古典概型与几何概型

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1、概率论与数概率论与数 理理 统统 计计1.3古典概型与几何概型一、古典概型的概念及计算一、古典概型的概念及计算二二、古典概型的计算古典概型的计算主要内容主要内容三三、几何概型几何概型一、古典概型的概念定义：定义：有限性 样本空间的元素（即基本事件）只有有限个， 等可能性 每个基本事件出现的可能性是相等的，即 则称此试验为古典型随机试验古典型随机试验，简称为古典概型古典概型。 一个随机试验如果有如下特征：定义：设古典概型的所有基本事件为：为： ，事件A含有其中的k个基本事件 ，则定义事件A的概率为 例：掷两枚硬币，A=“两个都正面朝上”，B=“恰好一个正面朝上”。二、概率的古典定义二、概率的古典

2、定义例：投骰子A=“出现1点”，B=“出现2点”, G=“出现奇数点” “出现6点” 例从0至9这10个数中有放回的任取两个数字，试求它们之和等于5的概率 很明显这是一个古典概型问题，但如果读者不假思索地把取出的两个数之和作为基本事件，从而样本空间为 ，那就错了因为对于这19个结果来说，它们不是等可能的。例如“和等于1”只有取到（0，1）与（1，0）这两种情形；“和等于4”却有取到（0，4），（1，3），（2，2），（3，1），（4，0）五种情形。 显然后者比前者发生的可能性大。 正确的解法为：n=1010=100 取出的两数之和等于5由 （0，5），（1，4），（2，3），（3，2），（4，

3、1），（5，0）这6个基本事件组成，k=6，则排列组合有关知识复习排列组合有关知识复习加法原理：完成一件事情有n 类方法，第 i 类方法中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情共有 种不同的方法乘法原理：完成一件事情有n 个步骤，第 i 个步骤中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情共有 种不同的方法1.排列排列 从 n 个不同的元素中取出 r 个 (不放 回地）按一定的次序排成一排不同的 排法共有全排列全排列可重复排列可重复排列 从 n 个不同的元素中可重复地 取出 r 个排成一排, 不同的排法有种 种 2.组合组合 (1)从 n 个不同的元素中取出 r 个(不放 回地）组成一组， 不同的分

4、法共有(2)多组组合多组组合 把 n 个元素分成 k 个不同的组（组编号），各组分别有个元素， 不同的分法共有种 种 3.一些常用等式一些常用等式二、古典概率计算的一些例子（1）、摸球问题 例1.3.1 在盒子中有五个球（三个白球、二个黑球）从中 例1.3.2 在盒子中有十个相同的球，分别标为号码1，2， 例1.3.3 一套五册的选集，随机地放到书架上，试求下列事件的概率：一白、一黑的概率？偶数的概率。任取两个。问取出的两个球都是白球的概率？3，9，10，从中任摸一球，求此球的号码 （1）第一卷出现在旁边 （2）第三卷恰好在中央 （3）各卷自左向右或自右向左恰成12345的顺序 （4）某三卷放

5、在一起 解（1）设A=“第一卷出现在旁边”， （2）设B=“第三卷恰好在中央”， （3）设C=“各卷自左向右或自右向左恰成12345的顺序”， （4）设D=“某三卷放在一起”， 例1.3.4设有40件产品，其中有3件次品，现从中抽取3件，求下列的概率（1） 3件中恰有1件次品 （2） 3件中恰有2件次品 （3） 3件全是次品 （4） 3件全是正品 （5） 3件中至少1件次品 （1）设A=“3件中恰有1件次品”， 解（2）设B=“3件中恰有2件次品”， （3）设C=“3件全是次品”， （4）设D=“3件全是正品”， （5）设E=“3件中至少1件次品”， （2 2）分房问题分房问题 例1.3.5

6、设有n个人，每个人都等可能地被分配到N个房间中的任意一间去住（nN），求下列事件的概率： 指定的n个房间各有一人住 恰好有n个房间，其中各有一人 设有 k 个不同的球, 每个球等可能地落入 N 个盒子中（ ）, 设每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率:（1）某指定的 k 个盒子中各有一球；（4）恰有 k 个盒子中各有一球；（3）某指定的一个盒子没有球；（5）至少有两个球在同一盒子中；（6）每个盒子至多有一个球.例例1.3.51.3.5 (分房模型分房模型) )（2）某指定的一个盒子恰有m个球；解解设 (1) (6)的各事件分别为则例例1.3.6 “1.3.6 “分房模型分房模型”的应的应用用

