边开平方即，将其两边开平方即可求得该向量的模，即运用公式可求得该向量的模，即运用公式【变式训练变式训练】(2014(2014江西高考江西高考) )已知单位向量已知单位向量e1 1, ,e2 2的夹角为的夹角为,且且c cos = os = 若向量若向量a=3=3e1 1-2-2e2 2, ,
32、则则| |a|=_.|=_.【解题指南解题指南】利用利用 求解求解. .【解析解析】aa=(3=(3e1 1-2-2e2 2) )2 2=9=91212e1 1e2 2+4=9+4=912 +4=912 +4=9，故，故| |a|=3.|=3.答案：答案：3 3【补偿训练补偿训练】已知同一平面上的向量已知同一平面上的向量a, ,b，c两两所成的角相等，两两所成的角相等，并且并且| |a|=1|=1，| |b|=2,|=2,|c|=3|=3，求，求| |a+ +b+ +c|.|.【解析解析】(1)(1)当向量当向量a, ,b, ,c共线且同向时，所成的角均为共线且同向时，所成的角均为0,0,所以
33、所以| |a+ +b+ +c|=|=|a|+|+|b|+|+|c|=6.|=6.(2)(2)当向量当向量a, ,b, ,c不共线时，易知不共线时，易知a, ,b, ,c皆为非零向量皆为非零向量. .设设a, ,b, ,c所成的角均为所成的角均为，则，则3=360,3=360,即即=120,=120,所以所以ab=|=|a|b|cos 120=-1.|cos 120=-1.同理同理bc=-3,=-3,ca= =由由| |a+ +b+ +c|2=|2=a2 2+ +b2 2+ +c2 2+2+2ab+2+2bc+2+2ca=3,=3,故故| |a+ +b+ +c|=|=综上所述，综上所述，| |a
34、+ +b+ +c|=6|=6或或类型三类型三 夹角和垂直问题夹角和垂直问题【典例典例3 3】(1)(2014(1)(2014宝鸡高一检测宝鸡高一检测) )已知已知m, ,n是两个单位向量，其夹角为是两个单位向量，其夹角为6060，设，设a=2=2m+ +n, ,b=2=2n-3-3m，则，则a与与b的夹角为的夹角为_._.(2)(2013(2)(2013安徽高考安徽高考) )若非零向量若非零向量a，b满足满足| |a|=3|=3|b|=|=|a+2+2b| |，则则a与与b夹角的余弦值为夹角的余弦值为_._.(3)(2013(3)(2013山东高考山东高考) )已知向量已知向量 与与 的夹角为
35、的夹角为120120，且，且 若若 且且 则实数则实数的值为的值为_._.【解题探究解题探究】1.1.两个非零向量的夹角公式是什么？两个非零向量的夹角公式是什么？2.2.解答题解答题(2)(2)的关键是什么？的关键是什么？3.3.解答题解答题(3)(3)的突破口是什么？的突破口是什么？【探究提示探究提示】1.cos =1.cos =2.2.由已知得到由已知得到ab与与| |b|(|(或或| |a|)|)的关系的关系. .3.3.将将 用用 与与 表示表示, ,并通过垂直条件列关于并通过垂直条件列关于的方程求解的方程求解. .【自主解答自主解答】(1)(1)由已知由已知| |m|=|=|n|=1
36、|=1，mn=|=|m|n|cos 60|cos 60= =所以所以ab=(2=(2m+ +n)(2)(2n-3-3m)=)=mn-6-6m2 2+2+2n2 2= -6+2= -6+2=| |a| |2 2= =a2 2=(2=(2m+ +n) )2 2=4=4m2 2+4+4mn+ +n2 2=7,=7,| |b| |2 2= =b2 2=(2=(2n-3-3m) )2 2=4=4n2 2-12-12nm+9+9m2 2=7.=7.所以所以| |a|=|=|b|=|=由由ab=|=|a|b|cos |cos 得，得，所以所以cos =cos =又又0,0,，所以所以=120.=120.故故
