工科大学物理课件：第2章 质点动力学

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1、理学院 物理系 陈强第第第第2 2章章章章 质点动力学质点动力学质点动力学质点动力学 “潮汐潮汐”是海水的一种周期性的升降或涨落运动，是海水的一种周期性的升降或涨落运动，是月亮和太阳是月亮和太阳对地球的引力以及地球自转所致。海水周期性涨落水体形成了具有海对地球的引力以及地球自转所致。海水周期性涨落水体形成了具有海流潮汐形成的动能流潮汐形成的动能-潮汐能潮汐能。理学院 物理系 陈强本章内容本章内容2.1 牛顿运动定律及其应用牛顿运动定律及其应用2.2 惯性系与非惯性系惯性系与非惯性系2.3 功与能功与能2.4 动量定理与动量守恒定律动量定理与动量守恒定律2.5 质心运动定理质心运动定理2.6 对

2、心碰撞对心碰撞2.7 质点的角动量定理与角动量守恒定律质点的角动量定理与角动量守恒定律理学院 物理系 陈强2.1 牛顿运动定律及其应用牛顿运动定律及其应用主要内容：主要内容：1. 牛顿运动定律牛顿运动定律2. 力学中常见的几种力力学中常见的几种力3. 牛顿第二定律的微分形式牛顿第二定律的微分形式4. 质点动力学的两类问题质点动力学的两类问题理学院 物理系 陈强2.1.1 牛顿运动定律牛顿运动定律uu动力学是研究物体与物体之动力学是研究物体与物体之动力学是研究物体与物体之动力学是研究物体与物体之间的相互作用以及由于这种间的相互作用以及由于这种间的相互作用以及由于这种间的相互作用以及由于这种相互作

3、用而引起的物体运动相互作用而引起的物体运动相互作用而引起的物体运动相互作用而引起的物体运动状态的变化规律状态的变化规律状态的变化规律状态的变化规律uu牛顿三个基本运动定律是整牛顿三个基本运动定律是整牛顿三个基本运动定律是整牛顿三个基本运动定律是整个动力学的基础个动力学的基础个动力学的基础个动力学的基础理学院 物理系 陈强n牛顿运动定律牛顿运动定律1.牛顿第一定律牛顿第一定律( (惯性定律惯性定律) )每每个个物物体体都都将将保保持持其其静静止止或或匀匀速速直直线线运运动动的的状状态态, , 除除非非有有力力加加于于其其上上迫迫使使它改变这种状态它改变这种状态. .某时刻质点的动量对时间的变化率

4、等于该时刻作用某时刻质点的动量对时间的变化率等于该时刻作用在质点上所有力的合力在质点上所有力的合力. .2.牛顿第二定律牛顿第二定律对每个作用总有一个相反的等效反作用；即两物体对每个作用总有一个相反的等效反作用；即两物体彼此的相互作用总是方向相反的彼此的相互作用总是方向相反的. .3.牛顿第三定律牛顿第三定律牛顿牛顿自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理1686理学院 物理系 陈强 惯性惯性 物体的固有属性（物体的固有属性（惯性定律惯性定律） 力力 使物体改变运动状态的原因使物体改变运动状态的原因质点处于静止或匀速直线运动状态时：质点处于静止或匀速直线运动状态时： 静力学基本方程静力学基本方程任

5、何物体都保持静止或作匀速直线运动状态，直任何物体都保持静止或作匀速直线运动状态，直任何物体都保持静止或作匀速直线运动状态，直任何物体都保持静止或作匀速直线运动状态，直到其它物体的作用迫使它改变这种状态为止。到其它物体的作用迫使它改变这种状态为止。到其它物体的作用迫使它改变这种状态为止。到其它物体的作用迫使它改变这种状态为止。uu 第一定律：第一定律：第一定律：第一定律：l 牛顿运动定律中的物体指的是牛顿运动定律中的物体指的是质点质点或作或作平动的物体平动的物体。l 牛顿第一定律提出了牛顿第一定律提出了两个两个重要概念。重要概念。理学院 物理系 陈强惯性、惯性运动与惯性参考系惯性、惯性运动与惯性

6、参考系惯性惯性: 物体保持自己原有运动状态不变的性质物体保持自己原有运动状态不变的性质. 惯性运动惯性运动: 物体在平衡状态保持的运动状态物体在平衡状态保持的运动状态. 前者是物体前者是物体固有属性固有属性, 与受力无关与受力无关. 后者必须在无外力后者必须在无外力 (或外力平衡或外力平衡)时才能实现时才能实现. 惯性参考系惯性参考系:牛顿第一定律在其中成立的参考系牛顿第一定律在其中成立的参考系. 实用的惯性参考系实用的惯性参考系 选作参考系的物体与周围物体相距甚远选作参考系的物体与周围物体相距甚远 受力较小受力较小 近似的惯性参考系近似的惯性参考系(1) 地球地球地面参考系地面参考系,地心参

7、考系地心参考系,(2)太阳参考系太阳参考系理学院 物理系 陈强 物体受合力作用时，它的动量将发生变化。物体受合力作用时，它的动量将发生变化。物体受合力作用时，它的动量将发生变化。物体受合力作用时，它的动量将发生变化。某某某某时刻物体动量对时间的变化率等于该时刻作用时刻物体动量对时间的变化率等于该时刻作用时刻物体动量对时间的变化率等于该时刻作用时刻物体动量对时间的变化率等于该时刻作用在质点上的合力。即在质点上的合力。即在质点上的合力。即在质点上的合力。即uu 第二定律：第二定律：第二定律：第二定律：l l mm为常量时，牛顿第二定律可表示为为常量时，牛顿第二定律可表示为为常量时，牛顿第二定律可表

