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1、第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布( (第六讲第六讲) )退 出前一页后一页目 录1 1 离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布2 2 随机变量的分布函数随机变量的分布函数3 3 连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度4 4 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布1 1 随机变量随机变量第二章 随机变量及其分布例例 1 1 袋中有袋中有3 3只只黑黑球，球，2 2只只白白球，从中任意取出球，从中任意取出3 3只球我们将只球我们将3 3只黑球分别记作只黑球分别记作1 1，2 2，3 3号，号，2 2只白只白球分别记作球分别记作4 4，5 5号，则该试验的样本空间
2、为号，则该试验的样本空间为1 随机变量考察取出的考察取出的3 3只球中的只球中的黑球的个数。黑球的个数。退 出前一页后一页目 录我们记取出的我们记取出的黑球数为黑球数为X，则则 X 的可能取值为的可能取值为1，2，3因此，因此， X 是一个变量但是，是一个变量但是， X 取什么值依赖于取什么值依赖于试验结果，即试验结果，即 X 的取值带有随机性，所以，我们称的取值带有随机性，所以，我们称 X 为随机变量为随机变量X 的取值情况可由下表给出：的取值情况可由下表给出：第二章 随机变量及其分布1 随机变量退 出前一页后一页目 录由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应由上表可以看出，该随机试验的
3、每一个结果都对应着变量着变量 X 的一个确定的取值，因此变量的一个确定的取值，因此变量 X 是样本空是样本空间间S上的函数：上的函数：我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件例如情况来刻划随机事件例如 表示至少取出表示至少取出2个黑球这一事件，等等个黑球这一事件，等等第二章 随机变量及其分布 表示取出表示取出2个黑球这一事件；个黑球这一事件；退 出前一页后一页目 录第二章 随机变量及其分布1 随机变量例例2 掷一颗骰子，令掷一颗骰子，令 X：出现的点数出现的点数则则 X 就是一个随机变量就是一个随机变量 表示掷出的点数不超过表示
4、掷出的点数不超过 4 这一随机事件；这一随机事件； 表示掷出的点数为偶数这一随机事件表示掷出的点数为偶数这一随机事件它的取值为它的取值为1，2，3，4，5，6退 出前一页后一页目 录例例3 上午上午 8:009:00 在某路口观察，令：在某路口观察，令： Y：该时间间隔内通过的汽车数该时间间隔内通过的汽车数则则 Y 就是一个随机变量就是一个随机变量 表示通过的汽车数小于表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件；辆这一随机事件； 表示通过的汽车数大于表示通过的汽车数大于 50 辆但不超过辆但不超过 100 辆这一辆这一随机事件随机事件第二章 随机变量及其分布1 随机变量它的取值为它的取值为 0，
5、1，注意注意 Y 的取值是可列无穷个！的取值是可列无穷个！退 出前一页后一页目 录例例 4 观察某电子元件的寿命（单位：小时），令观察某电子元件的寿命（单位：小时），令 Z：该该电子元件电子元件的寿命的寿命则则Z 就是一个随机变量它的取值为所有非负实数就是一个随机变量它的取值为所有非负实数表示表示该该电子元件的寿命大于电子元件的寿命大于 1000小时这一随机事件小时这一随机事件表示该表示该电子元件电子元件的寿命不超过的寿命不超过500小时这一随机事件小时这一随机事件第二章 随机变量及其分布1 随机变量注意注意 Z Z 的取值是不可列无穷个！的取值是不可列无穷个！退 出前一页后一页目 录例例 5
6、 掷一枚硬币，令：掷一枚硬币，令：则则X是一个随机变量是一个随机变量第二章 随机变量及其分布1 随机变量说说 明：明：在同一个样本空间上可以定义不同的随机变量在同一个样本空间上可以定义不同的随机变量退 出前一页后一页目 录 例例 6 掷一枚骰子，在掷一枚骰子，在例例2中，我们定义了随机变量中，我们定义了随机变量X表示出现的点数我们还可以定义其它的随机表示出现的点数我们还可以定义其它的随机变量，例如我们可以定义：变量，例如我们可以定义：等等等等第二章 随机变量及其分布1 随机变量退 出前一页后一页目 录第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量的分布率与性质离散型随机变
7、量的分布率与性质一些常用的离散型随机变量一些常用的离散型随机变量退 出前一页后一页目 录一、离散型随机变量的分布一、离散型随机变量的分布律(率率) )与性质与性质第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量1)离散型随机变量的定义离散型随机变量的定义如果随机变量如果随机变量 X 的取值是有限个或可列无穷个，的取值是有限个或可列无穷个，则称则称 X 为离散型随机变量为离散型随机变量退 出前一页后一页目 录第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量2)离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律设离散型随机变量设离散型随机变量 X 的所有可能取值为的所有可能取值为并设并设则称上式或则称上式或为为离散型随
8、机变量离散型随机变量 X 的分布律的分布律退 出前一页后一页目 录第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量3)3)离散型随机变量分布律的性质离散型随机变量分布律的性质: :退 出前一页后一页目 录例例 1 从从110这这10个数字中随机取出个数字中随机取出5个数字，令个数字，令X：取出的取出的5个数字中的最大值试求个数字中的最大值试求X的分布律的分布律第二章 随机变量及其分布具体写出，即可得具体写出，即可得 X 的分布律：的分布律：解：解： X 的可能取值为的可能取值为 5，6，7，8，9，10 并且并且=求分布率一定要说明求分布率一定要说明 k 的取值范围！的取值范围！退 出前一页后一页目
9、录例例 2将将 1 枚硬币掷枚硬币掷 3 次，令次，令第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量X：出现的正面次数与反面次数之差出现的正面次数与反面次数之差试求：试求： （1）X 的分布律；的分布律；解：解：X 的可能取值为的可能取值为-3， - 1，1，3并且分布律为并且分布律为退 出前一页后一页目 录例例 3设随机变量设随机变量 X 的分布律为的分布律为解：解：由分布由分布律律的性质，得的性质，得第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量该级数为等比级数，故有该级数为等比级数，故有所以所以退 出前一页后一页目 录第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号