37、a与与b的夹角为的夹角为120.120.答案：答案：120120(2)(2)由由| |a|=|=|a+2+2b| |，等式两边平方得，等式两边平方得a2 2+4+4ab+4+4b2 2= =a2 2ab=-=-b2 2，所以，所以coscosa, ,b= =答案：答案：(3)(3)向量向量 与与 的夹角为的夹角为120120，且，且 所以所以由由 得，得，即即所以所以即即4 4993(3(1)=01)=0，解得，解得=答案：答案：【方法技巧方法技巧】1.1.求向量求向量夹角的解题流程及注意事项夹角的解题流程及注意事项(1)(1)解题流程：解题流程：(2)(2)注意事项注意事项在个别含有在个别含
38、有| |a| |，| |b| |与与ab的等量关系式中，常利用消元思想的等量关系式中，常利用消元思想计算计算cos cos 的值的值. .2.2.两向量垂直的确定与应用两向量垂直的确定与应用(1)(1)确定：通常利用两向量垂直的充要条件，即计算确定：通常利用两向量垂直的充要条件，即计算ab是否为是否为0.0.(2)(2)应用：若应用：若ab，则，则ab=0=0可求其中参数的值可求其中参数的值. .【变式训练变式训练】(2014(2014南昌高一检测南昌高一检测) )已知已知a，b是两个非零向量，是两个非零向量，且且a+3+3b与与7 7a-5-5b垂直，垂直，a-4-4b与与7 7a-2-2b
39、垂直垂直. .试求试求a与与b的夹角大小的夹角大小. .【解析解析】因为因为a+3+3b与与7 7a-5-5b垂直，垂直，所以所以( (a+3+3b)(7)(7a-5-5b)=0,)=0,即即7 7a2 2+16+16ab-15-15b2 2=0.=0.又因为又因为a-4-4b与与7 7a-2-2b垂直，垂直，所以所以( (a-4-4b)(7)(7a-2-2b)=0)=0，即即7 7a2 2-30-30ab+8+8b2 2=0.=0.-得得4646ab=23=23b2 2, ,即即2 2ab= =b2 2. .代入代入可得可得a2 2= =b2 2, ,即即| |a|=|=|b|.|.设设a与
40、与b的夹角为的夹角为，则则cos = cos = 又因为又因为0,0,，所以，所以=【补偿训练补偿训练】1.1.已知已知a与与b为两个不共线的单位向量，为两个不共线的单位向量，k k为实数，为实数，若向量若向量a+ +b与向量与向量k ka- -b垂直，则垂直，则k=_.k=_.【解析解析】因为因为( (a+ +b)(k)(ka- -b),),所以所以( (a+ +b)(k)(ka- -b)=0,)=0,即即k ka2 2+(k-1)+(k-1)ab- -b2 2=0=0，(*)(*)又因为又因为a, ,b为两个不共线的单位向量为两个不共线的单位向量, ,所以所以(*)(*)式可化为式可化为1
41、-k=(k-1)1-k=(k-1)ab, ,若若k-10k-10，则，则ab=-1=-1，这与，这与a, ,b不共线矛盾不共线矛盾; ;若若k-1=0k-1=0，则，则1-k=(k-1)1-k=(k-1)ab恒成立恒成立. .综上可知，综上可知，k=1k=1时符合题意时符合题意. .答案：答案：1 12.2.已知已知| |a|=5,|=5,|b|=4,|=4,|a+ +b|= |= 求向量求向量a与与b的夹角的夹角. .【解析解析】因为因为| |a|=5,|=5,|b|=4,|=4,|a+ +b|= |= 所以所以| |a| |2 2=25,|=25,|b| |2 2=16,|=16,|a+
42、+b| |2 2=21.=21.又因为又因为| |a+ +b| |2 2=(=(a+ +b) )2 2= =a2 2+2a+2ab+ +b2 2=41+2=41+2ab, ,所以所以ab=-10.=-10.设设a与与b的夹角为的夹角为,则则cos =cos =又因为又因为0,0, ,所以所以=即即a与与b的夹角是的夹角是拓展类型拓展类型 数量积的综合应用数量积的综合应用【备选例题备选例题】(1)(1)若若a, ,b, ,c均为单位向量，且均为单位向量，且ab=0,(=0,(a- -c)()(b- -c)0)0，则，则| |a+ +b- -c| |的最大值为的最大值为( )( )A. -1 B.
