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1、应用时间序列分析何书元编着应用时间序列分析何书元编着北京大学出社北京大学出社概率统计学科中的一个分支，具有非常广泛的概率统计学科中的一个分支，具有非常广泛的应用领域应用领域(数据以时间序列的形式出现）：数据以时间序列的形式出现）：金融经济气象水文信号处理机械振动目的：描述、解释、预测、控制目的：描述、解释、预测、控制本书主要介绍时间序列（线性平稳序列）的基本知识、本书主要介绍时间序列（线性平稳序列）的基本知识、常用的建模和预测方法常用的建模和预测方法 1.1 时间序列的分解n最早的时间序列分析可以追溯到7000年前的古埃及。n古埃及人把尼罗河涨落的情况逐天记录下来，就构成所谓的时间序列。对这个
2、时间序列长期的观察使他们发现尼罗河的涨落非常有规律。由于掌握了尼罗河泛滥的规律，使得古埃及的农业迅速发展，从而创建了埃及灿烂的史前文明。 n按照时间的顺序把随机事件变化发展的过程记录下来就构成了一个时间序列。对时间序列进行观察、研究，找寻它变化发展的规律，预测它将来的走势就是时间序列分析。例1 德国业余天文学家施瓦尔发现太阳黑子的活动具有11年左右的周期Wolfer记录的300年的太阳黑子数例2n国际航空公司月旅客数某上市公司的周走势图例3n1790-1980年间每10年的美国人口总数例4n1985至2000年广州月平均气温例5（见教材）n北京地区洪涝灾害数据例5 虚线是成灾面积n图 一、时间
3、序列的定义 n时间序列:按时间次序排列的随机变量序列n 个观测样本:随机序列的 个有序观测值 n称序列 是时间序列(1.1)的一次实现或一条轨道二、时间序列的分解时间序列的典型模型趋势项 、季节项 、随机项注注：1. 单周期s季节项，则 此时在模型中可要求 2. 随机项，可设三、分解方法 例. 某城市居民季度用煤消耗量例图分解一般步骤1. 趋势项估计趋势项估计n分段趋势n线性回归拟合直线n二次曲线回归n滑动平均估计2. 估计趋势项后估计趋势项后,所得数据所得数据由季节项和随机项组成由季节项和随机项组成, 季节项估计季节项估计可由该数据的每个季节平均而得可由该数据的每个季节平均而得.3. 随机项
4、估计即为随机项估计即为方法一：分段趋势法一、分段趋势图(年平均)趋势项估计为二、减去趋势项后,所得数据1005.4-529.3-1025.1548.9940.4-342.4-1129.4531.2781.1-194.8-1178.75921056.5-541.1-1084.1568.61150.9-399.5-1265.2513.51092-419 -1182.4509.6消取趋势项后图三、季节项和随机项1.季节项估计2.随机项的估计 1-1251194.8-6461.914.7-12.8-223.3209.5-34.64852.1-136.86024.6146.54.8-121.1-30.5
5、87.6-14.7-38.3-34.4方法二：回归直线法一、趋势项估计 一元线性回归模型 最小二乘估计为 可得到 n数据和直线趋势项估计趋势项后,所得数据 （1.0e+003 *）1.0764 -0.4802 -0.9979 0.5542 0.9258 -0.3789 -1.1878 0.4509 0.6572 -0.3406 -1.3462 0.40261.0654 -0.5541 -1.1190 0.51181.2611 -0.3112 -1.1988 0.55801.2365 -0.2964 -1.0817 0.5884二、季节项估计 为1.0e+003 *1.0371 -0.3936
6、-1.1552 0.51101.0371 -0.3936 -1.1552 0.51101.0371 -0.3936 -1.1552 0.51101.0371 -0.3936 -1.1552 0.51101.0371 -0.3936 -1.1552 0.51101.0371 -0.3936 -1.1552 0.5110随机项估计为方法三： 二次曲线法数据和二次趋势项估计二次项估计季节项季节项 1.0e+003 * 1.0283 -0.4002 -1.1630 0.4989 1.0283 -0.4002 -1.1630 0.4989 1.0283 -0.4002 -1.1630 0.4989 1.
