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1、9.1 9.1 9.1 9.1 平面、空间两条直线平面、空间两条直线平面、空间两条直线平面、空间两条直线1；.【教学目标教学目标】1.掌握平面基本性质的三条公理及公理掌握平面基本性质的三条公理及公理3的三条推论，能运用它们证明空间的共点、的三条推论，能运用它们证明空间的共点、共线、共面问题共线、共面问题.2.了解空间两条直线的位置关系，掌握两条直线平行与垂直的判定和性质了解空间两条直线的位置关系，掌握两条直线平行与垂直的判定和性质.3.掌握两条直线所成的角和距离的概念（对于异面直线的距离，只要求会利用给出掌握两条直线所成的角和距离的概念（对于异面直线的距离，只要求会利用给出的公垂线计算距离）的
2、公垂线计算距离）.2；.【知识梳理知识梳理】1.平面的基本性质平面的基本性质名名 称称内容内容作作 用用公理公理1如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内点都在这个平面内判定直线在平面判定直线在平面内的依据内的依据公理公理2如果两个平面有一个公共点如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点那么它们还有其他公共点,且所有且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线 两个平面相交的两个平面相交的依据依据公理公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面经过不在同一条直
3、线上的三点，有且只有一个平面 确定一个平面的确定一个平面的依据依据推论推论1经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面 推论推论2经过两条相交直线有且只有一个平面经过两条相交直线有且只有一个平面 推论推论3经过两条平行直线有且只有一个平面经过两条平行直线有且只有一个平面 3；.【知识梳理知识梳理】2. 空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系位置关系位置关系图图 示示表示方法表示方法公共点个数公共点个数 两两直直线线共共面面相相 交交一个一个平行平行abab没有没有异面异面a a、b b是异面直线是异面直线没有没有baAab Ab4；.【知识梳理知
4、识梳理】3. 3. 异面直线（不同在任何一个平面内的两条直线）异面直线（不同在任何一个平面内的两条直线） 画法：画法： 异面直线判定：异面直线判定： 用定义（多用反证法）；用定义（多用反证法）；判判定定定定理理：平平面面内内一一点点和和平平面面外外一一点点的的连连线线与与平平面面内内不不经经过过该该点点的的直直线线是是异异面直线。面直线。5；.【知识梳理知识梳理】3. 3. 异面直线（不同在任何一个平面内的两条直线）异面直线（不同在任何一个平面内的两条直线） 异面直线所成的角：异面直线所成的角： 过空间的任一点与这两条异面直线平行的两直线所成锐角（或直角）。过空间的任一点与这两条异面直线平行的
5、两直线所成锐角（或直角）。(0,(0,22；若两条异面直线所成角是直角，则称两异面直线垂直。若两条异面直线所成角是直角，则称两异面直线垂直。 异面直线的公垂线及距离：异面直线的公垂线及距离： （1 1）和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线（公垂线存在且唯一）和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线（公垂线存在且唯一）（2 2）公垂线段：公垂线夹在异面直线之间的部分）公垂线段：公垂线夹在异面直线之间的部分（3 3）异面直线间的距离）异面直线间的距离 （即公垂线段的长）（即公垂线段的长）6；.异面直线的公垂线及距离：异面直线的公垂线及距离： 【知识梳理知识梳理】注注：若若一一个
6、个平平面面过过一一条条直直线线并并与与另另一一条条直直线线平平行行，则则这这直直线线与与平平面面的的距距离离就就等等于于异面直线间的距离。异面直线间的距离。若两个平行平面分别过两条异面直线则两平行平面的距离等于两异面直线间的距若两个平行平面分别过两条异面直线则两平行平面的距离等于两异面直线间的距离。离。 4.4.等角定理：等角定理：一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。 推推论论：两两条条相相交交直直线线分分别别与与另另外外两两条条直直线线平平行行，那那么么这这两两组组直直线线所所成成的的锐锐角角
7、（或或直直角角）相等相等 。5.5.平行公理：公理平行公理：公理4 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 7；.【点击双基】【点击双基】 1 1、若、若a a、b b是异面直线，则只需具备的条件是（是异面直线，则只需具备的条件是（ ） A.aA.a平面平面,b,b 平面平面，a a与与b b不平行不平行B. aB. a平面平面，b b 平面平面， = ，a a与与b b不公共点不公共点C.aC.a直线直线c c，b b c=c=A A ，b b与与a a不相交不相交D.aD.a平面平面，b b是是的一条直线的一条直线2 2、如如图图，直直线线a a、b
