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1、六章节单变量微分学Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望基本内容0 微积分的创立1 导数和微分的定义2 求导规则3 区间上的可导函数(中值定理)4 不定式5 Taylor公式6 用导数研究函数7 割线法和切线法(Newton方法)20 微积分的创立Isaac Newton (1642-1727)Gotfried Wilhelm Leibniz(1646-1716)3Isaac Newton (1642-1727)1661.6 (顺治18年)入剑桥三一学院(半公费(做仆人挣钱
2、缴交学费的)学生), 数学指导教师Isaac Barrow (1630-1677),1664.1(康熙3年)获学士学位.1664-1666英国流行黑死病(鼠疫), 1665-1666牛顿回家乡呆了18个月,其间发明了流数(Fluxion)法(变量为流,变化率为流数)、发现了万有引力定律、用实验证明了白光为各种颜色光合成.1665年11月发明“正流数法”(微分法)，1666年5月发明“反流数法”(积分法)，1666年10月总结文稿“流数简论”，建立了微积分基本定理。4Isaac Newton (II)1669接替Barrow的教授职位; 1687(康熙26年)出版Mathematical Pri
3、nciples of Natural Philosophy. Newton有关流数的著作到他身后才发表(1736).5Gotfried Wilhelm Leibniz(1646-1716)1661入Leipzig大学学法律,1663获学士,1666具备获法学博士的资格(出于嫉妒,该校教师拒绝授予),被另一所大学授予博士和请其为教授(他拒绝了后者).作为律师, 他被雇主们支得在四处透风的马车中四处奔波,使得他具有在任何时间、任何地点和任何条件下工作的能力，他不停地读着、写着和思考着，他的手稿至今还成捆地放在图书馆里而没有被人们整理过。有趣地是他的头颅比一般人的都小。6Leibniz (II) 1
4、666其称作“中学生随笔”的组合艺术中立志要创造出“一般方法和普适语言，其中所有推理都简化为计算，除了可能的事实错误外，只会有计算错误”，为此他创立了符号逻辑但未能完成, 发明了能做四则运算和开方的计算机。由于其才能而被种种琐事困扰。1672-1673请求Huygens教授了他现代数学; 在英国了解到了无穷级数方法。1675年发现了微积分基本定理，1677年7月11日将其发表，其方法主要经过James和John Bernoulli兄弟的发展而成为一种强有力而又容易运用的工具。7Leibniz (III)Leibniz建立微积分的基本记号和术语,包括微积分(Calculus,原意是鹅卵石,用于计
5、数), 微分(原意是差的, Differential),微分,求导和积分的符号. 建立了四则运算的求导规则.1673年引入函数的术语。提出：不能像卫道士那样：只有知识而没有判断。81.导数和微分的定义微分和导数概念的意义函数增量与微分和导数连续与导数和导数的解释9微分和导数概念的意义 (I)微分的概念源自试图刻划在一个“小”时间间隔或空间上的变化量。导数的概念源自刻划某种现象在一个时刻或位置的变化率，典型的例子有：在一个时刻的速度、曲线在一点的斜率、物质在一点的密度等等。如何理解导数始终是个有挑战性的问题。微分与导数的概念是密切联系着的，所涉及的范围和对其意义的理解是不断演化的。由时间到空间，
6、由一维到高维，由有限维到无穷维。由近似到线性映射。10微分和导数概念的意义 (II)导数的物理背景: 随时间或空间的变化率(rates of change), 包括各种瞬时速度、 各种密度、浓度或强度等等。导数的几何背景：切线的斜率、曲线的曲率、曲面切平面的确定和曲面的曲率等等。引入导数的简单模型：由路程函数确定速度函数和由函数图像确定图像切线。由方向导数到梯度再到一般意义上的导数。11函数增量与微分和导数设在a的一个邻域上有定义.增量定义: 称Dx=x-a为自变量x在a处的增量, D(x)=(x)-(a)为在a处的增量.微分定义: 若cR使得D(x)cDx (Dx0),就称线性函数g(Dx)
