第一章傅里叶光学基础

《第一章傅里叶光学基础》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第一章傅里叶光学基础（57页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第一章傅里叶光学基础第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础第一章 傅里叶光学基础11 二维傅里叶分析 12 空间带宽积和测不准关系式 13 平面波的角谱和角谱的衍射14 透镜系统的傅里叶变换性质第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础1.1 二维傅里叶分析1.1.1 1.1.1 定义及存在条件定义及存在条件 复变函数器复变函数器 g(x,y) g(x,y) 的傅里叶变换可表为的傅里叶变换可表为 G(G(u,vu,v) ) = = F F F F g(x,y) g(x,y) = = - - g(g(x x,y)ex

2、p-i2,y)exp-i2 ( (u ux+x+v vy)dy)dxdy xdy (1)(1)称称g(x,y)g(x,y)为原函数，为原函数，G(G(u,vu,v) )为变换函数或像函数。为变换函数或像函数。(1)(1)式的逆变换为式的逆变换为 g(x,y)g(x,y) = = F F F F -1-1G(G(u,vu,v) ) = = - - G(G(u,vu,v)expi2)expi2 ( (u ux+x+v vy)dy)du ud dv v (2) (2)第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础傅里叶-贝塞尔变换 设函数g(r, ) = g(r)

3、具有圆对称，傅里叶-贝塞尔变换为 G( ) = B B g(r) = 2 org(r)Jo(2r)dr其中 Jo 为第一类零阶贝塞尔函数傅里叶-贝塞尔逆变换为 g(r) = B B-1 -1 G( ) = 2 o G( )Jo(2r)d 第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础 变换存在的条件为变换存在的条件为 (1) g(x,y)(1) g(x,y)在全平面绝对可积；在全平面绝对可积； (2) g(x,y)(2) g(x,y)在全平面只有有限个间断点，在任何在全平面只有有限个间断点，在任何 有限的区域内只有有限个极值；有限的区域内只有有限个极值； (3

4、) g(x,y)(3) g(x,y)没有无穷大型间断点。没有无穷大型间断点。以以上上条条件件并并非非必必要要，实实际际上上，“ “物物理理的的真真实实” ”就就是是变换存在的充分条件。变换存在的充分条件。以下我们常用以下我们常用 g(x,y) g(x,y) G(G(u,vu,v) ) 表示变换对表示变换对对对于于光光学学傅傅里里叶叶变变换换，x x，y y是是空空间间变变量量，u u，v v 则则是是空空间间频频率率变变量量。在在一一维维情情况况下下，有有时时也也用用希希腊字母腊字母 v v 表示频率变量。表示频率变量。第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光

5、学基础1.1.2 函数的傅里叶变换由由 函数的定义容易得到函数的定义容易得到 (x-x(x-xo o , y-y, y-yo o) ) exp exp -i2-i2 ( (u ux xo o+ + v vy yo o) (3) (3)当当 x xo o=0=0，y yo o= 0 = 0 时得到时得到 (x, y) (x, y) 1 1 (4)(4)上式的物理意义表示点源函数具有权重为上式的物理意义表示点源函数具有权重为 l l 的最丰的最丰富的频谱分量因此光学中常用点光源来检测系富的频谱分量因此光学中常用点光源来检测系统的响应特性，即脉冲响应统的响应特性，即脉冲响应(3)(3)式还可表为式还

6、可表为, ,(x-x(x-xo o,y-y,y-yo o)=)= - - exp-i2exp-i2 u u(x-x(x-xo)o)+ +v v(y-y(y-yo o)d)du ud dv v它正是它正是 函数的积分表达式函数的积分表达式 根据根据 函数的偏导数的定义函数的偏导数的定义 - - (n)(n)(x)g(x)dx = (-1)(x)g(x)dx = (-1)n n g g(n)(n)(0) (6)(0) (6)得到得到 (k, (k, l l) )(x,y)(x,y)的傅里叶变换的傅里叶变换 (k, (k, l l) )(x,y) = (x,y) = k+k+l l(x, y)/ (

7、x, y)/ x xk k y yl l ) ) (i2 (i2 u u) )k k (i2(i2 v v) )l l (7) (7)第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础1.1.3 傅里叶变换的基本性质(1) (1) 线性线性 ( linearity )( linearity ) Ag(x,y) + Bh(x,y) Ag(x,y) + Bh(x,y) AG( AG(u,vu,v) + ) + BH(BH(u,u,v) (8)v) (8)(2) (2) 缩放及反演缩放及反演(scaling and inversion)(scaling and inve

8、rsion) g(ax,by) g(ax,by) G( G(u u/a, /a, v v/b)/|ab| (9)/b)/|ab| (9)上式表明空域信号的展宽将引起频域信号的压缩上式表明空域信号的展宽将引起频域信号的压缩. .特别是当特别是当 a = b = -1 a = b = -1 时，得到反演的变换性质：时，得到反演的变换性质： g(-x, -y) g(-x, -y) G( G(-u, -v-u, -v) (10) (10)(3) (3) 位移位移(shift)(shift) g(x+x g(x+xo o, y+y, y+yo o) ) exp expi2i2 ( (u ux xo o+

