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1、疑邻盗斧从前有个丢了一把斧子的人。他怀疑是邻居家的儿子偷去了，观察那人走路的样子，像是偷斧子的人；看那人的脸色神色，也像是偷斧子的人；听那人说话的语气也像是偷斧子的人，总之，那人的一言一行，一举一动，无一不像偷斧子的人。不久，丢斧子的人在山谷里挖水沟时，掘出了那把斧子，再留心察看邻居家的儿子，就觉得他走路的样子，不像是偷斧子的；他的脸色表情，也不像是偷斧子的；他的言谈话语，更不像是偷斧子的了，那人的一言一行，一举一动，都不像偷斧子的了。变的不是邻居的儿子，而是自己的心态。变的原因也没有其他，是被偏见所蒙蔽。 第二章推理与证明高中数学 选修12第一节 合情推理与演绎推理第二章推理与证明一、合情推
2、理（一）归纳推理有一小贩在卖一篮杨梅，我先尝了一个，觉得甜，又尝了一个，也是甜的，再尝了一个，还是甜的，所以我觉得:这一篮杨梅都是甜的。例1观察下图，可以发现：12345前前n个连续的正奇数相加个连续的正奇数相加.发现部发现部分规律分规律特征特征实验、实验、观察观察猜测一猜测一般性结般性结论论例2平面内三角形内角和180度 凸四边形内角和360度 凸五边形内角和540度 归纳猜想凸n边形内角和多少度? 由某类事物的由某类事物的部分对象部分对象具有某些特征，具有某些特征，推出该类事物的推出该类事物的全部对象全部对象都具有这些特征都具有这些特征的推理，或者由的推理，或者由个别事实个别事实概括出概括
3、出一般结论一般结论的推理，称为的推理，称为归纳推理归纳推理（简称归纳）（简称归纳）. .（一）归纳推理例3已知数列an 的首项a11 ,且有试归纳出这个数列的一个通项公式;例4数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E，然后探求面数F、顶点数V和棱数E之间的关系多面体多面体面数面数(F)(F)顶点数顶点数(V)(V)棱数棱数(E)(E)三棱锥三棱锥四棱锥四棱锥三棱柱三棱柱五棱锥五棱锥立方体立方体正八面体正八面体五棱柱五棱柱截角正方体截角正方体尖顶塔尖顶塔4 46 64 45 55 56 65 59 98 8多面体多面体面数面数(F)(F)顶点数顶点数(V)(V)棱数棱数(E)(E)三棱锥三
4、棱锥四棱锥四棱锥三棱柱三棱柱五棱锥五棱锥立方体立方体正八面体正八面体五棱柱五棱柱截角正方体截角正方体尖顶塔尖顶塔4 46 64 45 55 56 65 59 98 86 66 68 86 612128 812126 61010多面体多面体面数面数(F)(F)顶点数顶点数(V)(V)棱数棱数(E)(E)三棱锥三棱锥四棱锥四棱锥三棱柱三棱柱五棱锥五棱锥立方体立方体正八面体正八面体五棱柱五棱柱截角正方体截角正方体尖顶塔尖顶塔4 46 64 45 55 56 65 59 98 86 66 68 86 612128 812126 610107 77 79 916169 91010151510101515
5、FVE2例5设 f(n)n2n41，nN+，计算 f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(10)的值，同时作出归纳，并用n40 验证猜想是否正确。 例6四色猜想：每幅地图可以用四种颜色着色，使得有共同边界的相邻区域着上不同颜色. 1852年，英国人弗南西斯格思里（Francis Guthrie）为地图着色时，发现了四色猜想 1976年，美国数学家阿佩尔（K.Appel）与哈肯（W.Haken）在两台计算机上，用了1200个小时，完成了四色猜想的证明基础基础作用作用归纳推理归纳推理观察、分析观察、分析发现新事实、获得发现新事实、获得新结论新结论由部分到整体、由部分到整体、个别到一般的推理个别
6、到一般的推理归纳推理得出的结归纳推理得出的结论不一定成立论不一定成立风险风险窥斑见豹管中窥豹，可见一斑。王子敬数岁时，尝看诸门生樗蒲，见有胜负，因曰：“南风不竞。”门生辈轻其小儿，乃曰：“此郎亦管中窥豹，时见一斑。”子敬瞋目曰：“远惭荀奉倩，近愧刘真长。”遂拂衣而去。练习 观察下列等式：可以猜想：即使在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比拉普拉斯（Laplace ）（二）类比推理科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征： 火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星; 有大气层，在一年中也有季节变更有大气层，在一年中也有季节变更; 火星上大部分时间的温度适合
