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1、数值积分数值积分1. 问题的提出问题的提出对于一个实际的单元，可以实现整个单元刚度矩阵在两个坐标系的变换计算，即 2. 数值积分的基本概念数值积分的基本概念 任何积分工作取决于三个要素：任何积分工作取决于三个要素： (1) 给定的积分区间给定的积分区间; (2) 给定的被积函数给定的被积函数; (3) 具体的积分方法。具体的积分方法。下面以一维情况为例介绍数值积分的基本概念。下面以一维情况为例介绍数值积分的基本概念。(i) 梯形法梯形法abxixi+1f(xi)f(xi+1)hf(x)xf(x) 函数 f(x) 在区间 (a,b) 的积分可以表达为 ：权系数；：积分样点；：积分样点的函数值。梯
2、形法的求积公式为(ii) 当被积函数为当被积函数为n-1次多项式次多项式Pn-1(x)时，则由时，则由n个样点及其样点值（个样点及其样点值（xi, Pn-1(xi),i=1,n）可以确定这个多项式。）可以确定这个多项式。(iii)对多项式形式的被积函数进行积分可以采用高斯求积法。对多项式形式的被积函数进行积分可以采用高斯求积法。 3.数值积分的数值积分的Gauss方法方法 （1）1点点Gauss积分公式积分公式 n=1时 (2) 2点点Gauss积分积分 n=2时(4-148) (4-149) (4-150) 3.数值积分的数值积分的Gauss方法方法 高次多点Gauss积分积分 4. Gau
3、ss -Legendre (高斯高斯-勒让德勒让德)积分积分L0=11-1xL1= x1-1xL2-1L3-1xx1xx2-1/21111Legendre多项式的定义域为-1,1 零阶Legendre多项式三阶Legendre多项式四阶Legendre多项式二阶Legendre多项式一阶Legendre多项式一般n阶Legendre多项式的定义为n 阶Legendre多项式是二阶变系数齐次微分方程在区间-1,1上的有界解。Ln(x) 在区间（-1, 1）上有n个相异实根（零点）若再补充定义 则得一个定义在-1, 1上的多项式系列多项式的性质，涉及下面的关系：对于任何kn ）当m=n时则有(2)
4、 若在 (1) 的证明中将 Ln (x) 换成任何次数不超过m-1次的多项式 P m(x) 则有这表明：Lm(x) 与任何一个次数不超过 m-1的多项式正交。(3) 若q(x) 是（，）上平方可积的函数，则可将q(x)展开成对于n次多项式Pn(x)有 一般若取任取一般若取任取n个积分点个积分点x1、x2、 xn，作，作n-1次插值多项式，积分的次插值多项式，积分的近似值可表示为近似值可表示为(a) 当积分点取为当积分点取为n 阶阶Legendre多项式的零点多项式的零点时，如果时，如果被积函数被积函数f(x) 为次为次数不超过数不超过2n1次的多项式次的多项式，（，（a）将给出积分的）将给出积
5、分的精确值精确值。这就是高斯求积。这就是高斯求积分法，上述积分点又称为分法，上述积分点又称为高斯点高斯点。高斯点的个数又称为。高斯点的个数又称为积分阶数积分阶数，有限元，有限元分析中一般分析中一般n=24。一般来说，对于一个2n-1阶的多项式，需用2n个样点及其样点值才能精确重构该多项式，或者说，需用2n个积分样点才能给出精确积分。积分阶数n高斯点坐标权系数2n1x1=0W1=21X 1，2= 0.5773502692W1,2=13x 1，3 = 0.7745966692 x2=0W1,3=5/9W1=8/95X 1,4 = 0.8611363116X 2,3 = 0.3399810436W1
6、,4= 0.3478548451W2,3= 0.65214515497常见的高斯点坐标和权系数5. 二维情况二维情况 积分阶数积分阶数n是对每一个自变量而言的积分阶数，而积分点总数在二维情是对每一个自变量而言的积分阶数，而积分点总数在二维情况下为况下为n2，在三维情况下为，在三维情况下为n3。一种经常采用的（并非唯一可能的）选择方式是：沿x、y方向取同样个数的积分点 单元刚度公式的数值积分形式 (3)对于每个积分点都必须计算detJ 的值。 (1) 其中(i，j )为积分点的自然坐标。注意：(2) 矩阵在积分点上的函数值是确定的，因为它与形函数相关，而形函数是一个确定的函数。(4)八结点单元而
7、言k共有162=256个元素，利用对称性仍需对其中的136个元素进行数值积分。5 平面4节点四边形等参元的刚度矩阵的计算节点四边形等参元的刚度矩阵的计算 例5 平面4节点四边形等参元的刚度矩阵的计算节点四边形等参元的刚度矩阵的计算 5 平面4节点四边形等参元的刚度矩阵的计算节点四边形等参元的刚度矩阵的计算 5 平面4节点四边形等参元的刚度矩阵的计算节点四边形等参元的刚度矩阵的计算 其中H为为 5 平面4节点四边形等参元的刚度矩阵的计算节点四边形等参元的刚度矩阵的计算 5 平面4节点四边形等参元的刚度矩阵的计算节点四边形等参元的刚度矩阵的计算 具体计算等参元的 5 平面4节点四边形等参元的刚度矩
8、阵的计算节点四边形等参元的刚度矩阵的计算 . 有限元解的误差有限元解的误差有限元解的误差是四个方面因素综合影响的结果。有限元解的误差是四个方面因素综合影响的结果。 可以加大计算机的字长（例如用双精度量）使其减少。(i) 插值误差插值误差 这是在单元内用多项式代替真实解（在整个求解域内则表现为用有限自由度代替了无限自由度）所引起的。（ii）边界形状以及边界条件的误差边界形状以及边界条件的误差 即使采用了曲边单元，单元边界仍有它本身的特点（例如是某个自然坐标的二次函数），不可能作到与实际曲线边界完全吻合。边界形状的误差使得实际边界条件不能得到精确满足。这种误差一般只在边界附近影响较大（奇点除外）。
9、 (iii) 数值积分误差数值积分误差 这种“误差”如果利用得好，可以与（i）引起的误差“抵消”，但处理不当也将影响解的精度。（iv）截断误差截断误差结束语结束语 等参数单元是目前应用最广的一类单元，它的边可直可曲，精度可高可低。由于采用数值积分，处理材料非线性问题不会遇到新的困难处理材料非线性问题不会遇到新的困难。鉴于这些优点，在一些通用分析程序中，等参元成为处理二阶问题的主要单元。 等参数单元也有它的不足之处：精度和计算量之间在存着矛盾精度和计算量之间在存着矛盾。在二维情况下，结点个数取到20单元才有较满意的适应能力，而这时计算量往往相当可观。解决这一矛盾的办法是探索新型单元，比如非协调元就是其中的一类。