9、 +v vy yo o)G()G(u,vu,v) (11) (11)上式表示原函数的位移引起变换函数的相移上式表示原函数的位移引起变换函数的相移. .(4) (4) 共扼共扼(conjugation)(conjugation) g g* *(x, y) (x, y) G G* *( (-u, -v-u, -v) (12) (12)第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础(5) (5) 卷积卷积 (convo1ution) (convo1ution) g(x,y)g(x,y)和和h(x,y)h(x,y)的卷积定义：的卷积定义：g(x,y)g(x,y) h(

10、x,y) = h(x,y) = - - g(g( , , )h(x-)h(x- ,y-,y- )d)d d d 易证明易证明: g(x,y) : g(x,y) h(x,y) h(x,y) G( G(u,vu,v) H() H(u,vu,v) ) 函数的卷积有特殊的性质：函数的卷积有特殊的性质： g(x) g(x) (x-x(x-xo o) = g(x-x) = g(x-xo o) (15) (15)g(x,y) g(x,y) (k, (k, l l) )(x,y) = g (x,y) = g (k, (k, l l) )(x,y) (16)(x,y) (16)(6)(6)导数的变换公式可由导数

11、的变换公式可由(7)(7)式导出式导出 g g(k, (k, l l) )(x,y) (x,y) (i2(i2 u)u)k k (i2(i2 v)v)l l G(G(u,vu,v) (17) (17)第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础(7) (7) 相关相关(correlation)(correlation)函数函数g(x,y)g(x,y)和和h(x,y) h(x,y) 的相关定义为的相关定义为 g(x,y) g(x,y) h(x,y) = h(x,y) = - - g(g( , , )h(x+)h(x+ ,y+,y+ )d)d d d 当当g =

12、 h g = h 时成为自相关，有时成为自相关，有 g(x,y) g(x,y) g(x,y) = g(x,y) = - - g(g( , , )g(x+)g(x+ ,y+,y+ )d)d d d 相关的变换可以利用卷积的变换公式导出：相关的变换可以利用卷积的变换公式导出： g(x,y) g(x,y) h(x,y) = gh(x,y) = g* *(-x, -y) (-x, -y) h(x,y) h(x,y) G G* *( (u,vu,v) H() H(u,vu,v) )g(x,y) g(x,y) g(x,y) g(x,y) G(u,v) 2 (21) 自相关与功率谱构成傅里叶变换自相关与功率

13、谱构成傅里叶变换第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础 (8) (8) 矩矩 (moment)(moment) g(x,y) g(x,y)的的(k,(k,l l ) )阶矩定义为阶矩定义为 M M k, l k, l = = - - g(x,y)x g(x,y)xk k y yl l dxdy (22) dxdy (22) 将逆变换表达式将逆变换表达式(2)(2)代入上式，得到代入上式，得到M M k, lk, l= = -G(G(u,vu,v)d)du ud dv v - - x xk ky yl lexpexpi2i2 ( (u ux+x+v vy

14、)dxdyy)dxdy 由由 函数导数的变换表达式函数导数的变换表达式(7)(7)，上式内部的积分，上式内部的积分 -x xk ky yl lexpexpi2i2 ( (u ux+x+v vy)dxdy = (i2y)dxdy = (i2 ) )-k-k-l l (k, (k, l l) )( (u,vu,v) )矩的表达式矩的表达式 M M k, lk, l = = (-i2(-i2 ) )-k-k-l l G G ( (k,k,l) l) (0,0)(0,0)第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础 (9) Parseval (9) Parseval

15、 定理定理 g(x,y) g(x,y) h(x,y) h(x,y) GG* *( (u,vu,v)H()H(u,vu,v) )式式可可用用逆逆变变换换表达式改写为表达式改写为 - - g(g( , , )h(x+)h(x+ ,y+,y+ )d)d d d = = - - GG* *( (u,vu,v)H()H(u,vu,v)exp i2)exp i2 (ux+vy)d(ux+vy)du ud dv v 令令x = y = 0x = y = 0，上式为，上式为 -g(g( , , )h()h( , , )d)d d d = = -GG* *( (u,vu,v)H()H(u,vu,v)d)du u

16、d dv v 这一关系式称为这一关系式称为 Parseval Parseval 定理定理当当h =g h =g 时，上式化为时，上式化为 - g(g( , , ) ) 2 2 d d d d = = - - G(G(u,vu,v) ) 2 2 d dudvudv该式又称完备关系式，实际上是能量守恒定律在该式又称完备关系式，实际上是能量守恒定律在空域和频域中表达式一致性的表现空域和频域中表达式一致性的表现第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换1、rect(x)， (x)及sinc(x)函数定义(1) rect(x)函数

17、rect(x) = 1 ， | x | rect(x) = 0 ，其他(2) (x)函数 (x) = 1- | x | ， | x | 1 (x) = 0， 其他(3) sinc(x)函数 sinc(x) = (sin x)/ x -1 11 1-1-1第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换rect(x)， (x)及sinc(x)函数傅里叶变换：傅里叶变换分别为 rect(x) sinc(u) sinc(x) rect(u) (x) sinc2(u)第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基