7、生物系二年级有 n 个人，求至少有两人生日相同（设为事件A ) 的概率.解解本问题中的人可被视为“球”，365天为365只“盒子”若 n = 64，每个盒子至多有一个球. 由例4（6）为 n 个人的生日均不相同,这相当于“分房模型分房模型”可应用于很多类似场合可应用于很多类似场合“球”可视为人“盒子”相应视为房子信封信钥匙门锁女舞伴生日人男舞伴 例1.3.7 在电话号码簿中人取一个号码（电话号码由7个数字组成），求取到的号码是由完全不同的数字组成的概率？例1.3.8从1，2，3，10这10个数中任取一个，假定各个数都以同样的概率被取中，取后还原，先后取7个数字，求下列事件的概率：（1）7个数全

8、不相同； （2）不含10与1；（3）5恰好出现两次； （4）5至少出现两次；（5）取到的最大数恰好为6。解： （4）5至少出现两次由5出现两次，5出现三次，5出现七次构成 3. 3. 随机取数问题随机取数问题（5）取到的最大数恰好为6可分为6出现一次，两次，七次 解解例例1.3.91.3.9在0,1,2,3, ,9中不重复地任取四个数，求它们能排成首位非零的四位偶数的概率.设 A为“能排成首位非零的四位偶数” 四位偶数的末位为偶数, 故有 可能而前三位数有 种取法,由于首位为零的四 位数有 种取法,所以有利于A发生的取 法共有 种.三、几何概型三、几何概型例如：我们在一个面积为 的区域 中,等

9、可能地任意投点，这就是一个几何概型。这里等可能的确切意义是这样的：设在区域 中有任意一个小区域A，如果它的面积为 ，则点落入A中的可能性大小与 成正比，而与A的位置及形状无关，如果“点落入小区域A”这个随机事件仍然记作A，则由 可得 这一类概率通常称作几何概率 定义：定义：一个试验具有下列两个特征： （1）每次试验的结果是无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示 （2）每次试验的各种结果是等可能的 这样的试验称为几何概型几何概型 。定义：设几何概型的样本空间可表示成有度量的区域，仍记为 ，事件A所对应的区域仍以A表示 ，则定义事件A的概率为 这个定义称为概率的几何定义，由 式确定的概

10、率称为几何概率几何概率。 例1.3.10 某公共汽车站每隔5分钟来一辆汽车，设乘客在间隔的两辆车之间的任一时刻都可能到达车站，试求乘客等车不超过3分钟的概率。解：设A=“乘客等车不超过3分钟” 例1.3.11甲乙两人约定在6时到7时之间某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率。（1）、会面问题 例1.3.12甲乙两人约定在6时到7时之间某处会面，并约定甲先到应等候乙一刻钟，乙先到应等候甲十分钟过时即可离去，求两人能会面的概率。 例1.3.13在长度为T的时间段内，有长短不等的信号随机地进入接收机。长信号持续的时间为t1, 短信号持续的时间为t2。试求这两个信号

11、互不干扰的概率。 例1.3.14蒲丰（Buffon）投针问题。平面上画有等距离的平行线，平行线间的距离为a(a0)，向平面任意投掷一枚长为l(la)的针，试求针与平行线相交的概率。 例1.3.15从 中随机地取两个数，求其积不小于 ，其和不大于1的概率。 解： 设所取的两个数为x、y，则样本空间为 设A=“两数其积不小于 ，其和不大于1”， 例5甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲船停泊的时间是一小时，乙船停泊的时间是两小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率。 解：设甲、乙两艘轮船到达码头的时刻分别为x,y xy2424y =

12、xy = x + 1y = x - 2由题意，若甲先到，则乙必须晚1小时到达，即 若乙先到，则甲必须晚2小时，即 如图中蓝色部分 设A=“它们中任何一艘都不需要等候码头空出”，则 例6在三角形ABC中任取一点P，证明： 的面积之比大于 的概率为 。证：如图 当点P落入 中时， PACBPDENMF 例7在线段AB上任取三点 ，求：（1） 位于 与 之间的概率；（2） 能构成一个三角形的概率。解： （1）设A=“ 位于 与 之间”， 线段AB的长为a的长度分别为 点 位于 与 之间，则必须满足 或， 它是以O、E、F、G或O、A、B、E为顶点的两个四面体，（2）设B=“ 能构成一个三角形”， 能构成一个三角形的充要条件是 它是一个以O、A、B、C、D为顶点的六面体，其体积为 不尽相异元素的全排列不尽相异元素的全排列 n 个元素中有 m 类，第 i 类中有 个相同的元素，将这 n 个元素按一定的次序排成一排，种不同的排法共有