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1、第四章 基本初等函数（三角函数）4.5 解三角形高考理数高考理数考点一正弦定理和余弦定理考点一正弦定理和余弦定理知识清单考点二正、余弦定理的应用考点二正、余弦定理的应用1.有关概念(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图a).(2)方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角叫方位角,如B点的方位角为(如图b).(3)方向角:相对于某一正方向的水平角(如图c).a.北偏东:指北方向顺时针旋转到达目标方向.b.东北方向:指北偏东45.(4)坡角:坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(如图d,角为坡角).坡度:坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡
2、度(或坡比)(如图d,i为坡比).2.三角形的面积公式设ABC的三边为a,b,c,三边所对的三个角分别为A,B,C,面积为S.(1)S=ah(h表示边BC上的高).(2)S=absinC=acsinB=bcsinA.(3)S=2R2sinAsinBsinC(R为ABC外接圆的半径).(4)S=r(a+b+c)(r为ABC内切圆的半径).(5)S=.3.解斜三角形在实际中的应用解斜三角形在实际中的应用非常广泛,如测量、航海等方面都可能用到.解题的一般步骤:(1)分析题意,准确理解题意,分清已知与所求;(2)根据题意画出示意图;(3)将需要求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正弦定理、
3、余弦定理等有关知识求解;(4)检验所得的结果是否具有实际意义,对解进行取舍,并写出答案.1.已知两角A、B与一边a,由A+B+C=及=,可先求出角C,再求出b、c.2.已知两边b、c及其夹角A,由a2=b2+c2-2bccosA,先求出a,再由正弦定理求出角B、C.3.已知三边a、b、c,由余弦定理可求出角A、B、C.解三角形的常见题型及求解方法解三角形的常见题型及求解方法方法1方法技巧4.已知两边a、b及其中一边a的对角A,由正弦定理=可求出另一边b的对角B,由C=-(A+B)可求出C,再由=可求出c,而通过=求B时,可能有一解,两解或无解的情况,其判断方法如下表:例1(2017课标全国,1
4、7,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinA+cosA=0,a=2,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且ADAC,求ABD的面积.解题导引解析(1)由已知可得tanA=-,所以A=.在ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),或c=4.(2)由题设可得CAD=,所以BAD=BAC-CAD=.故ABD面积与ACD面积的比值为=1.又ABC的面积为42sinBAC=2,所以ABD的面积为.一题多解(2)另解一:由余弦定理得cosC=,在RtACD中,cosC=,CD=,AD=,DB=CD=,SABD=SAC
5、D=2sinC=.另解二:BAD=,由余弦定理得cosC=,CD=,AD=,SABD=4 sinDAB=.另解三:过B作BE垂直AD,交AD的延长线于E,在ABE中,EAB=-=,AB=4,BE=2,BE=CA,从而可得ADCEDB,BD=DC,即D为BC中点,SABD=SABC=24sinCAB=.在判断三角形的形状时,一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角与角之间的关系或边与边之间的关系,再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解法、配方法等)求解,注意等式两边的公因式不要约掉,要移项提取公因式,否则会有漏掉一种形状的可能.例2在ABC中,a、b、c分别表示三个内角A、B
6、、C的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),判断三角形的形状.利用正、余弦定理判断三角形的形状利用正、余弦定理判断三角形的形状方法1解题导引解析解法一:已知等式可化为a2sin(A-B)-sin(A+B)=b2-sin(A+B)-sin(A-B),2a2cosAsinB=2b2cosBsinA.由正弦定理可知上式可化为sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA,sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0,sin2A=sin2B,由02A2,02B0;若A为直角,则b2+c2-a2=0;若A为钝角,则b2+c2-a20.(2)利用正
7、、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角恒等变换得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=这个结论.1.几种常见题型测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.2.解题时需注意的几个问题(1)要注意仰角、俯角、方位(向)角等名词,并能准确地找出这些角;(2)要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来,发现题目中的隐含条件.正、余弦定理的实际应用策略正、余弦定理的实际应用策略方法33.解三角形应用题的方法(1)解三角形应用题的一般步骤(2)解三角形应用题的两种情形实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一
8、个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解.实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个(或两个以上)三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求出其他三角形中的解,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程,解方程得出所要求的解.(3)解三角形应用题应注意的问题画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形,如等边三角形、直角三角形等,这样可以优化解题过程.解三角形时,为避免误差的积累,应尽可能用已知的数据(原始数据),少用间接求出的量.例3(2017河南六市联考,18)某地棚户区改造建筑用地的平面示意图如图所示,经规划调研确定,棚改规划建筑用地区域近似为圆面,该圆面的内接四边形ABCD是原棚户区建筑用地,测量可知边界AB=AD=4万米,BC=6万米,CD=2万米.(1)请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及AC的长;(2)因地理条件的限制,边界AD,DC不能变更,而边界AB,BC可以调整,为了提高棚户区建筑用地的利用率,请在弧上设计一点,使得棚户区改造后的新建筑用地APCD的面积最大,并求出最大值.解题导引方法点拨本题主要考查三角形在实际生活中的应用.(1)在ABC和ADC中,灵活利用余弦定理求解即可.(2)设出AP,CP的长,在APC中,结合余弦定理和基本不等式求解即可.