18、础光学基础 1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换2、符号函数sgn(x)和阶跃函数step(x)符号函数sgn(x)定义 sgn(x)= 1， x 0 sgn(x)= 0， x = 0 sgn(x)= -1，x 0 step(x) =0 ， x 0 oo第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础 1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换sgn(x)函数和step(x)函数傅里叶变换傅里叶变换为 sgn(x) 1 / i ustep(x) = sgn(x)/2+1/2 1/i 2 u + (u)/2 利用step(x)的变换式及卷积定理，可求出积分 x- g( )d

19、 的变换： x- g( )d = - g( ) step (x- )d = g(x) step (x) G(u)1/i 2 u + (u)/2第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础 1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换3、周期函数 设函数g(x)可展开为傅里叶级数 g(x) = -Cnexp(i2n fox) (38)式中Cn =(1/X) X/2-X/2 g(x)exp(-i2n fox)dx周期X=1/fo对(38)式两边取傅氏变换得 G(u) = - Cn (u - n fo) (40)推导中用到积分变换式： (u - n fo) exp(i2 n

20、fox) 第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换 g(x) = -Cnexp(i2n fox) G(u) = - Cn (u - n fo) (40)4、函数comb(x) comb(x) = - (x - n) = -exp(i2n x) (42)系数Cn =1因此由(40)式可得 comb(x) comb(u) (43)第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换4 4、函数、函数comb(x)comb(x) 设设X X为实数常数，则有为实数常数

21、，则有(1/X)g(x) (1/X)g(x) comb(x/X) comb(x/X)= (1/X) = (1/X) - - g(g( ) comb(x -) comb(x - ) )/Xd/Xd = (1/X) = (1/X) - - g(g( ) ) - (x(x- - ) )/X/X - - nn d d = = - - - gX(gX( /X/X) ) xx/X-/X- /X/X-n-nd(d( /X)/X)= = -g g X(X(x x/X/X-n-n = = -g(xg(x - n- nX) (44)X) (44)结果得到了以结果得到了以nX (n = 0nX (n = 0，11，

22、 2 2，)为中心的为中心的一系列重复出现的波形一系列重复出现的波形g(xg(x - n- nX) X) ，这一现象称，这一现象称为为“ “复现复现” ” 第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换4、函数函数comb(x) gs(x)= g(x) comb(x/X) = g(x) - (x/X - n) = - g(nX) (x - nX) gs称 g 的抽样函数，X为抽样间隙，xn=nX称样点，g(xn)称样值所以g(x)的抽样函数gs(x)是以样值为权重的 函数序列第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学

23、基础光学基础光学基础光学基础1.1.5 功率谱与空间自相关函数由Parseval 定理 -g(x, y)2 dxdy = - G(u,v) 2 dudv g(x,y)为光场的复振幅分布， g(x, y)2代表光强分布， G(u,v)2 则表示单位频率间隔的光能量，称为功率谱，用s(u,v)表示为s(u,v) = G(u,v)2 (46) 根据变换定理，我们得到g(x,y) g(x,y) G(u,v) 2 = s(u,v) (47)第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础1.1.5 功率谱与空间自相关函数g(x,y) g(x,y) g(x,y) g(x,y

24、) G(G(u,vu,v) ) 2 2 = = s( s(u,vu,v) (47) (47)g g g g 在在光光学学上上称称为为空空间间自自相相关关函函数数上上式式表表示示功率谱是空间自相关函数的傅氏变换功率谱是空间自相关函数的傅氏变换 空空间间自自相相关关函函数数表表征征空空间间相相距距为为(x,y)(x,y)的的两两点点之之间间场场的的相相似似性性或或关关联联性性，它它是是场场的的空空间间相相干干性性的的度度量量。场场的的相相干干性性较较高高时时，功功率率谱谱的的弥弥散散就就较较小小，表表示示光光功功率率在在频频域域内内集集中中在在很很小小的的区区域域中中( (可可称称为为准准单单色色

25、光光) )；反反之之当当场场的的相相干干性性较较差差时时，功功率率谱谱的的弥弥散散就就较较大大，表表示示光光功功率率在在频频域域中中分分布布在较大的区域内，包含较宽的波段。在较大的区域内，包含较宽的波段。第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础1.2 空间带宽积和测不准关系式1.2.1 空间带宽积与自由度 如果信号g 在频域内不为零的分量限制在某一区域内，则称为“带限函数”。1、Whittaker-Shannon抽样定律： 带限函数g(x,y)被它的抽样值的无穷集合 g mn = g( m/ u, n/ v) 完全确定，式中 u ， v 是频带的宽度，m

26、, n = 0, l , 2, 。第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础2、空间带宽积与自由度傅氏变换及解析函数的一般理论告诉我们： 频域内的带限函数，在空域内必然扩展到全平面，因为带限函数的傅里叶变换是一个解析函数，它不可能在一个有限的区域内处处为零，否则通过解析开拓就可以证明这个函数在全平面内处处为零1.2.1 空间带宽积与自由度第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础 1.2.1 空间带宽积与自由度2、自由度 实际信号测量系统的输入平面总是有限制的，设信号被限制在 r - x/2 , x/2 , - y/2