8、示为为常量时，牛顿第二定律可表示为l l 质量是物体惯性大小的量度质量是物体惯性大小的量度质量是物体惯性大小的量度质量是物体惯性大小的量度 惯性质量惯性质量惯性质量惯性质量 对应性对应性 矢量性矢量性 （矢量矢量叠加定理）叠加定理） 瞬时性瞬时性 第二定律是一个瞬时关系式第二定律是一个瞬时关系式理学院 物理系 陈强第三定律揭示了第三定律揭示了力的特性力的特性l 成对性成对性 物体之间的作用是相互的；物体之间的作用是相互的；l 一致性一致性 作用力与反作用力性质一致；作用力与反作用力性质一致；l 同时性同时性 相互作用之间是相互依存，同生同灭。相互作用之间是相互依存，同生同灭。两个物体间的相互作

9、用力总是等值反向且沿着两个物体间的相互作用力总是等值反向且沿着两个物体间的相互作用力总是等值反向且沿着两个物体间的相互作用力总是等值反向且沿着同一直线，即同一直线，即同一直线，即同一直线，即uu 第三定律：第三定律：第三定律：第三定律： 注意注意注意注意 理学院 物理系 陈强1. 力学中的常见力力学中的常见力uu万有引力：万有引力：万有引力：万有引力：万有引力的大小万有引力的大小万有引力定律的矢量式万有引力定律的矢量式万有引力定律的矢量式万有引力定律的矢量式万有引力常量万有引力常量2.1.2 力学中常见的几种力力学中常见的几种力任意两个质点之间的相互吸引力任意两个质点之间的相互吸引力任意两个质

10、点之间的相互吸引力任意两个质点之间的相互吸引力l l 万有引力定律式适用于两个质点；万有引力定律式适用于两个质点；万有引力定律式适用于两个质点；万有引力定律式适用于两个质点； 说明说明说明说明l l 对于两个质量均匀的球体之间的引力，可以直接用万有对于两个质量均匀的球体之间的引力，可以直接用万有对于两个质量均匀的球体之间的引力，可以直接用万有对于两个质量均匀的球体之间的引力，可以直接用万有 引力定律式计算。引力定律式计算。引力定律式计算。引力定律式计算。理学院 物理系 陈强地球对其表面附近物体的万有引力地球对其表面附近物体的万有引力地球对其表面附近物体的万有引力地球对其表面附近物体的万有引力质

11、量为质量为质量为质量为mm的物体所受重力为的物体所受重力为的物体所受重力为的物体所受重力为l l 重力：重力：重力：重力：设设设设地球的质量为地球的质量为地球的质量为地球的质量为mmE E，地球的半径为地球的半径为地球的半径为地球的半径为R R，物体的质量为物体的质量为物体的质量为物体的质量为mm重力加速度重力加速度重力加速度重力加速度理学院 物理系 陈强uu弹性力：弹性力：弹性力：弹性力：因形变而产生的恢复力因形变而产生的恢复力因形变而产生的恢复力因形变而产生的恢复力l l 支承面的支承力支承面的支承力支承面的支承力支承面的支承力l l 绳索内的张力绳索内的张力绳索内的张力绳索内的张力(1)

12、 (1) 质量忽略不计的轻绳，质量忽略不计的轻绳，质量忽略不计的轻绳，质量忽略不计的轻绳，绳中各点处的张力相等；绳中各点处的张力相等；绳中各点处的张力相等；绳中各点处的张力相等；(2) (2) 质量不能忽略的绳索，质量不能忽略的绳索，质量不能忽略的绳索，质量不能忽略的绳索，且处于加速运动状态时，绳且处于加速运动状态时，绳且处于加速运动状态时，绳且处于加速运动状态时，绳中各点处的张力不同。中各点处的张力不同。中各点处的张力不同。中各点处的张力不同。理学院 物理系 陈强胡克定律胡克定律胡克定律胡克定律l l弹簧的弹性力弹簧的弹性力弹簧的弹性力弹簧的弹性力理学院 物理系 陈强uu 摩擦力：摩擦力：摩

13、擦力：摩擦力：l l 静摩擦力：静摩擦力：静摩擦力：静摩擦力：(3) (3) 最大静摩擦力最大静摩擦力最大静摩擦力最大静摩擦力(1)(1) 静摩擦力的大小随外力的静摩擦力的大小随外力的静摩擦力的大小随外力的静摩擦力的大小随外力的(2)(2) 变化而变化；变化而变化；变化而变化；变化而变化；阻碍彼此接触的物体相对运动或相对运动趋势的力阻碍彼此接触的物体相对运动或相对运动趋势的力阻碍彼此接触的物体相对运动或相对运动趋势的力阻碍彼此接触的物体相对运动或相对运动趋势的力 (2) (2) 静摩擦力的方向与接触面静摩擦力的方向与接触面静摩擦力的方向与接触面静摩擦力的方向与接触面 相对滑动趋势的指向相反；相

14、对滑动趋势的指向相反；相对滑动趋势的指向相反；相对滑动趋势的指向相反；: : : :静摩擦系数静摩擦系数静摩擦系数静摩擦系数彼此接触的物体有相对运动趋势时，接触面间出现的彼此接触的物体有相对运动趋势时，接触面间出现的彼此接触的物体有相对运动趋势时，接触面间出现的彼此接触的物体有相对运动趋势时，接触面间出现的摩擦力摩擦力摩擦力摩擦力理学院 物理系 陈强l l 滑动摩擦力：滑动摩擦力：滑动摩擦力：滑动摩擦力：(1) (1) 为为为为滑动摩擦系数，滑动摩擦系数，滑动摩擦系数，滑动摩擦系数， 且且且且 ； (2) (2) 滑动摩擦力的方向总是滑动摩擦力的方向总是滑动摩擦力的方向总是滑动摩擦力的方向总是