7、=cDx为D(x)(也叫在a处)的微分,记做d(x)或d. Dx也记做dx.此时称在a处可微.导数定义: 若cR使得D(x)/Dxc (Dx0), 称c为在a处的导数,记做c=(a)或d/dx(a)=D(a).小结: 若在a处可微, D(x)=d(x)+g(Dx)Dx (a(0)=0), d(x) (a)dx. d(x)也叫做函数增量D(x)的线性部分.12连续与导数和导数的解释可微与连续: 若在a处可微,则在a处连续.左导数和右导数: 右导数(a+),左导数(a-).导数与左右导数: 在a处有导数当且仅当在a处左右导数存在且相等.切线定义: 曲线y=(x)在(a,(a)的切线定义为直线: y
8、=(a)+(a)(x-a).导数(a)的几何解释: 曲线y=(x)在(a,(a)的切线的斜率.导数(a)的物理解释: 若(x)为物体在时间间隔t0,a内运动的路程, (a)为在时刻a的瞬时速度. 13习题十八 (I)1. 用定义计算下列函数在x=0点的导数: (1) (0)=0, 若x0, (x)=x2 sin 1/x; (2) (0)=0, 若x0, (x)=exp(-1/x2); (3) Dirichlet函数D(x); (4) xD(x); (5) x2D(x).2. 证明: 若(0)存在, 则n(1/n)- (0)(0) (n). 反过来成立吗？3. 设(0)=0且(0)存在.计算数列
9、: xn=(1/n2)+ (2/n2)+(n/n2)的极限.计算数列极限:(1) xn=sin(1/n2) + sin(2/n2)+sin(n/n2);(2) yn=(1+1/n2)(1+2/n2) (1+n/n2).14习题十八 (II)4. 设函数在x=0的一个邻域上有定义并且满足: xI, (x)(0). 证明: 如果 (0)存在, 则(0)=0. 5. 证明：函数在x=0点可微的充分必要条件是(x)=(0)+g(x)x, 其中g在x=0点连续.6. 求下列曲线在给定点的切线方程: (1) y=x2-x+3, P(2,5); (2) y=1/x, P(1,1); (3) y=ex+x+1
10、, P(0,3); (4) y=sin x, P(p/6,1/2). 若 152 求导规则复合函数求导的链式法则反函数求导公式一阶微分形式的不变性求导运算的算术性质初等函数求导公式双曲函数双曲函数求导公式高阶导数和高阶微分16复合函数求导的链式法则定理定理: 设在a点可微,g在(a)点可微,则h=g在a点可微, 并且h(a)= g(a)(a).证明证明: 记a=(a), b= g(a). 则(1) D(x)=a Dx + a1(Dx) Dx (a1(0)=0),(2) Dg(y)=b Dy + b1(Dy) Dy (b1(0)=0).因此, Dh(x)= bD(x)+b1(D(x)D(x)=b
11、aDx + ba1(Dx)Dx + b1(a Dx+a1(Dx)Dx)(aDx+a1(Dx) Dx)= baDx + g(Dx)Dx, 其中g(Dx)=ba1(Dx)+ b1(a Dx+a1(Dx)Dx)(a+a1(Dx)满足g(0)=0.所以, h(a)= ba = g(a)(a). #17反函数求导公式定理定理: 设C(I), g是在(I)上的反函数,这里I是区间. 若在a点可微且(a)0, 则g在b=(a)可微,并且g(b)=1/(a)=1/(g(b).证明证明: 由在(I)上有反函数,在I上严格单调,因此, gC(I). 只要证明g(b)存在就够了.而这由(g(y)-g(b)/(y-b
12、)= (g(y)-g(b)/(g(y)-(g(b)和复合函数的极限性质就得到结论.#18一阶微分形式的不变性这是复合函数求导的链式法则的另外一种说法: 设的微分是d(x). 若x=g(t)有微分dx=dg(t), 则d(g(t)=(g(t)dg(t)=(x)dx=d(x).这看似空洞的公式,许多时候有意想不到作用,同类的公式在高阶导数时不再成立.19求导运算的算术性质设何g在a点可微, cR. 则+g, c, g在a点可微, 若g(a)0, /g在a点也可微. 并且(+g)(a)= (a)+g(a);(c)(a)= c (a);(g)(a)= (a)g(a)+(a)g(a);(/g)(a)=