27、, y/2矩形区域内，又设系统的带宽 u， v 与抽样间隙X，Y满足倒数的关系，则在 r 内共有抽样点N 个， N = x y/XY= x y u v = SW (1)式中S = x y, W = u v 。 SW称空间带宽积，是评价系统性能的重要参数，(1)式指出通过系统的样点数等于空间带宽积第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础 因为一个在频域中非无限扩展的信号(带限信号)，在空域中必然是无限扩展的，若用一个具有有限大小的输入端面的系统对该信号进行测量，必然造成信息量的损失，使测量结果失真。 例如信号分布在矩形 r 内，那么这个信号就被它的N个样值

28、基本上确定了。我们称这个信号有 N 个自由度，显然自由度数等于空间带宽积第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础 如果系统的输入端面的尺寸小于r，则自由度数将小于N所以空间带宽积与其说是信号的特征，还不如说是系统的特征，因为系统有限的空域和频域尺寸限制了通过它的信息量 例如对于一个成像系统，限制空域尺寸的是视场光阑的大小，限制频域尺寸的是孔径光阑的大小。显然视场越大、孔径越大的系统能传递更多的信息第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础1.2.2 系统的分辨率 考考虑虑一一个个低低通通滤滤波波性性能能的的系系统统的

29、的分分辨辨率率，即即输输入入平平面面上上能能被被系系统统分分辨辨开开来来的的两两个个点点的的最最小小间间距距( (最小分辨长度最小分辨长度) )的倒数。的倒数。 由由抽抽样样定定理理可可知知，对对任任意意输输入入信信号号g(x,y)g(x,y)来来讲讲，由由于于系系统统频频率率响响应应特特性性的的限限制制，其其效效果果都都是是带带限限的，因此可以用抽样函数的，因此可以用抽样函数g gs s(x,y)(x,y)来代替它。来代替它。只要抽样点充分稠密，即条件只要抽样点充分稠密，即条件 X 1/ X 1/ u，Y 1/ Y 1/ v (4) (4)满满足足时时，对对于于系系统统输输出出端端而而言言，

30、g gs s和和g g 等等价价，在在输输出出端端并并不不能能觉觉察察出出g gs s 的的周周期期结结构构，或或者者说说 g gs s 包含的脉冲是不可分辨的。包含的脉冲是不可分辨的。第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础1.2.2 系统的分辨率 当条件当条件(4)(4)不满足时，不满足时， g gs s和和g g 对于输出端不再对于输出端不再等价，从而在输出端就能觉察出等价，从而在输出端就能觉察出g gs s 的周期结构，的周期结构，或者讲或者讲g gs s 中两个相邻脉冲能够被系统分辨开来。中两个相邻脉冲能够被系统分辨开来。这样，系统的最小分辨长

31、度这样，系统的最小分辨长度 x x 和和 y y应当与应当与(4)(4)式式表示的表示的X X，Y Y 同数量级，从而与带宽成反比：同数量级，从而与带宽成反比： x x 1/ 1/ u， y y 1/ 1/ v (5) (5)最小分辨长度与空间带宽积的关系为最小分辨长度与空间带宽积的关系为 x x y y x y/SW (6) (6)可可见见在在给给定定输输入入端端面面尺尺寸寸 x， y后后，SWSW越越大大，最最小小分分辨辨长长度度就就越越小小，系系统统的的分分辨辨率率就就越越高高，测测量过程的失真越小。量过程的失真越小。第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基

32、础光学基础1. 2.3 等效带宽和测不准关系仅考虑一维情况仅考虑一维情况 G(G(u u) = ) = - - g(g(x x)exp(-i2)exp(-i2 u ux)dx)dx x (7)(7) g( g(x x) = ) = - - G(G(u u)exp(i2)exp(i2 u ux)dx)du u (8)(8) 由以上两式可得由以上两式可得 G(0) = G(0) = - - g(g(x x)d)dx x (9)(9) g( g(0 0) = ) = - - G(G(u u)d)du u (10) (10) 设信号在空域和频域中不显著为设信号在空域和频域中不显著为0 0的分量都的分量

33、都集中在原点近旁有限区域内，则可用近似度量集中在原点近旁有限区域内，则可用近似度量g(x)g(x)和和G(G(u u) )的弥散或展宽的程度引入的弥散或展宽的程度引入 和和 ：(11)(12)第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础 意义： 如一个矩形高度等于G(0)，面积与曲线G(u)下的面积相同，则它的宽度为 ， 又称为“等效带宽”。等效带宽 Goodman提出了等效带宽的概念，它是频谱曲线展宽程度的某种度量，G(u)越宽， 越大，因而常用来评价系统的性能。G(G(u u) )第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光

34、学基础 将将(11)(11)、(12)(12)交叉相除得到交叉相除得到(13)(13)由于由于 可表征信号在空域的展宽或弥散，上式可表征信号在空域的展宽或弥散，上式意味着信号在空域和频域中的展宽是互相制约的意味着信号在空域和频域中的展宽是互相制约的 假设要对信号进行长度或位置测量，测量系假设要对信号进行长度或位置测量，测量系统可看成是对被测对象的一个变换，在位置测量统可看成是对被测对象的一个变换，在位置测量时必须使系统首先时必须使系统首先“ “对准对准” ”空间的一个定点或长度空间的一个定点或长度的一个端点，该点可以用的一个端点，该点可以用 函数表示，它就是系函数表示，它就是系统的输入，而输出