43、1 A. -1 B.1 C. C. D.2 D.2(2)(2)在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中，中，O O为对角线的交点，为对角线的交点，AB=2AB=2，AD=3AD=3，则，则 =_.=_.【解析解析】(1)(1)选选B.B.由由( (a- -c)()(b- -c)0)0，得，得ab- -ac- -bc+ +c2 200，又，又ab=0=0，且，且a, ,b, ,c均为单位向量，得均为单位向量，得- -ac- -bc-1-1，| |a+ +b- -c| |2 2=(=(a+ +b- -c) )2 2= =a2 2+ +b2 2+ +c2 2+2(+2(ab- -ac- -bc)=
44、3+2(-)=3+2(-ac- -bc)3-2=1)3-2=1，故，故| |a+ +b- -c| |的最大值为的最大值为1.1.(2)(2)= =答案：答案：5 5【方法技巧方法技巧】1.1.数量积运算与函数、不等式、三角函数等知识综合数量积运算与函数、不等式、三角函数等知识综合先利用向量的数量积运算将问题转化为函数、不等式、三角函先利用向量的数量积运算将问题转化为函数、不等式、三角函数等知识的问题，再用相关知识求解数等知识的问题，再用相关知识求解. .2.2.数量积运算与平面几何的综合数量积运算与平面几何的综合(1)(1)选择基底选择基底. .(2)(2)把相关的向量用基底表示把相关的向量用
45、基底表示. .(3)(3)借助数量积的定义及其变形判断边与边的关系，如借助向借助数量积的定义及其变形判断边与边的关系，如借助向量的模找边长的关系、借助向量的夹角找边与边的关系量的模找边长的关系、借助向量的夹角找边与边的关系. .(4)(4)由向量运算得出待求由向量运算得出待求. .【易错误区易错误区】两向量夹角概念不清和加减及数量积运算律应用两向量夹角概念不清和加减及数量积运算律应用不当致误不当致误【典例典例】(2014(2014铜陵高一检测铜陵高一检测) )在在ABCABC中，已知中，已知A=120A=120，B=C=30B=C=30，若，若AB=AC=1AB=AC=1，则，则 =_.=_.
46、【解析解析】过过A A作作ADBCADBC，垂足为，垂足为D D，因为因为AB=ACAB=AC，所以，所以BC=2BD=2ABcos B=21BC=2BD=2ABcos B=21方法一：方法一：= = = =所以所以方法二：方法二：= = = = =答案：答案：【常见误区常见误区】错解错解 错错 因因 剖剖 析析 在在处误将三角形内角当成两个向量的夹角，从处误将三角形内角当成两个向量的夹角，从而导致而导致 而得到而得到待求式等于待求式等于 的错误或在的错误或在处数量积的处数量积的运算律或相反向量的概念应用不当，导致结果为运算律或相反向量的概念应用不当，导致结果为 的错误的错误【防范措施防范措施
47、】1.1.正确理解向量夹角的概念正确理解向量夹角的概念在以平面图形为背景的数量积问题中，关键是求向量夹角，此在以平面图形为背景的数量积问题中，关键是求向量夹角，此时要注意让两个向量共起点才能找准向量的夹角时要注意让两个向量共起点才能找准向量的夹角. .如本例中如本例中与与 的夹角是角的夹角是角B B的补角而不是角的补角而不是角B.B.2.2.巧用数量积的运算律简化运算巧用数量积的运算律简化运算数量积运算过程中，逆用和巧用的运算律可以凑出满足向量加数量积运算过程中，逆用和巧用的运算律可以凑出满足向量加法法( (减法减法) )三角形法则的形式，从而实现简化运算三角形法则的形式，从而实现简化运算. .如本例中，如本例中，经过经过 的变形后，的变形后， 可用向可用向量加法的三角形法则简化为量加法的三角形法则简化为 进而只要计算进而只要计算 即可即可. .【类题试解类题试解】(2013(2013天津高考天津高考) )在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中中,AD=1,AD=1,BAD=60,EBAD=60,E为为CDCD的中点的中点. .若若 则则ABAB的长为的长为_._.【解析解析】因为因为所以所以= = =所以所以 解得解得答案：答案：