15、 与相对运动的方向相反。与相对运动的方向相反。与相对运动的方向相反。与相对运动的方向相反。干摩擦力随作用力的变化规律干摩擦力随作用力的变化规律干摩擦力随作用力的变化规律干摩擦力随作用力的变化规律动摩擦动摩擦动摩擦动摩擦静摩擦静摩擦静摩擦静摩擦相互接触的物体有相对滑动时，接触处出现的摩擦力相互接触的物体有相对滑动时，接触处出现的摩擦力相互接触的物体有相对滑动时，接触处出现的摩擦力相互接触的物体有相对滑动时，接触处出现的摩擦力理学院 物理系 陈强l l 湿摩擦力湿摩擦力湿摩擦力湿摩擦力: :（1 1）在固体与流体相对运动速率不大时）在固体与流体相对运动速率不大时）在固体与流体相对运动速率不大时）在

16、固体与流体相对运动速率不大时（2 2）在固体与流体相对运动速率较大时）在固体与流体相对运动速率较大时）在固体与流体相对运动速率较大时）在固体与流体相对运动速率较大时（3 3）湿摩擦力远小于干摩擦力）湿摩擦力远小于干摩擦力）湿摩擦力远小于干摩擦力）湿摩擦力远小于干摩擦力2. 常见力的分类常见力的分类vv接触力与非接触力接触力与非接触力接触力与非接触力接触力与非接触力vv主动力与被动力主动力与被动力主动力与被动力主动力与被动力固体在流体中运动时，沿着接触面出现的摩擦力固体在流体中运动时，沿着接触面出现的摩擦力固体在流体中运动时，沿着接触面出现的摩擦力固体在流体中运动时，沿着接触面出现的摩擦力理学院

17、 物理系 陈强2.1.3 牛顿第二定律的微分形式及其应用牛顿第二定律的微分形式及其应用1. 牛顿第二定律的微分形式牛顿第二定律的微分形式 自然坐标中的分量式自然坐标中的分量式自然坐标中的分量式自然坐标中的分量式 直角坐标系中的分量式直角坐标系中的分量式直角坐标系中的分量式直角坐标系中的分量式理学院 物理系 陈强2. 质点动力学的两类问题质点动力学的两类问题uu 两类问题两类问题两类问题两类问题(1)(1)已知质点的运动方程，或任一时刻的速度或加速度，求已知质点的运动方程，或任一时刻的速度或加速度，求已知质点的运动方程，或任一时刻的速度或加速度，求已知质点的运动方程，或任一时刻的速度或加速度，求

18、(2)(2) 质点所受的力；质点所受的力；质点所受的力；质点所受的力； 微分法微分法 (2) (2) 已已已已知质点受到的力，求质点的运动方程等，包括任意时知质点受到的力，求质点的运动方程等，包括任意时知质点受到的力，求质点的运动方程等，包括任意时知质点受到的力，求质点的运动方程等，包括任意时 刻质点的位置、速度或加速度。刻质点的位置、速度或加速度。刻质点的位置、速度或加速度。刻质点的位置、速度或加速度。 积分法积分法 uu 应用牛顿第二定律时应注意应用牛顿第二定律时应注意应用牛顿第二定律时应注意应用牛顿第二定律时应注意(1)(1) 这是一个瞬时关系式，即等式两边的各物理量都是同一这是一个瞬时

19、关系式，即等式两边的各物理量都是同一这是一个瞬时关系式，即等式两边的各物理量都是同一这是一个瞬时关系式，即等式两边的各物理量都是同一(2)(2) 时刻的物理量；时刻的物理量；时刻的物理量；时刻的物理量； (2) (2) 是作用在质点上作用力的矢量和；是作用在质点上作用力的矢量和；是作用在质点上作用力的矢量和；是作用在质点上作用力的矢量和；(3) (3) 在一般情况下力在一般情况下力在一般情况下力在一般情况下力 是一个变力；是一个变力；是一个变力；是一个变力；(4) (4) 实际应用时常采用其分量式。实际应用时常采用其分量式。实际应用时常采用其分量式。实际应用时常采用其分量式。理学院 物理系 陈

20、强(1) 劈劈m1相对地面的加速度和木块相对地面的加速度和木块m2相对劈的加速度；相对劈的加速度；(2) 欲使木块与劈之间无相对滑动，应该沿水平方向给劈多欲使木块与劈之间无相对滑动，应该沿水平方向给劈多 大的作用力？大的作用力？将一质量为将一质量为m1的三角形劈，放在光滑的水平桌面上，另的三角形劈，放在光滑的水平桌面上，另一质量为一质量为m2的立方体木块，沿三角形劈的光滑斜面自由下滑，的立方体木块，沿三角形劈的光滑斜面自由下滑，如图所示。如图所示。 例例解解求求建立如图的坐标系建立如图的坐标系建立如图的坐标系建立如图的坐标系(1) m1 、m2 受力情况如图受力情况如图受力情况如图受力情况如图