35、恰恰就是系统的脉冲响应统的输入，而输出恰恰就是系统的脉冲响应h h。必须指出，通过测量我们只能获得必须指出，通过测量我们只能获得 h h 所包含的信所包含的信息，我们永远无法直接得到被测点本身息，我们永远无法直接得到被测点本身第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础所有测量系统的等效带宽所有测量系统的等效带宽 都是有限的，从而都是有限的，从而 函数的脉冲响应函数的脉冲响应h h 就有一定的弥散就有一定的弥散 ，它表征了，它表征了对准误差，因而也就是系统空间分辨率大小的度对准误差，因而也就是系统空间分辨率大小的度量注意到量注意到 取决于整个频谱函数取决于整

36、个频谱函数G(u)G(u)，因此两，因此两个系统即使有等同的截止频率，由于个系统即使有等同的截止频率，由于G(u)G(u)不相同，不相同，也会得到不同的等效带宽也会得到不同的等效带宽 ，因而，因而 也不一致也不一致一般来讲，一般来讲， 越大，频响特性就越好，脉冲越大，频响特性就越好，脉冲响应的弥散响应的弥散 就越小由于就越小由于 = = 的系统不存的系统不存在，所以在，所以 永远不等于永远不等于0 0在这个意义上讲，测在这个意义上讲，测量永远都不是绝对准确的，量永远都不是绝对准确的，(13)(13)式称为光学系统式称为光学系统的测不准关系，它与量子力学中的测不准关系实的测不准关系，它与量子力学

37、中的测不准关系实质上一致质上一致第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础1.2.4 广义测不准关系( x)2 ( u )2 1/16 2或 x u 1/4 (18)第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础1.3 平面波的角谱和角谱的衍射第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础1.3 平面波的角谱和角谱的衍射 从变换光学入手来讨论衍射效应从变换光学入手来讨论衍射效应1. 3.1 1. 3.1 角谱角谱 设设单单色色光光波波沿沿z z 方方向向传传播播，照照射射到到xyxy平平面

38、面上上，在在xyxy平面上的光场复振幅分布用函数平面上的光场复振幅分布用函数 (x,y,0)=(x,y,0)= (x,y)(x,y) = = - - A(A(u u,v ,v)expi2)expi2 ( (u ux+x+v vy)dy)du ud dv v (1)(1)一个波矢量为一个波矢量为k k 的平面波的平面波 o o(x, y,z) = A(x, y,z) = A(u u,v ,v,z ,z) exp(ikr) exp(ikr) = A( = A(u u,v ,v,z ,z) expi2) expi2 ( ( x + x + y +y + z z)/ )/ 其中其中 , , 和和 是是

39、 k k 的方向余弦的方向余弦第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础1.3 平面波的角谱和角谱的衍射1. 3.1 1. 3.1 角谱角谱 (x,y,0)= (x,y,0)= - - A(A(u u,v ,v)expi2)expi2 ( (u ux+x+v vy)dy)dudv udv (1)(1)引入矢量引入矢量a = (a = ( , , ) ), , 则在则在z = 0 z = 0 的平面上的平面上 o o(x,y,0) = A(x,y,0) = A(u u,v ,v) exp(i2) exp(i2 ar/ar/ ) )= A(= A(u u,v

40、,v) expi2) expi2 ( ( x + x + y)/y)/ (4) (4)将将(4)(4)式和式和(1)(1)式作比较，得式作比较，得u u = = / / , , v v = = / / (5) (5)则则(1)(1)式可用式可用a a 表示为表示为 (x,y)=(x,y)= - - A(A( / / , , / / )expi2)expi2 ( ( x+ x+ y)/y)/ d(d( / / )d()d( / / ) ) (6)(6)上上式式表表示示：z z = = 0 0平平面面上上的的场场，即即透透过过x x y y 平平面面向向+z +z 方向传播的波，可用不同方向的平面

41、波展开方向传播的波，可用不同方向的平面波展开第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础1.3 平面波的角谱和角谱的衍射u = u = / / , v = , v = / / (5) (5) (x,y)=(x,y)= - - A(A( / / , , / / )expi2)expi2 ( ( x+ x+ y)/y)/ d(d( / / )d()d( / / ) ) (6)(6)(5)(5)式表示空间频率正比于式表示空间频率正比于 / / 或或 / / ，在，在 (x,y)(x,y)中中的低频分量对应于与轴夹角不大的平面波分量。的低频分量对应于与轴夹角不大的平

42、面波分量。而高频分量则对应于与而高频分量则对应于与z z 轴夹角较大的平面波分轴夹角较大的平面波分量。不同方向的平面波的权函数量。不同方向的平面波的权函数A(A( / / , , / / ) ) 称称为为 (x,y)(x,y)的角谱，和空间频谱的实质是相同的。的角谱，和空间频谱的实质是相同的。 A(A( / / , , / / ) ) 与与 (x,y) (x,y) 的关系就是傅里叶变换：的关系就是傅里叶变换： A(A( / / , , / / ) =) = - - (x,y) exp-i2(x,y) exp-i2 ( ( x+ x+ y)/y)/ dxdy dxdy (7)(7)(6)(6)和