13、(a)g(a)-(a)g(a)/g(a)2.证明: 极限性质和导数定义的应用.#20初等函数求导公式基本初等函数求导公式:(c)=0;(x)=1; 由归纳法： (xn)=nxn-1;(exp x)=exp x;由链式法则,(ax)= ax ln a;反函数求导规则:(ln x)=1/x;(loga x)=(ln a)/x;(xa)=axa-1;以及(uv)=uv (vln u +vu/u).(sin x)=cos x; 由求导运算的算术性质得到: (cos x)= -sin x; (tan x)=sec2 x; (cot x)=-csc2 x; (sec x)=tan x sec x; (cs
14、c x)=-cot x csc x. 由反函数求导规则: (arcsin x)=1/sqrt1- x2; (arccos x)=-1/sqrt1- x2; (arctan x)=1/(1+x2);(arccot x)=-1/(1+x2);(arcsec x) =1/(|x|sqrtx2-1); (arccsc x)=-1/(|x|sqrtx2-1).21双曲函数双曲函数定义: sh x=sinh x, ch x=cosh x, th x= tanh x, cth x=coth x, sech x, csch x. 反双曲函数: arsh x=ln(x+sqrt(1+x2); arch x =
15、ln(x+sqrt(x2-1);arth x=1/2 ln(1+x)/1-x); arcth x=1/2 ln(1-x)/1+x); arsec x=ln(1+sqrt(1-x2)/x), 0x1; arcsch x= ln(1+sqrt(1+x2)/|x|). 22双曲函数求导公式双曲函数求导公式: (sh x)=ch x; (ch x)= sh x; (th x)=sech2 x; (cth x)=-csch2 x; (sec x)=-th x sech x; (csch x)=-cth x csch x. 反双曲函数求导公式:(arsh x)=1/sqrt1+x2; (arch x)=1
16、/sqrtx2-1; (arth x)=1/(1-x2); (arcth x)=1/(1-x2); (arsech x) =-1/(xsqrt1-x2) (0xb0);(37) y=a2arcsin(x/a)+xsqrt(a2-x2);(38) y=a2ln|x+sqrt(a2+x2)|+xsqrt(a2+x2);(39) y=e(x2)(x2+2x+2); (40) y=ln(arccos(1/sqrt(x).27高阶导数定义: 设在(a,b)上处处可微, 就定义了(a,b)上的一个函数, 这个函数叫做的导函数; 若也有导数,其导函数叫做的二阶导函数, 记做; (x)叫做在点x的二阶导数;
17、依此类推. 的n阶导数记做(n), Dn或dn/dxn.约定: (0)=.Leibniz公式: 设u,v有n阶导数, 则有公式:证明: 对n做归纳法: n=0时成立. 然后由n=k成立推出n=k+1, 与二项式定理的证明类似。#28高阶微分定义: 设在(a,b)上处处可微,d2(x)=(d(x)dx叫做的二阶微分.一般d(n+1)(x)=d(dn(x)=(d(n)(x)dx=(n)(x)dxn注: 高阶微分没有形势不变性, 有关讨论参看教材90-92页.记号F. D. Bruno公式: 设和g都有n阶导数. 则h=g的n阶导数满足下面的公式:29习题二十 (I)1. 证明Leibniz公式.2
18、. 证明Bruno公式。3. 计算下列函数的n阶导数:(1) y=1/(1-x2); (2)y=(1+x)/(1-x)(1/3); (3)y=sin2 x; (4) y=xn/(1-x); (5) y=sin3 x; (6) y=ex sin x;(7) y=xn/(x2-1); (8) y=ex(cos x+sin x);(9) y=xn/(x+1)2(x+2)2); (10) y=1/sqrt(1+x2).4. 证明y=arcsin x和y=arccosx满足(1-x2)y- xy=0.5. 证明 y=(x+sqrt(1+x2)m满足(1+x2)y+xy = m2 y.30习题二十 (II