21、设劈相对地面的加速度大小为设劈相对地面的加速度大小为a1木块相对劈的加速度大小为木块相对劈的加速度大小为a2方向如图方向如图理学院 物理系 陈强对木块对木块m2有有且且对劈对劈m1有有(1)(2)(3)(4)(5)解以上方程组，可得解以上方程组，可得理学院 物理系 陈强建立如图的坐标系建立如图的坐标系建立如图的坐标系建立如图的坐标系(2) 设沿水平方向给劈施加力设沿水平方向给劈施加力F，且木块与劈以相同的加速，且木块与劈以相同的加速 度度a沿水平方向运动，方向如图所示。沿水平方向运动，方向如图所示。对木块对木块m2有有对劈对劈m1有有(1)(2)(3)(4)(5)且且理学院 物理系 陈强解以上

22、方程组，可得在劈上所加的水平力为解以上方程组，可得在劈上所加的水平力为劈和木块共同运动的加速度为劈和木块共同运动的加速度为水平力水平力F 和加速度和加速度a 的方向均为水平向左。的方向均为水平向左。理学院 物理系 陈强& 应用牛顿运动定律求解质点动力学问题的一般步骤应用牛顿运动定律求解质点动力学问题的一般步骤(1) 选取研究对象，隔离物体；选取研究对象，隔离物体；(2) 分析受力，画出受力图；分析受力，画出受力图；(3) 选取坐标系；选取坐标系；(4) 列牛顿运动微分方程求解列牛顿运动微分方程求解（通常取分量式）（通常取分量式）； (5) 讨论结果的物理意义，判断其是否合理和正确。讨论结果的物

23、理意义，判断其是否合理和正确。理学院 物理系 陈强试问竖直上抛的物体最小应具有多大的初速度试问竖直上抛的物体最小应具有多大的初速度v0才不再回到才不再回到地球上来？不计空气阻力及其它作用力。地球上来？不计空气阻力及其它作用力。设上抛物体质量为设上抛物体质量为m, ,地球质量为地球质量为mE, ,半径为半径为R又又例例解解受力如图，建立如图所示坐标。受力如图，建立如图所示坐标。地球对物体的万有引力为地球对物体的万有引力为根据质点运动微分方程，有根据质点运动微分方程，有则则变量代换，得变量代换，得理学院 物理系 陈强所以所以分离变量分离变量, ,得得初始条件为初始条件为由此解得由此解得积分，有积分

24、，有即即所以所以（第二宇宙速度）（第二宇宙速度）理学院 物理系 陈强如图所示，质量为如图所示，质量为m的小球与劲度系数为的小球与劲度系数为k的轻弹簧构成弹的轻弹簧构成弹簧振子系统。开始时，弹簧处于原长，小球静止，现以恒力簧振子系统。开始时，弹簧处于原长，小球静止，现以恒力F向右拉小球，设小球与水平面间的摩擦系数为向右拉小球，设小球与水平面间的摩擦系数为 。受力如图所示受力如图所示, ,小球向右运动的最大距离。小球向右运动的最大距离。例例解解求求列运动微分方程为列运动微分方程为(1)(2)以以O点为原点建立坐标系点为原点建立坐标系理学院 物理系 陈强(2)(2)式代入式代入(1)(1)式，变量代

25、换，有式，变量代换，有初始条件初始条件 分离变量分离变量, ,得得积分积分 小球向右运动到最大距离时小球向右运动到最大距离时即即由此可得由此可得 理学院 物理系 陈强 质量为质量为质量为质量为mm的小球最初位于半径为的小球最初位于半径为的小球最初位于半径为的小球最初位于半径为R R的光滑圆弧面的顶端的光滑圆弧面的顶端的光滑圆弧面的顶端的光滑圆弧面的顶端A A点，点，点，点，然后小球沿光滑圆弧面从静止开始下滑。然后小球沿光滑圆弧面从静止开始下滑。然后小球沿光滑圆弧面从静止开始下滑。然后小球沿光滑圆弧面从静止开始下滑。例例解解求求小球在任一位置时的速度和对圆弧面的作用力。小球在任一位置时的速度和对

26、圆弧面的作用力。小球在任一位置时的速度和对圆弧面的作用力。小球在任一位置时的速度和对圆弧面的作用力。受力如图所示受力如图所示建立自然坐标建立自然坐标列方程列方程变量代换变量代换分离变量分离变量理学院 物理系 陈强由由由由(2)(2)(2)(2)式有式有式有式有利用初始条件，积分利用初始条件，积分 即即由此可得由此可得 理学院 物理系 陈强 有一质量为有一质量为有一质量为有一质量为mm的均匀细棒长为的均匀细棒长为的均匀细棒长为的均匀细棒长为l l，将其一端固定并作为转轴，将其一端固定并作为转轴，将其一端固定并作为转轴，将其一端固定并作为转轴，另一端绕转轴在光滑水平面上以匀角速度另一端绕转轴在光滑

27、水平面上以匀角速度另一端绕转轴在光滑水平面上以匀角速度另一端绕转轴在光滑水平面上以匀角速度 旋转。旋转。旋转。旋转。选微元选微元选微元选微元d dx x距离固定端为距离固定端为距离固定端为距离固定端为l/ l/2 2、l/ l/4 4处的张力。处的张力。处的张力。处的张力。例例解解求求建立如图自然坐标建立如图自然坐标建立如图自然坐标建立如图自然坐标列方程列方程，对其受力分析，对其受力分析，对其受力分析，对其受力分析, , , ,如图如图如图如图理学院 物理系 陈强即即即即考虑到考虑到考虑到考虑到 x = lx = l 时，时，时，时，F FT T( (l l) ) = = 0 0，则代，则代，