43、和(7)(7)两式构成傅里叶变换对。两式构成傅里叶变换对。第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础1.3.2 角谱的传播首先首先A(A( / / , , / / ;z;z) )与与A(A( / / , , / / ) )的关系为的关系为: :A(A( / / , , / / ;z;z)=)= - - (x,y,z) (x,y,z) exp-i2exp-i2 ( ( x+ x+ y)/y)/ dxdy dxdy (x,y,z)=(x,y,z)= - - A(A( / / , , / / ;z;z)expi2)expi2 ( ( x+ x+ y)/y)/ d

44、(d( / / )d()d( / / ) )以以 (x,y,z) (x,y,z) 代入亥姆霍兹方程，交换积分与微分代入亥姆霍兹方程，交换积分与微分的次序，可知的次序，可知A(A( / / , , / / ;z;z) ) 也满足亥姆霍兹方也满足亥姆霍兹方程：程：(d(d2 2/dz/dz2 2 +k+kz z2 2)A()A( / / , , / / ,z ,z) = 0 (10) = 0 (10)式中式中 (11)(11)(10)(10)式的一个解是式的一个解是(12)(12)第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础1.3.2 角谱的传播 当当 2 2+

45、 + 2 2 1 1 1 时时，取取正正数数 ，则则 角角 谱谱 为为 A(A( / / , , / / ;z;z)= )= A(A( / / , , / / ) ) exp(-exp(-2 2z/ z/ ) )表表示示一一个个随随z z 的的增增大大迅迅速速衰衰减减的的波波，称称隐隐失失波波，它它只只存存在在于于很很接接近近于于xyxy平平面面的的一一个个薄薄层层内内，这这是是近场光学要讨论的问题近场光学要讨论的问题第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础1.3.3 菲涅耳衍射将将(12)(12)式中相因子内的根号作泰勒展开：式中相因子内的根号作泰勒展

46、开：(14)(14)在上式中只保留二级小量，则在上式中只保留二级小量，则 A(A( / / , , / / ;z;z)= A()= A(u u, , v v) expi2) expi2 z(1- z(1- 2 2 2 2/2/2)/ )/ = A( = A(u u, , v v) exp(i2) exp(i2 z/ z/ ) ) exp(-iexp(-iz z 2 2) ) = A( = A(u u, , v v) exp(i2) exp(i2 z/ z/ ) ) exp-exp-i iz(z(u u2 2+ +v v2 2) ) 由于由于 A(A(u u, , v v) ) (x,y) (x

47、,y) exp-i exp-iz(z(u u2 2+ +v v2 2) ) exp-iexp-i (x(x2 2+ +y y 2 2)/ )/ z / iz / i z z (x,y,z) (x,y,z) A(A( / / , , / / ;z;z) )第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础A(A( / / , , / / ;z)=;z)=A(A(u u, , v v) ) exp(i2exp(i2 z/ z/ ) ) exp-iexp-iz z( (u u2 2+ +v v2 2) ) A( A(u u, , v v) ) (x,y) (x,y) e

48、xp-i exp-iz(z(u u2 2+ +v v2 2) ) exp-iexp-i (x(x2 2+ +y y 2 2)/ )/ z / iz / i z z (x,y,z) (x,y,z) A(A( / / , , / / ;z;z) )卷积的性质卷积的性质: g(x,y) : g(x,y) h(x,y) h(x,y) G( G(u,vu,v)H()H(u,vu,v) )相应的空域信号为相应的空域信号为 (x,y,z)=exp(i2(x,y,z)=exp(i2 z/ z/ ) ) (x,y) (x,y) expi expi (x(x2 2+ +y y2 2)/)/ z/iz/i z z

49、(16)(16)=exp(i2=exp(i2 z/ z/ ) )/i /i z z - ( ( , , )expi)expi (x-(x- ) )2 2+(+(y-y- ) )2 2 / / zdzd d d 上式即为菲涅耳衍射的公式，积分在上式即为菲涅耳衍射的公式，积分在 z = 0z = 0的平的平面进行，式中面进行，式中 (x,y)(x,y)表示表示z = 0z = 0的光场复振幅分布。的光场复振幅分布。第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础1.3.4 夫琅和费衍射若 z ( 2 + 2)/ (17)则菲涅耳衍射的公式化为 (x,y,z) = e

50、xp(i2(x,y,z) = exp(i2 z/ z/ ) )/i /i z z expiexpi (x(x2 2+ +y y2 2)/ )/ zz - ( ( , , ) ) exp-i2exp-i2 ( ( x+x+ y y)/ )/ zdzd d d (18)(18)就化为远场衍射即夫琅和费衍射的情况。(18)式还可表为 (x,y,z) = (A/ z) (x/ z, y/ z) (19)上式表示除了与积分变量无关的相位因子A以外， 为 的傅里叶变换，频域宗量为x/x/ z z 及y y/ / z z 第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础1.3