10、灯，设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯以概率每盏信号灯以概率p禁止汽车通过禁止汽车通过. 以以 X 表示汽车首次表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求停下时，它已通过的信号灯的盏数，求 X 的分布律的分布律. (信号灯的工作是相互独立的信号灯的工作是相互独立的).PX=3例例 4=(1-p)3p退 出前一页后一页目 录第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量解：解： 以以 p 表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则 X 的分布律为：的分布律为：Xpk 0 1 2 3 4 p或写成或写成 PX= k = (1- p)kp，k = 0
11、,1,2,3 PX= 4 = (1-p)4 例例 4(续续) (1-p) p (1-p)2p(1-p)3p(1-p)4 退 出前一页后一页目 录第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量以以 p = 1/2 代入得：代入得：Xpk 0 1 2 3 4 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625例例 4(续续)退 出前一页后一页目 录二、一些常用的离散型随机变量二、一些常用的离散型随机变量第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量1) Bernoulli分布分布如果随机变量如果随机变量 X 的分布律为的分布律为或或则称随机变量则称随机变量 X 服从参数为服从参数为 p 的的 Berno
12、ulli分布分布退 出前一页后一页目 录Bernoulli分布也称作分布也称作 0-1 分布或二点分布分布或二点分布第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量Bernoulli分布的概率背景分布的概率背景进行一次进行一次Bernoulli试验，试验， A是随机事件。设：是随机事件。设：设设X 表示这次表示这次Bernoulli试验中事件试验中事件A发生的次数发生的次数或者设或者设退 出前一页后一页目 录2 2）二）二 项项 分分 布布如果随机变量如果随机变量 X 的分布律为的分布律为第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量退 出前一页后一页目 录分布律的验证分布律的验证 由于由于以及以及 n 为
13、自然数，可知为自然数，可知 又由二项式定理，可知又由二项式定理，可知所以所以是分布律是分布律第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量退 出前一页后一页目 录说 明显然，当显然，当 n=1 时时第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量退 出前一页后一页目 录二项分布的概率背景进行进行n重重 Bernoulli 试验，试验，A是随机事件。设在每次是随机事件。设在每次试验中试验中令令 X 表示表示这这 n 次次 Bernoulli 试验中事件试验中事件A发生的发生的次数次数第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量退 出前一页后一页目 录第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量说明：说明：所以所以退
14、出前一页后一页目 录第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量例例5 一大批产品的次品率为一大批产品的次品率为0.1，现从中取，现从中取出出15件试求下列事件的概率：件试求下列事件的概率： B= 取出的取出的15件产品中恰有件产品中恰有2件次品件次品 C= 取出的取出的15件产品中至少有件产品中至少有2件次品件次品 由于从一大批产品中取由于从一大批产品中取15件产品，故可近似看作件产品，故可近似看作是一是一15重重Bernoulli试验试验解：解：所以，所以，退 出前一页后一页目 录例例 6 一张考卷上有一张考卷上有5道选择题，每道题列出道选择题，每道题列出4个可能个可能答案，其中只有一个答案是
15、正确的某学生靠猜测答案，其中只有一个答案是正确的某学生靠猜测能答对能答对4道题以上的概率是多少？道题以上的概率是多少？则答则答5道题相当于做道题相当于做5重重Bernoulli试验试验第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量解：解：每答一道题相当于做一次每答一道题相当于做一次Bernoulli试验，试验，退 出前一页后一页目 录所以所以第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量退 出前一页后一页目 录二项分布的分布形态二项分布的分布形态由此可知，二项分布的分布率由此可知，二项分布的分布率先是随着先是随着 k 的增大而增大，达到其最大值后再随着的增大而增大，达到其最大值后再随着k 的增大而减少这个
16、使得的增大而减少这个使得第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量退 出前一页后一页目 录可以证明：可以证明：第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量退 出前一页后一页目 录例例 7 对同一目标进行对同一目标进行300次独立射击，设每次射击时的次独立射击，设每次射击时的命中率均为命中率均为0.44，试求，试求300次射击最可能命中几次？次射击最可能命中几次？其相应的概率是多少？其相应的概率是多少？ 则由题意则由题意第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量解：解：对目标进行对目标进行300次射击相当于做次射击相当于做300重重Bernoulli 试验令：试验令：退 出前一页后一页目 录因此，最可能射击的命中次数为因此，最可能射击的命中次数为其相应的概率为其相应的概率为第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量退 出前一页后一页目 录第六讲结束，谢谢！第六讲结束，谢谢！退 出前一页后一页第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量目 录