7、0283 -0.4002 -1.1630 0.4989 1.0283 -0.4002 -1.1630 0.4989 1.0283 -0.4002 -1.1630 0.4989随机项-83.0000 -176.9667 99.0000 16.8833-116.4000 28.7333 0.7000 -7.6167-319.0000 120.2333 -117.3000 -28.3167104.0000 -91.2667 99.1000 57.2833263.3000 102.4333 -42.7000 28.6833151.1000 16.8333 -38.8000 -66.91671.2 平稳
8、序列1.时间序列的分解中趋势项和季节项通常可以用非随机函数来描述。2.随机项通常呈现出沿一水平波动的性随机项通常呈现出沿一水平波动的性质，且前后数据具有一定的相关性，质，且前后数据具有一定的相关性，与独立序列有所不同。与独立序列有所不同。一、平稳序列例2.1 平稳序列的线性变换例2.2 调和平稳序列自协方差函数的性质性质(2)的证明 证 任取一个 维实向量有性质(3)、Schwarz不等式非负定性、随机变量的线性相关自相关系数白噪声标准正态白噪声的标准正态白噪声的60个样本个样本: A=randn(1,60)；plot(A)例2.3 Poisson过程Poisson白噪声Poisson白噪声的
9、60样本的产生1. 随机产生服从(0,1)上均匀的200个样本:2. 给出服从参数为1的指数分布的200个独立样本;3. 给出参数为1的Poisson过程一条样本轨道在i=1,61上的取值:y=rand(1,100); z= -log(1-y);for i=1:61;sum=0;num=0; for j=1:100sum=sum+z(j); if sum=i num=num+1;end N(i)=num; end end 4参数为的Poisson白噪声的60个样本: t=1:60; plot(t,N(t+1)-N(t)-1)；布朗运动标准正态白噪声的标准正态白噪声的60个样本个样本: A=ra
10、ndn(1,60)；plot(A)随机相位随机相位独立白噪声的独立白噪声的60个样本个样本独立白噪声的独立白噪声的60个样本，其中个样本，其中独立同分布且都在上服从独立同分布且都在上服从 均匀分布均匀分布for t=1:60; U(t)=rand(1,1); end plot(U) t=1:60; plot(t,sqrt(2)*cos(4*t+2*pi*U(t)二、正交和不相关性定理2.21.3 线性平稳序列和线性滤波n有限运动平均n线性平稳序列n时间序列的线性滤波有限运动平均MA的平稳性概率极限定理线性平稳序列1. 线性序列的线性序列的a.s.收敛性收敛性2. 线性序列的平稳性线性序列的平稳
11、性注注:均方意义下的线性序列均方意义下的线性序列3. 定理定理证 当 时注：4. 一般平稳序列不一定一般平稳序列不一定则则单边线性序列单边线性序列线性滤波线性滤波矩形窗滤波器矩形窗滤波器例例3.1 余弦波信号的滤波余弦波信号的滤波n注:余弦波信号的滤波n余弦波信号的滤波：余弦波信号的滤波：t=1:100;epslon(t)=randn(1,100);U=rand(1,1); x(t)=1.5*cos(pi/7*t+2*pi*U)+2*pi*epslon(t);plot(x)nt=1:100;nepslon(t)=randn(1,100);nU=rand(1,1); nx(t)=1.5*cos(
12、pi/7*t+2*pi*U)+epslon(t);nplot(x);nhold onnt=4:97; ny(t)=1/7*(x(t-3)+x(t-2)+x(t-1)+x(t)+x(t+1)+x(t+2)+x(t+3); nplot(t,y(t)+3,-.r)1.4 正态时间序列和随机变量的收敛性n随机向量的数学期望和方差n正态平稳序列随机向量的数学期望和方差随机向量线性变换多维正态分布多维正态分布的充要条件正态平稳序列概率极限正态序列收敛定理正态线性序列证明证明 平稳序列已证。下证为正态序列平稳序列已证。下证为正态序列先证对任何先证对任何 ,有有其中其中 . 对任何对任何 , 定义定义其中其中
13、 则有当则有当 时时, 有有 由定理由定理4.2, 得到得到 依分布收敛到依分布收敛到 .故故 从而由从而由 和定理和定理4.1得到得到(4.9).用同样方法可以证明用同样方法可以证明: 对任何对任何 有有其中其中 .定理定理4.4成立成立.n注注:当当 时结论仍成立时结论仍成立.1.5 严平稳序列及其遍历性n严平稳序列严平稳与宽平稳关系遍历性遍历性例子遍历定理线性平稳列的遍历定理1.6 Hilbert 空间中的平稳序列nHilbert 空间n内积的连续性n复值随机变量Hilbert 空间Hilbert 空间Hilbert 空间Hilbert 空间Hilbert 空间Hilbert 空间内积的连续性证明例、n维Hilbert空间 复值随机变量复值时间序列1.7 平稳序列的谱函数n时域和频域谱函数定义谱函数存在唯一性定理谱函数和谱密度的关系线性平稳序列的谱密度例自相关函数图谱密度图两正交序列的谱线性滤波与谱定理7.4时间序列分析软件 n常用软件常用软件nS-plus，Matlab，Gauss，TSP，Eviews 和和SAS n推荐软件推荐软件SAS，matlab