51、.5 角谱的衍射 设在设在xyxy平面上有一不透光的屏，屏上带一透平面上有一不透光的屏，屏上带一透光的孔，孔的复数透过率用光瞳函数光的孔，孔的复数透过率用光瞳函数p(x, y)p(x, y)来表示，来表示，p(x, y)p(x, y)可以是复数这样，屏后面的透射场可以是复数这样，屏后面的透射场 t t 可用可用入射波的场入射波的场 i i 表为表为 t t (x, y)(x, y) = = i i (x, y)(x, y) p(x, y)p(x, y) (20) (20)在频域中，上式变为在频域中，上式变为 A At t( ( / / , , / / ) ) = A = Ai i( ( / /

52、 , , / / ) ) P( P( / / , , / / ) ) (21)(21)式中式中P P 为为 p p 的角谱的角谱(21)(21)式说明透射波角谱为入射式说明透射波角谱为入射波角谱与光瞳函数角谱的卷积引入光阑后，一波角谱与光瞳函数角谱的卷积引入光阑后，一般来讲信号的空间分布受到压缩般来讲信号的空间分布受到压缩第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础 根据测不准原理，信号在频域中的分布必然根据测不准原理，信号在频域中的分布必然展宽展宽. (21). (21)式所示的卷积运算的结果，总是使入射式所示的卷积运算的结果，总是使入射波的角谱变得更加平

53、滑，换言之，有更多的能量波的角谱变得更加平滑，换言之，有更多的能量扩散到高频段中去扩散到高频段中去 (12)(12)式为角谱在自由空间中的衍射公式式为角谱在自由空间中的衍射公式. .如果如果考虑到考虑到xyxy平面上光瞳函数的作用，平面上光瞳函数的作用，(12)(12)式改写为式改写为 (22)(22)(12)(12)式式或或(22)(22)式式原原则则上上可可以以解解决决任任何何光光波波的的传传播播及及衍射问题衍射问题第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础1.4 透镜系统的傅里叶变换性质远场衍射即夫琅和费衍射 (x,y,z) = exp(i2(x,y

54、,z) = exp(i2 z/ z/ ) )/i /i z z expiexpi (x(x2 2+ +y y2 2)/ )/ zz - ( ( , , ) ) exp-i2exp-i2 ( ( x+x+ y y)/ )/ zdzd d d (18)(18) (18)式表明，远场衍射具有傅里叶变换的特性由于薄透镜或透镜组的后焦面等价于，因而可以想像凡是具有正焦距的光学系统都应当具有傅里叶变换的功能第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础 设设用用振振幅幅为为 l l 的的单单色色平平面面波波照照射射一一个个在在xyxy平平面面上上，且且振振幅幅透透过过率率

55、为为g(x, g(x, y)y)的的物物体体，则则物物体体后后面的场为面的场为g(x, y)g(x, y)光场用平面波角谱展开：光场用平面波角谱展开：g(x, y) g(x, y) = = - - G(G( / / , , / / )expi2)expi2 ( ( x+ x+ y)/y)/ d(d( / / )d()d( / / ) )第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础 由于透镜组具有聚焦的特性，所有方向相同，即具有同样的方向余弦 , 的入射波都将会聚到透镜组后焦面的一点Q(u,v)上。当透镜组焦距 f (u2+v2)1/2 时，即Q点很接近于原点

56、时，有下面的近似等式 u f, v f (2)g(x, y)的角谱中所有方向余弦为 , 的角谱分量都对Q点有贡献，Q点的的复振幅自然就等于G( / , / ) ，因而后焦面上的复振幅分布为 G( / , / ) = G(u/ f, v/ f) (3)第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础 这样，透镜组的后焦面就成为信号的频域，透镜组起了傅里叶变换的作用。大部分具有聚焦性能的器件，例如反光镜、自聚焦透镜等，都具有傅里叶变换的功能。薄透镜的傅里叶变换功能可以直接计算出来，但它只是光学傅里叶变换器件的一个特例 我们用 u，v 来表示频域的坐标，也可以表示空间

57、频率变量。在一维的情形下也用 v 来表示空间频率变量。第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础注意注意 u u f f, , v v f (2) f (2)只是近轴近似严格来说，只是近轴近似严格来说， u u =f tg =f tg = f = f /(1- /(1- 2 2) )1/21/2 ( ( =cos =cos ) ) (4)(4)式中式中 是波矢量是波矢量k k 与与z z 轴的夹角。为简单起见，设轴的夹角。为简单起见，设k k 位于位于xzxz平面内平面内(4)(4)式又称正切条件，只是在式又称正切条件，只是在 很很小时，才满足小时，才满足

58、(2)(2)式。当式。当 较大时，傅里叶平面较大时，傅里叶平面( (后焦面后焦面) )上的线上的线度度u u 与空间频率与空间频率 / / 并不满足正并不满足正比关系。比关系。第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础 从几何光学知道，一个像差校正得很好的透镜必须满足正弦条件，而正弦条件与正切条件是难以同时满足的，所以，性能完善的傅里叶变换透镜是很难设计的。 不过在大多数情况下，光学变换是作为近似的模拟变换而加以应用的，再说推导薄透镜的相位变换公式时已经引入了近轴近似。在大多数应用中，无论是薄透镜或是透镜组仍然是最方便、廉价的光学傅里叶变换器件。第一章傅里