28、则代，则代入入入入(1)(1)(1)(1)式式式式则则则则距固定端距固定端距固定端距固定端x x处棒中的张力为处棒中的张力为处棒中的张力为处棒中的张力为距固定端为距固定端为距固定端为距固定端为l/ l/2 2处的张力处的张力处的张力处的张力距固定端为距固定端为距固定端为距固定端为l/ l/4 4处的张力处的张力处的张力处的张力理学院 物理系 陈强2.2 惯性系与非惯性系主要内容：主要内容：1. 惯性参考系惯性参考系2. 牛顿运动定律的适用范围牛顿运动定律的适用范围3. 力学相对性原理力学相对性原理理学院 物理系 陈强2.2.1 2.2.1 惯性系和非惯性系惯性系和非惯性系惯性系和非惯性系惯性系

29、和非惯性系对地参考系对地参考系 牛顿运动定律在加速运动的车厢参考系中不成立！牛顿运动定律在加速运动的车厢参考系中不成立！牛顿运动定律在加速运动的车厢参考系中不成立！牛顿运动定律在加速运动的车厢参考系中不成立！而而而而对车厢参考系对车厢参考系对地参考系对地参考系对车厢参考系对车厢参考系牛顿定律适用的参考系，简称牛顿定律适用的参考系，简称牛顿定律适用的参考系，简称牛顿定律适用的参考系，简称惯性系惯性系惯性系惯性系。uu 惯性参考系：惯性参考系：惯性参考系：惯性参考系：反之，称为反之，称为反之，称为反之，称为非惯性系非惯性系非惯性系非惯性系。理学院 物理系 陈强l 太阳参考系太阳参考系是一个实验精度

30、相当高的惯性系。是一个实验精度相当高的惯性系。uu 几种实用的惯性系几种实用的惯性系几种实用的惯性系几种实用的惯性系l l 一个参考系是否是惯性系，要依赖观测和实验的结果来一个参考系是否是惯性系，要依赖观测和实验的结果来一个参考系是否是惯性系，要依赖观测和实验的结果来一个参考系是否是惯性系，要依赖观测和实验的结果来 判断。判断。判断。判断。l 地心参考系地心参考系也是一个实验精度很高的惯性系。也是一个实验精度很高的惯性系。l 地面参考系地面参考系是一个近似程度很高的惯性系。是一个近似程度很高的惯性系。l l 相对于惯性系作相对于惯性系作相对于惯性系作相对于惯性系作匀速直线运动的参考系匀速直线运

31、动的参考系匀速直线运动的参考系匀速直线运动的参考系都是惯性系，作变都是惯性系，作变都是惯性系，作变都是惯性系，作变 速运动的参考系为非惯性系。速运动的参考系为非惯性系。速运动的参考系为非惯性系。速运动的参考系为非惯性系。牛顿定律适用的参考系。牛顿定律适用的参考系。牛顿定律适用的参考系。牛顿定律适用的参考系。uu 惯性系：惯性系：惯性系：惯性系：理学院 物理系 陈强2.2.2 2.2.2 牛顿运动定律的适用范围牛顿运动定律的适用范围l l 牛顿运动定律中的物体是指质点；牛顿运动定律中的物体是指质点；牛顿运动定律中的物体是指质点；牛顿运动定律中的物体是指质点；l l 牛顿运动定律适用于惯性系；牛顿

32、运动定律适用于惯性系；牛顿运动定律适用于惯性系；牛顿运动定律适用于惯性系；l l 牛顿运动定律适用于低速领域的宏观物体。牛顿运动定律适用于低速领域的宏观物体。牛顿运动定律适用于低速领域的宏观物体。牛顿运动定律适用于低速领域的宏观物体。2.2.3 2.2.3 力学相对性原理力学相对性原理力学相对性原理力学相对性原理船走吗船走吗船走吗船走吗? ? ? ?不可能利用在惯性系内部进不可能利用在惯性系内部进 行行的任何力学实验来确定该系作的任何力学实验来确定该系作匀速直线运动的速度；匀速直线运动的速度；在一切惯性系中，力学定律具在一切惯性系中，力学定律具有完全相同的表达形式；有完全相同的表达形式；物理量

33、可以是相对的，但不同惯性系中物理量可以是相对的，但不同惯性系中力学定律的表达式则是绝对的。力学定律的表达式则是绝对的。理学院 物理系 陈强2.3 功与能功与能主要内容：主要内容：1. 功功2. 动能定理动能定理3. 保守力的功保守力的功 势能势能4. 功能原理与机械能守恒定律功能原理与机械能守恒定律理学院 物理系 陈强 2.3.1 2.3.1 功功功功恒力恒力恒力恒力，路程，路程，路程，路程 s s位移位移位移位移功功功功l l 功是标量功是标量功是标量功是标量l l 功有正功、负功之分功有正功、负功之分功有正功、负功之分功有正功、负功之分 ，功的正负功取决于，功的正负功取决于，功的正负功取决

34、于，功的正负功取决于 。1.1.1.1.恒力的功恒力的功恒力的功恒力的功，夹角，夹角l l 力对物体作负功，也可以说物体反抗外力作功。力对物体作负功，也可以说物体反抗外力作功。力对物体作负功，也可以说物体反抗外力作功。力对物体作负功，也可以说物体反抗外力作功。 注意注意注意注意理学院 物理系 陈强2. 2. 变力的功变力的功变力的功变力的功元功等于力与元位移的标积元功等于力与元位移的标积元功等于力与元位移的标积元功等于力与元位移的标积或或或或由由由由a a点移动到点移动到点移动到点移动到b b点，总功点，总功点，总功点，总功取元位移取元位移，在，在 范围内，作用力范围内，作用力 可认为是恒力。

