《古典概型与几何概型》由会员分享,可在线阅读,更多相关《古典概型与几何概型(33页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、概率论与数概率论与数 理理 统统 计计1.3古典概型与几何概型一、古典概型的概念及计算一、古典概型的概念及计算二二、古典概型的计算古典概型的计算主要内容主要内容三三、几何概型几何概型一、古典概型的概念定义:定义:有限性 样本空间的元素(即基本事件)只有有限个, 等可能性 每个基本事件出现的可能性是相等的,即 则称此试验为古典型随机试验古典型随机试验,简称为古典概型古典概型。 一个随机试验如果有如下特征:定义:设古典概型的所有基本事件为:为: ,事件A含有其中的k个基本事件 ,则定义事件A的概率为 例:掷两枚硬币,A=“两个都正面朝上”,B=“恰好一个正面朝上”。二、概率的古典定义二、概率的古典
2、定义例:投骰子A=“出现1点”,B=“出现2点”, G=“出现奇数点” “出现6点” 例从0至9这10个数中有放回的任取两个数字,试求它们之和等于5的概率 很明显这是一个古典概型问题,但如果读者不假思索地把取出的两个数之和作为基本事件,从而样本空间为 ,那就错了因为对于这19个结果来说,它们不是等可能的。例如“和等于1”只有取到(0,1)与(1,0)这两种情形;“和等于4”却有取到(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)五种情形。 显然后者比前者发生的可能性大。 正确的解法为:n=1010=100 取出的两数之和等于5由 (0,5),(1,4),(2,3),(3,2),(4,
3、1),(5,0)这6个基本事件组成,k=6,则排列组合有关知识复习排列组合有关知识复习加法原理:完成一件事情有n 类方法,第 i 类方法中有 mi 种具体的方法,则完成这件事情共有 种不同的方法乘法原理:完成一件事情有n 个步骤,第 i 个步骤中有 mi 种具体的方法,则完成这件事情共有 种不同的方法1.排列排列 从 n 个不同的元素中取出 r 个 (不放 回地)按一定的次序排成一排不同的 排法共有全排列全排列可重复排列可重复排列 从 n 个不同的元素中可重复地 取出 r 个排成一排, 不同的排法有种 种 2.组合组合 (1)从 n 个不同的元素中取出 r 个(不放 回地)组成一组, 不同的分
4、法共有(2)多组组合多组组合 把 n 个元素分成 k 个不同的组(组编号),各组分别有个元素, 不同的分法共有种 种 3.一些常用等式一些常用等式二、古典概率计算的一些例子(1)、摸球问题 例1.3.1 在盒子中有五个球(三个白球、二个黑球)从中 例1.3.2 在盒子中有十个相同的球,分别标为号码1,2, 例1.3.3 一套五册的选集,随机地放到书架上,试求下列事件的概率:一白、一黑的概率?偶数的概率。任取两个。问取出的两个球都是白球的概率?3,9,10,从中任摸一球,求此球的号码 (1)第一卷出现在旁边 (2)第三卷恰好在中央 (3)各卷自左向右或自右向左恰成12345的顺序 (4)某三卷放
5、在一起 解(1)设A=“第一卷出现在旁边”, (2)设B=“第三卷恰好在中央”, (3)设C=“各卷自左向右或自右向左恰成12345的顺序”, (4)设D=“某三卷放在一起”, 例1.3.4设有40件产品,其中有3件次品,现从中抽取3件,求下列的概率(1) 3件中恰有1件次品 (2) 3件中恰有2件次品 (3) 3件全是次品 (4) 3件全是正品 (5) 3件中至少1件次品 (1)设A=“3件中恰有1件次品”, 解(2)设B=“3件中恰有2件次品”, (3)设C=“3件全是次品”, (4)设D=“3件全是正品”, (5)设E=“3件中至少1件次品”, (2 2)分房问题分房问题 例1.3.5
6、设有n个人,每个人都等可能地被分配到N个房间中的任意一间去住(nN),求下列事件的概率: 指定的n个房间各有一人住 恰好有n个房间,其中各有一人 设有 k 个不同的球, 每个球等可能地落入 N 个盒子中( ), 设每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率:(1)某指定的 k 个盒子中各有一球;(4)恰有 k 个盒子中各有一球;(3)某指定的一个盒子没有球;(5)至少有两个球在同一盒子中;(6)每个盒子至多有一个球.例例1.3.51.3.5 (分房模型分房模型) )(2)某指定的一个盒子恰有m个球;解解设 (1) (6)的各事件分别为则例例1.3.6 “1.3.6 “分房模型分房模型”的应的应用用