59、叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础透镜系统的相位变换公式 由于透镜系统能将平面波转换成球面波，所以它的相位变换效应可以表为 tl = exp(ik ) exp(ikr)/r (5)式中 为透镜组的等效厚度。 r = OP，O是会聚球面波的中心，也是透镜系统的焦点，OQ = OM= f，f 为焦距，在近轴近似下，PQ MN = h，第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础 t tl l = exp(ik = exp(ik ) ) exp(ik exp(ikr)/rr)/r r = f + PQ r = f + PQ f

60、+ h f + h。因为因为 2 2 + + 2 2 + f + f 2 2 = r = r2 2 (f + h) (f + h)2 2 2 2 + + 2 2 (f + h)(f + h)2 2 - - f f 2 2 2fh 2fh h h ( ( 2 2 + + 2 2)/2f)/2f所以所以 r r f + h = f + ( f + h = f + ( 2 2 + + 2 2)/2f )/2f (6)(6)式中式中 ( ( , , ) )是是 P P 点坐标，代入点坐标，代入(5)(5)式，取分母上的式，取分母上的r r f f , , 得透镜系统的相位变换公式得透镜系统的相位变换公

61、式 t tl l = expik( = expik( -f)-f)expik(expik( 2 2 + + 2 2)/2f )/2f / f/ f (7)(7)第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础透镜系统对图像的变换公式 设设光光波波在在d dl l和和d d2 2范范围围内内的的传传播播满满足足菲菲涅涅耳耳近近似似条件，则由条件，则由1.31.3节节 (16)(16)式透镜前表面的场式透镜前表面的场 l l可表为可表为 l l( ( , , )= e)= eikd1ikd1/i /i d d1 1 - o o( (x x, ,y y)expi)ex

62、pikk( ( -x)-x)2 2+(+( -y)-y)2 2 / /2d2d1 1dxdxdy dy (8)(8)透镜透镜L L的相位变换效应可表为的相位变换效应可表为 l l ( ( , , )=t)=tl l l l= =( (e e-ikf-ikf/f)exp-ik(/f)exp-ik( 2 2+ + 2 2)/2f)/2f l l( ( , , ) (9) (9)其中略去了常数相位项其中略去了常数相位项 exp(ikexp(ik ) ) 设输入平面的透过率设输入平面的透过率为为 o o(x,y)(x,y)，它位于透镜，它位于透镜L L前前d dl l 处输出平面处输出平面uvuv位于

63、位于L L后后d d2 2 处。物体用振幅为处。物体用振幅为1 1的单色光波照明。的单色光波照明。第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础利用菲涅耳变换公式，得到输出平面利用菲涅耳变换公式，得到输出平面( (u,vu,v) )上的场上的场 l l( (u u, , v v)= exp(ikd)= exp(ikd2 2)/i)/i d d2 2 - l l ( ( , , )expi)expikk(u-(u- ) )2 2+(v-+(v- ) )2 2 / /2d2d2 2dd d d (10) (10)将将(8)(8)，(9)(9)代入代入(10)(10

64、)式，得式，得 l l( (u u, , v v)=-exp(ik(d)=-exp(ik(d1 1+d+d2 2-f)expik(u-f)expik(u2 2+v+v2 2)/2d)/2d2 2/ / 2 2d d1 1d d2 2f f - o o( (x x, ,y y)expi)expik(k(x x2 2+ +y y2 2) )/ /2d2d1 1I(x,y)dI(x,y)dxdy xdy (11) (11)其中其中I(x,y)= I(x,y)= -expik/2(1/dexpik/2(1/d1 1+1/d+1/d2 2-1/f)(-1/f)( 2 2+ + 2 2) ) -2(x/d

65、 -2(x/d1 1+u/d+u/d2 2) ) - -2(y/d2(y/d1 1+v/d+v/d2 2) ) dd d d = I= I1 1(x, y)I(x, y)I2 2(x, y) (12)(x, y) (12)I Ij j = = -expi(kexpi(k2 2/2-k/2-k j j )d)d ( j=1,2) ( j=1,2) (13)(13) = 1/d = 1/d1 1+1/d+1/d2 2-1/f, -1/f, 1 1 = = x/dx/d1 1+u/d+u/d2 2 , , 2 2 = = y/dy/d1 1+v/d+v/d2 2第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第

66、一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础 讨论：以以(15), (16)(15), (16)式代入式代入(12)(12)式，再代入式，再代入(11)(11)式，经整式，经整理，得到理，得到(a) 0(15)(16) (18)第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础 当d2 = f，即以后焦面作为输出平面，则(18)式化作 (19)此时 是 o的傅里叶变换(相位因子除外，在探测光强时相位因子不起作用)，宗量是( u/ f, v/ f )第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础 当d2= f , d1= f 时，相位因子消去， (20) 是 o的傅里叶变换 在一般情况下，d1 和d2 与 f 并不相等在这种情况下，有可能实现广义傅里叶变换(分数阶傅里叶变换)。我们将在第五章中详细讨论这一课题。第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶第一章傅里叶光学基础光学基础光学基础光学基础