7、地球上某火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等些已知生物的生存，等等 科学家猜想：火星上也可能有生命存在由由两类对象两类对象具有某些类似特征和具有某些类似特征和其中其中一类一类对象的对象的某些已知特征某些已知特征，推出，推出另一类另一类对对象也具有象也具有这些特征这些特征的推理称为类比推理的推理称为类比推理（简称类比）（简称类比）. .（二）类比推理例1类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质类比角度类比角度实数的加法实数的加法实数的乘法实数的乘法运算运算结果结果若若a,bR,则则a+bR运算律运算律a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)逆运算逆运算加法的逆运算是减
8、法加法的逆运算是减法,使得方程使得方程a+x=0有唯一有唯一解解x=a单位元单位元A+0=a若若a,bR,则则abRab=ba(ab)c=a(bc)a1=a乘法的逆运算是除法乘法的逆运算是除法,使得使得ax=1(a00)有唯一有唯一解解x=等差数列 an，公差d等比数列bn，公比q若mnkl则amanakal若mn2p，则aman2apak，akm，ak2m，构成公差为md的等差数列Sn为前n项和，则Sn，S2nSn，S3nS2n成公差为n2d的等差数列aman(mn)d例2类比等差数列和等比数列填表：例3在RtABC中，若C90，则cos2Acos2B1，试在立体几何中，给出四面体性质的猜想
9、 于是把结论类比到四面体于是把结论类比到四面体PABC中，我中，我们猜想：三棱锥们猜想：三棱锥PABC中，若三个侧面中，若三个侧面PAB、PBC、PCA两两互相垂直且分别两两互相垂直且分别与底面所成的角为与底面所成的角为，则，则cos2cos2cos21.BabcABCC2a2b2例4类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想S2ABC S2AOBS2AOCS2BOC基础基础作用作用类比推理类比推理旧的知识旧的知识获得新结论获得新结论由由特殊到特殊特殊到特殊的推的推理理类比推理得出的结类比推理得出的结论不一定成立论不一定成立风险风险东施效颦西施心口痛，皱着眉头从街上走过。同村
10、的一个丑妇人东施看见西施这个样子，觉得很美，回去时也捂着胸口，皱眉蹙额，从街上走过。村里的富人看见她这副模样，都紧闭着大门不愿出来；穷人见了，带着妻子儿女，远远避开。这个丑妇光知道（西施）皱着眉头美，却不明白她皱眉的样子为什么美。东施模仿西施，本意是要改变一下自己丑陋的形象，和西施一样地令入喜欢，结果却恰恰相反。从逻辑上说，这是她错误地使用了类比推理的结果。东施效颦归纳推理类比推理推理形式由部分到整体、个别到一般由特殊到特殊推理结论结论不一定正确，有待进一步证明小结二、演绎推理1.所有的金属都能导电, 2.一切奇数都不能被2整除, 3.三角函数都是周期函数, 4.全等的三角形面积相等 所以铜能
11、够导电.因为铜是金属, 所以(2100+1)不能被2整除.因为(2100+1)是奇数,因为tanx是三角函数,那么三角形ABC与三角形A1B1C1面积相等.如果三角形ABC与三角形A1B1C1全等,大前提小前提结论大前提小前提结论所以tanx是周期函数大前提小前提结论大前提小前提结论例1如图，在锐角三角形ABC中，AD BC， BEAC，D，E是垂足，求证：AB的中点M到D，E的距离相等ADECMB（1）因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，在ABC中，ADBC，即ADB900，所以ABD是直角三角形大前提大前提小前提小前提结论结论证明:同理 ABE是直角三角形ADECMB（2）因为直角三
12、角形斜边上的中线等于斜边的一半，M是RtABD斜边AB的中点，DM是斜边上的中线所以 DM= AB同理 EM= AB所以 DM = EM大前提大前提小前提小前提结论结论例2证明函数f(x)x22x在(,1上是增函数.满足对于任意x1,x2D，若x1x2，有f(x1)f(x2)成立的函数f(x)，是区间D上的增函数任取x1,x2 (,1 且x1x2， f(x1)f(x2) =(x122x1)(x22+2x2) =(x2x1)(x1+x22) 因为x10 因此x1,x2 1所以x1+x220 因此f(x1)f(x2) 0,即f(x1) f(x2)所以函数f(x)= x2+2x在(-,1上是增函数.
13、大前提大前提大前提大前提小前提小前提小前提小前提结论结论结论结论证明证明:合情推理合情推理演绎推理演绎推理归纳推理归纳推理类比推理类比推理区区别别推理推理形式形式由部分到由部分到整体、个整体、个别到一般别到一般由特殊由特殊到特殊到特殊由一般到特殊由一般到特殊推理推理结论结论结论不一定正确，结论不一定正确，有待进一步证明有待进一步证明在在大大前前提提、小小前前提提和和推推理理形形式式都都正正确确的的前前提提下下，得到的结论一定正确得到的结论一定正确联系联系合合情情推推理理的的结结论论需需要要演演绎绎推推理理的的验验证证，而而演演绎绎推推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的理的方向和思路一般是通过合情推理获得的小结