19、)6. 证明. 切比雪夫多项式Tn(x)=1/2(n-1)cos(n arccos x)满足(1-x2)y-xy+n2 y=0.7. 设y=(x)有反函数并且满足y+(y)3=0. 证明的反函数g满足g=1, 并由此给出的一个例子.8. 求下列函数的指定阶数的微分,其中u,v都有用到的各阶导数: (1) y=u2, 求d10y; (2) y=arctan(u/v), 求d2y;(3) y=eu,求d4y; (4) y=ln u,求d3y.9. 设在x=0点连续且(2x)-(x)/xl (x0). 证明在x=0点可微, 且(0)=l.10. 证明: (f(x)-b)/(x-a)A(xa)当且仅当
20、(e(f(x)-eb)/(x-a)Aeb(xa).313区间上的可导函数(中值定理)有关函数一点行为的定义导数对函数一点行为的刻划中值定理的意义及其逻辑中值定理证明及其简单推论例子Lagrange中值定理的一些推论三个不等式参变量函数求导定理32导数对函数一点行为的刻划定义: 设a是定义的内点. U是a的邻域在a点增: xU, xa, 则(x)-(a)(x-a)0;在a点减: xU, xa, 则(x)-(a)(x-a)0;在a点不减: xU, 则(x)-(a)(x-a)0;在a点不增: xU, xa, 则(x)-(a)(x-a)0; a点是的局部严格最大值点: xU, xa, (x)(a);a
21、点是的局部最大值点: xU, (x)(a);a点是的局部最小值点: xU, (x)(a).33导数对函数一点行为的刻划(a)充分条件: 若(a)0, 则在a点增; (Darboux引理)若(a)0, 则在a点减; (Darboux引理)若xU, xa, (x)(x-a)0, 则a局部严格最小值点;必要条件: 设(a)存在.若在a点不减, 则 (a)0;若在a点不增, 则 (a)0; 若a是的极值点, 则(a)=0. (Fermat引理)34中值定理的意义及其逻辑中值定理要讨论的问题: 用导数得到函数值差的表达式, 利用导数的性质研究值差以得到有关函数的信息。中值(Lagrange)定理: 若C
22、a,b, 且在(a,b)上点点可微, 则c(a,b),使得(b)-(a)=(c)(b-a). #其证明是基于Fermat引理. 逻辑顺序: Rolle定理(b)=(a), c(a,b),使得(c)=0)Cauchy中值定理(,gCa,b都在(a,b)上点点可微,且x (a,b),g(x)0,则c(a,b),使得(b)-(a)/(g(b)-g(a)=(c)/g(c) Lagrange中值定理.附带地得到导函数的介值性质和间断点的特点.35中值定理的证明及其简单推论Rolle定理的证明定理的证明: 在(a,b)上必有极值.#Cauchy定理的证明定理的证明: h(x)=(g(b)-g(a)(x)-
23、(b)- (a)g(x), 则hCa,b 在(a,b)上点点可微,且h(a)=h(b)=g(b)(a)-(b)g(a).#Lagrange定理的证明定理的证明: 在Cauchy定理中取g(x)=x就可以了.#Darboux定理定理: 设在(a,b)上可微. 则(a,b)是区间. 因此在(a,b)上的间断点只能是第二类间断点.证明证明: (1) 证明零点定理; (2) 由Lagrange定理第一类间断点必为连续点. #36例子例例1. 设(0)=0,而当x0时, (x)=x2 cos(1/x). 因此(0)=0,而当x0时, (x)=2xcos(1/x)+sin(1/x). 在x=0点的左右极限
24、都不存在.例例2. (x)=2sqrt(|x|). 若x0, (x)=sgn(x)/sqrt(|x|). (0+)=+, (0-)=- (实际上,也是在x=0点左右“导数”). 例例3. (x)=3x(1/3). 若x0, (x)=x(-2/3). (0+)= (0-)= + (实际上,也是在x=0点的“导数”).在例2-3的情形, 称在x=0点有 (左,右)导数.37Lagrange中值定理的一些推论1. 若x(a,b), (x)=0,则是(a,b)上的常值函数.2. 设在(a,b)上可微. 则在(a,b)上不减的充分必要条件是x(a,b), (x)0.3.若x(a,b),(x)0,则在(a