35、可认为是恒力。在任一元位移在任一元位移 上，力上，力 所作的元功所作的元功功是过程量，是力的一种空间累积效应功是过程量，是力的一种空间累积效应功是过程量，是力的一种空间累积效应功是过程量，是力的一种空间累积效应理学院 物理系 陈强 (3) (3) 功在数值上等于示功图曲线下功在数值上等于示功图曲线下功在数值上等于示功图曲线下功在数值上等于示功图曲线下 的面积的面积的面积的面积 讨论讨论讨论讨论(1) (1) 在直角坐标系中在直角坐标系中在直角坐标系中在直角坐标系中(2) (2) 合合合合力力力力 的功的功的功的功 等于各分力沿同一路径所作功的代数和等于各分力沿同一路径所作功的代数和等于各分力沿

36、同一路径所作功的代数和等于各分力沿同一路径所作功的代数和示功图示功图示功图示功图(4) (4) 功功功功率率率率理学院 物理系 陈强摆球受力分析摆球受力分析摆球受力分析摆球受力分析列方程列方程列方程列方程元功元功元功元功例例解解有一长为有一长为有一长为有一长为l l、质量为、质量为、质量为、质量为mm的单摆，最初处于铅直位置且静止。的单摆，最初处于铅直位置且静止。的单摆，最初处于铅直位置且静止。的单摆，最初处于铅直位置且静止。现用一水平力现用一水平力现用一水平力现用一水平力 作用于小球上作用于小球上作用于小球上作用于小球上，使单摆非常缓慢的上升使单摆非常缓慢的上升使单摆非常缓慢的上升使单摆非常

37、缓慢的上升（即（即（即（即上升过程中每一位置近似平衡上升过程中每一位置近似平衡上升过程中每一位置近似平衡上升过程中每一位置近似平衡）。）。）。）。用摆球与用摆球与用摆球与用摆球与铅直位置的夹铅直位置的夹铅直位置的夹铅直位置的夹角角角角 表示单摆的位置表示单摆的位置表示单摆的位置表示单摆的位置。求求当当当当 由由由由0 0增大到增大到增大到增大到 0 0的过程中，的过程中，的过程中，的过程中，此水平力此水平力此水平力此水平力 所作的功？所作的功？所作的功？所作的功？，建立坐标系如图。，建立坐标系如图。，建立坐标系如图。，建立坐标系如图。得得得得总功总功总功总功理学院 物理系 陈强设作用于质量设作

38、用于质量m = 2kg的物体上的力为的物体上的力为F = 6t，在该力作用下，在该力作用下物体由静止出发，沿力的作用方向作直线运动。物体由静止出发，沿力的作用方向作直线运动。在前在前2s时间内，这个力所作的功。时间内，这个力所作的功。例例解解求求列方程列方程列方程列方程分离变量，并考虑初始条件，积分分离变量，并考虑初始条件，积分在前在前2s力所作的功为力所作的功为理学院 物理系 陈强一条长为一条长为l、质量为、质量为m的均质柔绳的均质柔绳AB，A端挂在天花板的钩上，端挂在天花板的钩上，自然下垂。现将自然下垂。现将B端沿铅垂方向提高到与端沿铅垂方向提高到与A端同一高度处。端同一高度处。取绳自然下

39、垂时取绳自然下垂时B端位置为坐标原点，端位置为坐标原点，铅垂向上为铅垂向上为Oy轴正方向。轴正方向。设设B 端提升过程中的某一时刻坐标为端提升过程中的某一时刻坐标为y该过程中重力所作的功。该过程中重力所作的功。例例解解求求取重力元位移取重力元位移dy绳提起部分所受重力为绳提起部分所受重力为，则重力在元位移上的元功为，则重力在元位移上的元功为该过程中重力所作的总功为该过程中重力所作的总功为理学院 物理系 陈强2.2.3 2.2.3 动能定理动能定理动能定理动能定理（动能定理的微分形式）（动能定理的微分形式）（动能定理的微分形式）（动能定理的微分形式）力力 在元位移在元位移 上所作的元功上所作的元

40、功Ft为为 切向分力切向分力1. 1. 质点的动能定理质点的动能定理质点的动能定理质点的动能定理（动能定理）（动能定理）（动能定理）（动能定理）理学院 物理系 陈强 讨论讨论讨论讨论l l 外力的外力的外力的外力的功功功功是物体动能变化的是物体动能变化的是物体动能变化的是物体动能变化的量度量度量度量度；l l 外力可以通过作功外力可以通过作功外力可以通过作功外力可以通过作功改变改变改变改变其物体的其物体的其物体的其物体的动能动能动能动能；l l 动能动能动能动能 是一个由物体的运动状态所决定的是一个由物体的运动状态所决定的是一个由物体的运动状态所决定的是一个由物体的运动状态所决定的状态量状态量

41、状态量状态量；l l 动能定理只适用于动能定理只适用于动能定理只适用于动能定理只适用于惯性系惯性系惯性系惯性系，具有惯性系中的，具有惯性系中的，具有惯性系中的，具有惯性系中的形式不变性形式不变性形式不变性形式不变性。合力对质点所作的功等于质点始、末两状态动能的增量。合力对质点所作的功等于质点始、末两状态动能的增量。合力对质点所作的功等于质点始、末两状态动能的增量。合力对质点所作的功等于质点始、末两状态动能的增量。（动能定理）（动能定理）（动能定理）（动能定理）理学院 物理系 陈强质量为质量为m的小球，系在长为的小球，系在长为l的细绳下端，绳的上端固定在的细绳下端，绳的上端固定在天花板上，构成一

