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1、第6讲双曲线考纲要求考点分布考情风向标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).2.理解数形结合的思想.3.了解双曲线的简单应用2011年大纲卷第16题考查双曲线的定义及角平分线定理；2012年新课标卷第10题考查双曲线与抛物线的方程及几何性质；2013年新课标卷第4题考查双曲线的离心率与渐近线；2014年新课标卷第4题考查双曲线的离心率；2015年新课标卷第16题以求三角形周长的最小值为背景，考查双曲线的几何性质本节复习时，应紧扣双曲线的定义，熟练掌握双曲线的标准方程、几何图形以及简单的几何性质.通过分析近几年的高考试题可以看出，
2、高考对双曲线的要求比椭圆要低.以选择题、填空题为主1.双曲线的概念常数且 a0，c0.ac 时，点 M 不存在.平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|2c0)的距离之差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为标准方程图形2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程性质范围 x_或 x_， yRxR，ya 或 ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线(续表)aa标准方程性质离心率实虚轴a，b，c
3、 的关系c2_(ca0，cb0)(续表)a2b2线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长3.等轴双曲线实轴和虚轴长相等的双曲线为等轴双曲线，其渐近线方程_.9x2y21a1，b2c2a21，则C的方程为x2y21.考点 1 双曲线的定义及应用点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|3，则|PF2|等于()A.11B.9C.5D.3解析：由双曲线定义，得|PF1|PF2|2a6.即|3|PF2|6，解得|PF2|9.故选B.答案：B的左、右焦点，点AC，点M的坐标为(2,0
4、)，AM为F1AF2的平分线.则|AF2|_.|AF1|2|AF2|.又点AC，由双曲线的第一定义，得|AF1|AF2|2|AF2|AF2|AF2|2a6.答案：6答案：C考点 2 求双曲线的标准方程答案：B答案：D考点 3 双曲线的几何性质答案：D答案：C【互动探究】D易错、易混、易漏忽视直线与双曲线相交的判断致误l 与双曲线交于 P，Q 两点，并且 A 为线段 PQ 的中点？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由.再由162480，所以所求直线不存在.方法二，设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在双曲线上，且线段PQ的中点为(1,1)，若直线 l 的斜率不存在，显然不符合题意
5、.设经过点 A 的直线 l 的方程为 y1k(x1)，(2k2)x22k(1k)x(1k)220(2k20).【失误与防范】(1)本题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确.错误原因是考生忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的.(2)思考两个问题：如将本题中点 A 的坐标改为(1,2)，看看结论怎样？中点弦问题的存在性，在椭圆内中点弦(过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点)一定存在，但在双曲线中则不能确定，这是因为过椭圆内一点的任一直线与椭圆肯定相交，而点在双曲线内外在中学
6、阶段很难界定.因此直线与双曲线的位置关系必须利用根的判别式检验.1.双曲线定义的集合语言：PM|MF1|MF2|2a，02a|F1F2|是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验.涉及双曲线的定义时，要把握定义中的关键词：绝对值保证双曲线有两支；当2a2c时，M的轨迹不存在.3.双曲线中c2a2b2，说明双曲线中c最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆.4.求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错.6.判断直线与双曲线的位置关系利用根的判别式，同时要考虑二项式的系数，直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.