8、 b相相交交与与点点O O且且a a、b b成成60600 0，过过点点O O 与与a a、b b都成都成60600 0角的直线有（角的直线有（ ）A.1 A.1 条条 B.2B.2条条 C.3C.3条条 D.4D.4条条C C 8；.【点击双基】【点击双基】 3.（2004年年北北京京朝朝阳阳区区模模拟题）如如下下图，正正四四面面体体SABC中中，D为SC的的中中点点，则BD与与SA所成角的余弦所成角的余弦值是是A.A. B. B. C. C. D. D. C 9；.4、如图，正方体、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为的棱长为a，那么那么（1） 哪些棱所长的直线与直线哪些棱所长的
9、直线与直线BA1成异面直线？成异面直线？ 。（2 2） 直线直线BA1与与CC1所成角的大小为所成角的大小为 。（3 3） 直线直线BA1与与B1C所成角的大小为所成角的大小为 。（4 4） 异面直线异面直线BC与与AA1的距离为的距离为 。（5 5） 异面直线异面直线BA1与与CC1的距离为的距离为 。【点击双基】【点击双基】 10；.5.（2002年全国）正六棱柱年全国）正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面边长为的底面边长为1，侧棱长为，侧棱长为 ，则这个棱柱的侧面对角线则这个棱柱的侧面对角线E1D与与BC1所成的角是所成的角是_. 【点击双基】【点击双基】 11；.【典例剖
10、析【典例剖析】 例例1.如图，平面如图，平面相交于直线相交于直线a，平面平面 , 相交于直线相交于直线b，平面平面相交于直线相交于直线c，已已知知a与与b不平行。不平行。求证：求证：a，b，c三条直线必过同点三条直线必过同点 c ab P P 说明说明 欲证三线共点，可证其中两条直线有交点，且该交点在第三条直线上欲证三线共点，可证其中两条直线有交点，且该交点在第三条直线上 12；.【典例剖析【典例剖析】 变变式式一一：（教教材材例例1 1）如如下下图，四四面面体体ABCD中中，E、G分分别为BC、AB的的中中点点，F在在CD上，上，H在在AD上，且有上，且有DF FC=2 3，DH HA=2
11、3.求求证：EF、GH、BD交于一点交于一点.评述述：证明明线共共点点，常常采采用用证两两直直线的的交交点点在在第第三三条条直直线上上的的方方法法，而而第第三三条条直直线又又往往往是两平面的交往是两平面的交线.13；.【典例剖析【典例剖析】 变式二：平面变式二：平面相交于直线相交于直线a，平面平面 , 相交于直线相交于直线b，平面平面相交于直线相交于直线c，若若a与与b平行。则平行。则a，b，c三条直线还过同一点吗？三条直线还过同一点吗？ 不，平行不，平行 14；.【典例剖析【典例剖析】 例例2.2.三个不同平面可能把空间分成几部分？三个不同平面可能把空间分成几部分？ 解解： 1 1 四四部部
12、分分（互互相相平平行行） 2 2 六六部部分分（两两种种情情况况） 3 3 七部分七部分 4 4 八部分八部分变式一：长方体的各个面将空间分成几个部分？变式一：长方体的各个面将空间分成几个部分？ 变式二、四面体的各个面将空间分成几个部分？变式二、四面体的各个面将空间分成几个部分？ 2727 1515；.【典例剖析【典例剖析】 例例3.(3.(教材例教材例2)2)A A是是 BCDBCD平面外一点，平面外一点，E E、F F分别是分别是BCBC、ADAD的中点，的中点，(1)(1)求证：求证：EFEF与与BDBD是异面直线；是异面直线；(2)(2)若若ACAC BDBD，ACACBDBD，求求E
13、FEF与与BDBD所成的角。所成的角。 16；.【典例剖析【典例剖析】 例例4.(4.(教材例教材例3)3)长方体长方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，已知中，已知ABABa a，BC=b,AABC=b,AA1 1=c,=c,且且abab，求：求：(1)(1)下列异面直线之间的距离：下列异面直线之间的距离：ABAB与与CCCC1 1；ABAB与与A A1 1C C1 1； AB AB与与B B1 1C C。(2)(2)异面直线异面直线D D1 1B B与与ACAC所成角的余弦值。所成角的余弦值。17；.18；.【知知识方法方法总结】 】 1.证证明明共共面面
14、问问题题的的主主要要方方法法有有：先先由由公公理理3或或其其推推论论证证明明某某些些元元素素确确定定一一个个平平面面，再再证证其其余余元元素素都都在在此此平平面面内内； 指指出出给给定定的的元元素素中中的的某某些些元元素素在在平平面面内内，某某些些元元素素(与与前前述述元元素素有有公公共共元元素素，但但两两部部分分必必须须包包括括所所有有元元素素)在平面内，再通过公共元素来证明与重合；在平面内，再通过公共元素来证明与重合；2.求求异异面面直直线线所所成成的的角角，常常用用平平移移转转化化法法, ,即即平平移移一一条条( (或或两两条条) )作作出出夹夹角角, ,再再解解三角形三角形; ; 当用上述方法烦琐或无法平移时当用上述方法烦琐或无法平移时, , 可考虑两条异面直线是否垂直；可考虑两条异面直线是否垂直；3.3.求两条异面直线间距离求两条异面直线间距离主要利用公垂线主要利用公垂线. .19；.