42、单摆，如图。开始时，把绳子拉到与铅天花板上，构成一单摆，如图。开始时，把绳子拉到与铅垂线成垂线成 0角处，然后放手使小球沿圆弧下落。角处，然后放手使小球沿圆弧下落。受力如图，受力如图，例例解解求求绳与铅垂线成绳与铅垂线成角时小球的速率。角时小球的速率。取元位移取元位移由质点的动能定理得由质点的动能定理得其中，张力的功其中，张力的功重力的功重力的功理学院 物理系 陈强按照运动学中对角位移正负的规定，这里按照运动学中对角位移正负的规定，这里d 为负，则为负，则且初始条件为且初始条件为故得故得 有有 理学院 物理系 陈强质量为质量为质量为质量为mm的质点，系在一端固定的绳子上且在粗糙水平面上作的质点

43、，系在一端固定的绳子上且在粗糙水平面上作的质点，系在一端固定的绳子上且在粗糙水平面上作的质点，系在一端固定的绳子上且在粗糙水平面上作半径为半径为半径为半径为R R的圆周运动。当它运动一周后，由初速的圆周运动。当它运动一周后，由初速的圆周运动。当它运动一周后，由初速的圆周运动。当它运动一周后，由初速v vo o o o减小为减小为减小为减小为v vo o o o/2/2。质点在运动过程中，受重力、支承力和摩擦力，但只有摩擦力作功质点在运动过程中，受重力、支承力和摩擦力，但只有摩擦力作功质点在运动过程中，受重力、支承力和摩擦力，但只有摩擦力作功质点在运动过程中，受重力、支承力和摩擦力，但只有摩擦力

44、作功(2) (2) 因摩擦力因摩擦力因摩擦力因摩擦力方向与运动方向相反方向与运动方向相反方向与运动方向相反方向与运动方向相反可得可得可得可得(1) (1) 摩擦力所作的功；摩擦力所作的功；摩擦力所作的功；摩擦力所作的功；(2) (2) 滑动摩擦系数；滑动摩擦系数；滑动摩擦系数；滑动摩擦系数；(3) (3) 静止前质点运静止前质点运静止前质点运静止前质点运动了多少圈动了多少圈动了多少圈动了多少圈? ?例例解解求求(1) (1) 根根根根据质点的动能定理，摩擦力的功据质点的动能定理，摩擦力的功据质点的动能定理，摩擦力的功据质点的动能定理，摩擦力的功理学院 物理系 陈强(3) (3) 设静止前质点运

45、动了设静止前质点运动了设静止前质点运动了设静止前质点运动了n n圈圈圈圈由质点的动能定理有由质点的动能定理有由质点的动能定理有由质点的动能定理有可得可得可得可得（圈）（圈）（圈）（圈）理学院 物理系 陈强 内力内力内力内力外力外力外力外力, , , ,根据质点的动能定理根据质点的动能定理根据质点的动能定理根据质点的动能定理对对对对mm1 1:对对对对mm2 2: :两式相加两式相加两式相加两式相加2. 2. 质点系的动能定理质点系的动能定理质点系的动能定理质点系的动能定理理学院 物理系 陈强推广到推广到推广到推广到n n个质点的质点系个质点的质点系个质点的质点系个质点的质点系（质点系的动能定理

46、）（质点系的动能定理）（质点系的动能定理）（质点系的动能定理） 注意注意注意注意l l 质点系的质点系的质点系的质点系的内力和外力的区分内力和外力的区分内力和外力的区分内力和外力的区分。l l 系统系统系统系统内力的功内力的功内力的功内力的功也可以改变也可以改变也可以改变也可以改变系统的动能系统的动能系统的动能系统的动能。所有外力和内力对质点系作功的总和等于质点系动能的增量所有外力和内力对质点系作功的总和等于质点系动能的增量所有外力和内力对质点系作功的总和等于质点系动能的增量所有外力和内力对质点系作功的总和等于质点系动能的增量理学院 物理系 陈强& 应用动能定理求解力学问题的一般步骤应用动能定

47、理求解力学问题的一般步骤(1)确定研究对象；确定研究对象；(2) 质点或质点系质点或质点系。(2) 分析研究对象受力情况和各力的作功情况；分析研究对象受力情况和各力的作功情况； 质点系必须区分外力和内力。质点系必须区分外力和内力。(3) 选定研究过程；选定研究过程； 要确定初、末状态，及其对应的动能。要确定初、末状态，及其对应的动能。(4) 列方程；列方程； 根据动能定理列出方程，并列出必要的辅助性方程。根据动能定理列出方程，并列出必要的辅助性方程。(5) 解方程，求出结果。并对结果进行必要的讨论。解方程，求出结果。并对结果进行必要的讨论。 理学院 物理系 陈强 长为长为l的均质绳索，部分置于

48、水平面上，另一部分自然下垂，的均质绳索，部分置于水平面上，另一部分自然下垂，如图所示。已知绳索与水平面间的静摩擦系数为如图所示。已知绳索与水平面间的静摩擦系数为 S，滑动摩，滑动摩擦系数为擦系数为 k。以绳索的水平部分为研究对象，设绳索每单位以绳索的水平部分为研究对象，设绳索每单位长度的质量为长度的质量为 ，设设Oy轴向下，绳索下垂部分轴向下，绳索下垂部分的端点坐标为的端点坐标为y。(1) 满足什么条件时，绳索将开始滑动？满足什么条件时，绳索将开始滑动？(2) 若下垂长度为若下垂长度为b时，绳索自静止开始滑动，当绳索末端时，绳索自静止开始滑动，当绳索末端刚刚滑离桌面时，其速度等于多少？刚刚滑离