7、生物系二年级有 n 个人,求至少有两人生日相同(设为事件A ) 的概率.解解本问题中的人可被视为“球”,365天为365只“盒子”若 n = 64,每个盒子至多有一个球. 由例4(6)为 n 个人的生日均不相同,这相当于“分房模型分房模型”可应用于很多类似场合可应用于很多类似场合“球”可视为人“盒子”相应视为房子信封信钥匙门锁女舞伴生日人男舞伴 例1.3.7 在电话号码簿中人取一个号码(电话号码由7个数字组成),求取到的号码是由完全不同的数字组成的概率?例1.3.8从1,2,3,10这10个数中任取一个,假定各个数都以同样的概率被取中,取后还原,先后取7个数字,求下列事件的概率:(1)7个数全
8、不相同; (2)不含10与1;(3)5恰好出现两次; (4)5至少出现两次;(5)取到的最大数恰好为6。解: (4)5至少出现两次由5出现两次,5出现三次,5出现七次构成 3. 3. 随机取数问题随机取数问题(5)取到的最大数恰好为6可分为6出现一次,两次,七次 解解例例1.3.91.3.9在0,1,2,3, ,9中不重复地任取四个数,求它们能排成首位非零的四位偶数的概率.设 A为“能排成首位非零的四位偶数” 四位偶数的末位为偶数, 故有 可能而前三位数有 种取法,由于首位为零的四 位数有 种取法,所以有利于A发生的取 法共有 种.三、几何概型三、几何概型例如:我们在一个面积为 的区域 中,等
9、可能地任意投点,这就是一个几何概型。这里等可能的确切意义是这样的:设在区域 中有任意一个小区域A,如果它的面积为 ,则点落入A中的可能性大小与 成正比,而与A的位置及形状无关,如果“点落入小区域A”这个随机事件仍然记作A,则由 可得 这一类概率通常称作几何概率 定义:定义:一个试验具有下列两个特征: (1)每次试验的结果是无限多个,且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示 (2)每次试验的各种结果是等可能的 这样的试验称为几何概型几何概型 。定义:设几何概型的样本空间可表示成有度量的区域,仍记为 ,事件A所对应的区域仍以A表示 ,则定义事件A的概率为 这个定义称为概率的几何定义,由 式确定的概
10、率称为几何概率几何概率。 例1.3.10 某公共汽车站每隔5分钟来一辆汽车,设乘客在间隔的两辆车之间的任一时刻都可能到达车站,试求乘客等车不超过3分钟的概率。解:设A=“乘客等车不超过3分钟” 例1.3.11甲乙两人约定在6时到7时之间某处会面,并约定先到者应等候另一人一刻钟,过时即可离去,求两人能会面的概率。(1)、会面问题 例1.3.12甲乙两人约定在6时到7时之间某处会面,并约定甲先到应等候乙一刻钟,乙先到应等候甲十分钟过时即可离去,求两人能会面的概率。 例1.3.13在长度为T的时间段内,有长短不等的信号随机地进入接收机。长信号持续的时间为t1, 短信号持续的时间为t2。试求这两个信号
11、互不干扰的概率。 例1.3.14蒲丰(Buffon)投针问题。平面上画有等距离的平行线,平行线间的距离为a(a0),向平面任意投掷一枚长为l(la)的针,试求针与平行线相交的概率。 例1.3.15从 中随机地取两个数,求其积不小于 ,其和不大于1的概率。 解: 设所取的两个数为x、y,则样本空间为 设A=“两数其积不小于 ,其和不大于1”, 例5甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼夜内到达的时间是等可能的,如果甲船停泊的时间是一小时,乙船停泊的时间是两小时,求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率。 解:设甲、乙两艘轮船到达码头的时刻分别为x,y xy2424y =
12、xy = x + 1y = x - 2由题意,若甲先到,则乙必须晚1小时到达,即 若乙先到,则甲必须晚2小时,即 如图中蓝色部分 设A=“它们中任何一艘都不需要等候码头空出”,则 例6在三角形ABC中任取一点P,证明: 的面积之比大于 的概率为 。证:如图 当点P落入 中时, PACBPDENMF 例7在线段AB上任取三点 ,求:(1) 位于 与 之间的概率;(2) 能构成一个三角形的概率。解: (1)设A=“ 位于 与 之间”, 线段AB的长为a的长度分别为 点 位于 与 之间,则必须满足 或, 它是以O、E、F、G或O、A、B、E为顶点的两个四面体,(2)设B=“ 能构成一个三角形”, 能构成一个三角形的充要条件是 它是一个以O、A、B、C、D为顶点的六面体,其体积为 不尽相异元素的全排列不尽相异元素的全排列 n 个元素中有 m 类,第 i 类中有 个相同的元素,将这 n 个元素按一定的次序排成一排,种不同的排法共有