25、,b)上是严格增的.4.设在(a,b)上可微. 则在(a,b)上严格增的充分必要条件是x(a,b), (x)0, 并且在(a,b)的子区间上不为常数.推论推论4的证明的证明: 必要性必要性: 由推论3得到(x)0, 严格增给出后一部分.充分性充分性: (x)0给出不减,在(a,b)的子区间上不为常数给出严格.#38三个不等式Young不等式不等式:设a,b0, a+b=1.则x0,xax+b. Young不等式的变形不等式的变形: aabb aa+bb. (x=a/b）Hlder不等式不等式: 设ui, vi0, i=1,n. 则Minkovski不等式不等式: 设p1, ai, bi0, i
26、=1,n. 则39参变量函数求导定理定理定理:设j(t),y(t)在a,b上可微且ta,b, j(t) 0. 则由x=j(t)和y=y(t)可得j(a),j(b)上的函数y=(x). 即=yj-1. 特别(j(t)=y(t)/j(t).这个定理为研究参数曲线和参变量函数求导提供了工具.证明证明: 链式法则的推论.#推论推论: 参变量函数二阶导数的公式. (j(t)=(y(t)j(t)-j(t)y(t)/(j(t)3.40习题二十一 (I)1. 设(x)=xm(1-x)n,其中m, n为正整数. 证明: c(0,1)使得m/n=c/(1-c).2. 证明: 4ax3+3bx2+2cx=a+b+c
27、在(0,1)内至少有一个根.3. 证明: ex= ax2+bx+c的根不超过三个.4. 设Ca,b在(a,b)上有n阶导数, 并且在a,b上有(按重数计)n+1个零点. 证明: (n)在a,b上至少有一个零点.5. 证明: 一个有(按重数计)n+1个零点的次数不超过n的多项式必为零多项式.41习题二十一 (II)6.设在(a,b)上可微 (其中a可以是-,b可以是+).证明:如果(a+)=(b-),则c(a,b)使得(c) =0.7. 设在(a,b)上可微. 证明的两个零点之间必有+的零点.8.证明:Legendre(勒让德)多项式Pn(x)=1/(2n n!)(x2-1)n(n)在-1,1内
28、有n个零点.9. 证明: Chebyshev-Laguerre(切比雪夫-拉盖尔)多项式Ln(x)=ex(xne(-x)(n)有n个不同的零点.42习题二十一 (III)10. 证明: Chebyshev-Hermite (切比雪夫-厄尔米特)多项 式 Ln(x)=(-1)n/n!e(x2/2)(e(-x2/2)(n)有n个不同的零点.11. 证明: (1) |sin x-sin y|x-y|; (2) |cos x-cos y|x-y|; (3) |arctan x-arctan y|x-y|; (4) |arccot x- arccot y|x-y|.12. 设C(a,b)且在(a,c)(
29、c,b)上可导. 证明: 如果, 则(c)=A.13. 设在(a,b)上可导, 并且在(a,b)单调. 证明C(a,b).14. 设在(a, b)上可导并且有界. 证明在(a, b )上一致连续.43习题二十一 (IV)15. 设在(a, +)上可导且(x) (x+). 证明在(a, +)上不一致连续.16.证 明 (x)=xlnx在 (0,+)上 不 一 致 连 续 .而g(x)=sqrt(x) ln x在(0, +)上一致连续.17. 设(x)-(0)= x(x(x), 其中0x(x)0), (0)=0，对于a0, x(x)在(0,a)上不连续.18. 定义(x)=arctan(1+x)/
30、(1-x) (x1), (1)=0. 证明在x=1点有极限, 但是在x=1点的两个单侧导数都不存在. 请给出你的解释.19.设Ca-h, a+h在(a-h, a+h)上可导(h0).证明:(1) q(0,1)(a+h)-(a-h)=(a+q h)+(a-q h) h; (2)q (0,1), (a+h)+(a-h)-2(a)=(a+ qh)-(a- qh) h2.44习题二十一 (V)20. 设Ca, b在(a, b)上可导. 证明: 如果不是一次多 项 式 , 则 c(a,b), 使 得 |(c)|(b)-(a)|/(b-a).21. 设在a, b上有二阶导数且(b)=(a)=0. 证明:
31、c(a,b)使得|(c)|4|(b)-(a)|/(b-a)2.22. 设Ca, b在(a, b)上可导. 证明: (1)c(a,b)使 得 2c(b)-(a)=(b2-a2) (c); (2)若 a 0, c(a,b)使得(b)-(a)=c(c) ln(b/a).23. 设Ca, b在(a, b)上可导(ab0). 证明: c(a,b), 45习题二十一 (VI)24.证明恒等式:(1)|x|1,2arctan x+arcsin2x/(1 +x2)=psgn(x);(2)|x|1/2,3arccosx-arcos(3x-4x3) =p.25. 设 在 (a, +)上 可 导 并 且 f(x)0
32、 (x+). 证明: f(x) /x0 (x+). .26. 设x=acos3t, y=a sin3t. (1) 计算 y(x); (2) 证明: 切线为坐标轴所截线段有定常.27. 对于曳物线: x=aln (tan t/2)+cos t, y=a sin t. (1) 计算 y(x); (2) 证明: 切点到切线与x轴的交点的距离为定值.46习题二十一 (VII)28. 证明：双纽线r2=a2cos 2q的向径与切线间的夹角等于向径极角的两倍加p/2.29. 证明下列不等式：(1) 当x0时, ex1+x; (2) 当x0时, x-x2/2ln x0时, x-x3/6sin x0时, (1
33、+1/x)xe0, 0,使得当0a-x时, |(x)/g(x)-l|e. 由恒等式, 其中a-x0x0, (ln x)/ xa 0, (x+); 5. 1/x2-1/tan2 x 2/3, (x0); 6. xxx-1 1, (x0). 若 x2 x352习题二十二 (I)1.推广上下极限的概念到函数的情形. 这里仅讨论xa-的情形其他情形留给学生自己去做.假设0, 在(a-,a)上有定义. 定义在a_的上极限为 ,下极限为 证明: (1) ; (2) 是 存在的充要条件; (3) 对于(a-,a)中以a为极限的数列xn, 若数列(xn)有极限l, 则在l在在a-的上,下极限之间.53习题二十
34、二 (II)2. 计算下列函数x0时的极限: (1) x-ln(1+x)/ x2; (2) |x|ln|x|; (3) xke1/|x|; (4) 1/x1/ln(1+x); (5)1/x 1/sin x; (6) xa1/x-b1/x (a,b0); (7) (tan x)sin x; (8)(sin x/x)1/x2;(9)e(1+x)-1/x1/x; (10)(tan x/x)1/x2; (11) (cospx)1/x2; (12) (1+|x|a)/(1+|x|b)1/ln|x|; (13) x2sin(1/x)/sin x.54习题二十二 (III)3. 计算下列函数x+时的极限:
35、(1) xk/ex; (2) x 1ln(1+x)1/x;(3) (p/2-arctan x)1/x; (4) lnkx/x; (5) e-2x(cos x+2sin x)+ex2sin2x/e-x(cos x+sin x) (6) tan(px/(2x+1)1/x; (7) (x-sin x)/(x+sin x); (8) (1+xa)/(1+xb)1/ln x (a,b为实数); (9) 1+x+sin x cos x/(x+sin x cos x)esin x .4. 设在a,+)上有界且可微. 证明: 若x时, (x) l, 则l=0.55习题二十二 (IV)5. 设在a,+)上有界且
36、可微. 证明: 若x时, (x)+(x) l. 证明: (x) l (x).6. 由Lagrange中值定理, 证明下列结论: (1) 若ln(1+x)=x/(1+qx), 则q1/2 ( (x0); (2) 若ex-1= xeqx, 则q1/2 (x0); (3) 若arcsin x=x/sqrt(1-q2x2),0q1,则q1/sqrt(3) (x0).7. 确定常数a, b使得当x0时, (1) (x)=(a+bcos x)sin x-x为x的5阶无穷小; (2) (x)=ex-(1+ax)/(1+bx) 为x的3阶无穷小.565 Taylor公式57 若 58 若 596 用导数研究函数60 若 61 若 627割线法和切线法(Newton方法)63 若 64 若 65 若 66 若 6768习题十八1. 计算下列极限 x2 x3 若 69 x2 x3 若 70 x2 x3 若 71 x2 x3若 72
