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1、高考大题增分专项三高考中的数列考情分析典例突破-2-2-2-2-从近五年高考试题分析来看,高考数列解答题主要题型有:等差数列、等比数列的综合问题;证明一个数列为等差数列或等比数列;求数列的通项及非等差数列、等比数列的前n项和;证明数列型不等式.命题特点是试题的题型规范、解题方法可循、难度稳定在中档.考情分析典例突破-3-3-3-3-题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二突破策略一公式法对于等差数列、等比数列,求其通项及求前n项的和时,只需利用等差数列或等比数列的通项公式及求和公式求解即可.考情分析典例突破-4-4-4-4-题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二例1(2017北京,文15
2、)已知等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.(1)求an的通项公式;(2)求和:b1+b3+b5+b2n-1.解(1)设等差数列an的公差为d.因为a2+a4=10,所以2a1+4d=10.解得d=2.所以an=2n-1.(2)设等比数列bn的公比为q.因为b2b4=a5,所以b1qb1q3=9.解得q2=3.所以b2n-1=b1q2n-2=3n-1.考情分析典例突破-5-5-5-5-题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二对点训练对点训练1在等比数列an中,已知a1=2,a4=16.(1)求数列an的通项公式.(2)若a3,a5分别为等差数列bn的
3、第4项和第16项,试求数列bn的通项公式及前n项和Sn.考情分析典例突破-6-6-6-6-题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二突破策略二转化法无论是求数列的通项还是求数列的前n项和,通过变形、整理后,能够把数列转化为等差数列或等比数列,进而利用等差数列或等比数列的通项公式或求和公式解决问题.考情分析典例突破-7-7-7-7-题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二例2在数列an中,a1=1,数列an+1-3an是首项为9,公比为3的等比数列.(1)求a2,a3;解(1)数列an+1-3an是首项为9,公比为3的等比数列,an+1-3an=93n-1=3n+1.a2-3a1=9,a3-3
4、a2=27.a2=12,a3=63.考情分析典例突破-8-8-8-8-题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二对点训练对点训练2设an是公比大于1的等比数列,Sn为数列an的前n项和,已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)令bn=ln a3n+1,n=1,2,求数列bn的前n项和Tn.考情分析典例突破-9-9-9-9-题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二考情分析典例突破-10-10-10-10-题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二突破策略一定义法 用定义法证明一个数列是等差数列,常采用的两个式子an-an-1=d(n2)和an+1
5、-an=d,前者必须加上“n2”,否则n=1时a0无意义;用定义法证明一个数列是等比数列也常采用两个式子考情分析典例突破-11-11-11-11-题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二例3已知数列an满足an+1=2an+n-1,且a1=1.(1)求证:数列an+n为等比数列;(2)求数列an的前n项和Sn.考情分析典例突破-12-12-12-12-题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二对点训练对点训练3(2017全国,文17)设Sn为等比数列an的前n项和,已知S2=2,S3=-6.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.考情分析典例突破-
6、13-13-13-13-题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二突破策略二递推相减法对已知数列an与Sn的关系,证明an为等差数列或等比的问题,解题思路为:由an与Sn的关系递推出n为n+1时的关系式,两关系式相减后,进行化简、整理,最终化归为用定义法证明.考情分析典例突破-14-14-14-14-题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二例4已知数列an的前n项和为Sn,Sn=(m+1)-man对任意的nN+都成立,其中m为常数,且m-1.(1)求证:数列an是等比数列;(2)记数列an的公比为q,设q=f(m),若数列bn满足(3)在(2)的条件下,设cn=bnbn+1,数列cn的前n项
7、和为Tn,求证:Tn1.考情分析典例突破-15-15-15-15-题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二证明(1)当n=1时,a1=S1=1.Sn=(m+1)-man,Sn-1=(m+1)-man-1(n2),由-,得an=man-1-man(n2),即(m+1)an=man-1.a10,m0,且4Sn=an(an+2).(1)求数列an的通项公式;考情分析典例突破-32-32-32-32-题型一题型二题型三题型四题型五考情分析典例突破-33-33-33-33-题型一题型二题型三题型四题型五突破策略存在顺推法求解数列中的存在性问题,先假设所探求对象存在,再以此假设为前提条件进行运算或逻辑推
8、理,若由此推出矛盾,则假设不成立,即不存在.若推不出矛盾,则得到存在的结果.考情分析典例突破-34-34-34-34-题型一题型二题型三题型四题型五例8已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an0,anan+1=Sn-1,其中为常数.(1)证明:an+2-an=;(2)是否存在,使得an为等差数列?并说明理由.(1)证明因为anan+1=Sn-1,所以an+1an+2=Sn+1-1.两式相减,得an+1(an+2-an)=an+1.因为an+10,所以an+2-an=.(2)解由题设,a1=1,a1a2=S1-1,可得a2=-1.由(1)知,a3=+1.令2a2=a1+a3,解得=4.故an
9、+2-an=4.由此可得a2n-1是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;a2n是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.所以an=2n-1,即an+1-an=2.因此存在=4,使得数列an为等差数列.考情分析典例突破-35-35-35-35-题型一题型二题型三题型四题型五对点训练对点训练8若an是各项均不为零的等差数列,公差为d,Sn为其前的前n项和.(1)求an和Tn;(2)是否存在正整数m,n(1mn),使得T1,Tm,Tn成等比数列?若存在,求出所有m,n的值;若不存在,请说明理由.考情分析典例突破-36-36-36-36-题型一题型二题型三题型四题型五考情分析典
10、例突破-37-37-37-37-题型一题型二题型三题型四题型五专题总结-38-1.解决等差数列、等比数列的综合问题时,重点在于读懂题意,灵活利用等差数列、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式解决问题,求解这类问题要重视方程思想的应用;用好等差数列和等比数列的性质可以降低运算量,减少差错.2.求数列的通项公式就是求出an与n的关系式,无论条件中的关系式含有哪些量,一般都需要通过消元、转化和化归的思想使之变为等差、等比数列.3.高考对数列求和的考查主要是:等差数列、等比数列的公式求和;能通过错位相减法转化为等比数列求和;裂项相消法求和;分组或合并后转化为等差数列、等比数列求和.专题总结-39-4.证明数列为等差数列或等比数列主要依据定义,尽管题目给出的条件多种多样,但一个总体目标是把条件转化成 与an的差或比为一定值.5.数列与不等式的综合问题(1)数列不等式的证明要把数列的求和与放缩法结合起来,灵活使用放缩法.(2)证明数列不等式也经常转化为数列和的最值问题,同时要注意比较法、放缩法、均值不等式的应用.