49、桌面时，其速度等于多少？例例解解求求当当 时，水平部分受到的下垂部时，水平部分受到的下垂部分的拉力为分的拉力为此时达到最大静摩擦力此时达到最大静摩擦力则有则有理学院 物理系 陈强 即即 (2) 以整个绳索为研究对象，绳索在运动过程中各部分之间以整个绳索为研究对象，绳索在运动过程中各部分之间 相互作用的内力的功之和为零。相互作用的内力的功之和为零。 当当 ，拉力大于最大静摩擦力，绳索将开始滑动。，拉力大于最大静摩擦力，绳索将开始滑动。重力的功为重力的功为摩擦力的功为摩擦力的功为根据动能定理，有根据动能定理，有解得解得若水平面光滑，则若水平面光滑，则 理学院 物理系 陈强2.3.3 2.3.3 保

50、守力的功保守力的功保守力的功保守力的功 势能势能势能势能1.1.1.1.几种常见力的功几种常见力的功几种常见力的功几种常见力的功元功元功元功元功uu 重力的功重力的功重力的功重力的功总功总功总功总功 结论结论结论结论l l 重力所作的功仅和物体的始末位置有关，而与路径无关。重力所作的功仅和物体的始末位置有关，而与路径无关。重力所作的功仅和物体的始末位置有关，而与路径无关。重力所作的功仅和物体的始末位置有关，而与路径无关。l l 物体沿物体沿物体沿物体沿acbdaacbda闭合路径闭合路径闭合路径闭合路径L L运动一周，重力的功运动一周，重力的功运动一周，重力的功运动一周，重力的功理学院 物理系

51、 陈强uu 万有引力的功万有引力的功万有引力的功万有引力的功地球地球地球地球太阳太阳太阳太阳元功元功元功元功总功总功总功总功 结论结论结论结论l l 万有引力的功仅和物体的始末位置有关，而与路径无关。万有引力的功仅和物体的始末位置有关，而与路径无关。万有引力的功仅和物体的始末位置有关，而与路径无关。万有引力的功仅和物体的始末位置有关，而与路径无关。l l 沿沿沿沿任意任意任意任意闭合路径闭合路径闭合路径闭合路径L L运动一周，万有引力的功运动一周，万有引力的功运动一周，万有引力的功运动一周，万有引力的功理学院 物理系 陈强uu 弹性力的功弹性力的功弹性力的功弹性力的功元功元功元功元功总功总功总

52、功总功 结论结论结论结论l l 弹性力所作的功仅和物体的始末位置有关，而与路径无关。弹性力所作的功仅和物体的始末位置有关，而与路径无关。弹性力所作的功仅和物体的始末位置有关，而与路径无关。弹性力所作的功仅和物体的始末位置有关，而与路径无关。l l 沿沿沿沿任意任意任意任意闭合路径闭合路径闭合路径闭合路径L L运动一周，运动一周，运动一周，运动一周，弹性力所作的功弹性力所作的功弹性力所作的功弹性力所作的功理学院 物理系 陈强 总功总功总功总功uu 摩擦力摩擦力摩擦力摩擦力的功的功的功的功元功元功元功元功（F Fk k为常量）为常量）为常量）为常量） 结论结论结论结论: : 摩擦力的功与路径有关摩

53、擦力的功与路径有关摩擦力的功与路径有关摩擦力的功与路径有关。作功只与物体始末位置有关，而与物体运动路径无作功只与物体始末位置有关，而与物体运动路径无作功只与物体始末位置有关，而与物体运动路径无作功只与物体始末位置有关，而与物体运动路径无关的力。关的力。关的力。关的力。2. 2. 保守力保守力保守力保守力l l 保守力保守力保守力保守力：l l 非保守力：非保守力：非保守力：非保守力：（重力、万有引力、弹性力都是保守力）（重力、万有引力、弹性力都是保守力）（重力、万有引力、弹性力都是保守力）（重力、万有引力、弹性力都是保守力）作功与物体运动路径有关的力。作功与物体运动路径有关的力。作功与物体运动

54、路径有关的力。作功与物体运动路径有关的力。（摩擦力是非保守力）（摩擦力是非保守力）（摩擦力是非保守力）（摩擦力是非保守力）l l 保守力沿任意闭合路径一周所作的功为零保守力沿任意闭合路径一周所作的功为零保守力沿任意闭合路径一周所作的功为零保守力沿任意闭合路径一周所作的功为零，即即即即（保守力场）（保守力场）（保守力场）（保守力场）理学院 物理系 陈强3. 3. 势能势能势能势能uu势能的定义势能的定义势能的定义势能的定义万有引力的功万有引力的功万有引力的功万有引力的功重力的功重力的功重力的功重力的功弹性力的功弹性力的功弹性力的功弹性力的功保守力的功可写成保守力的功可写成保守力的功可写成保守力的

55、功可写成对照动能定理对照动能定理对照动能定理对照动能定理位置函数位置函数位置函数位置函数E Ep p被称为质点的被称为质点的被称为质点的被称为质点的势能势能势能势能结论结论:，则，则，则，则在保守力场中，与保守力相关的势能增量等于保守力所作功的负值。在保守力场中，与保守力相关的势能增量等于保守力所作功的负值。在保守力场中，与保守力相关的势能增量等于保守力所作功的负值。在保守力场中，与保守力相关的势能增量等于保守力所作功的负值。理学院 物理系 陈强质质质质点点点点在在在在任任任任一一一一位位位位置置置置时时时时的的的的势势势势能能能能等等等等于于于于质质质质点点点点从从从从该该该该位位位位置置置

56、置经经经经任任任任意意意意路路路路径径径径移移移移动动动动到到到到势能零点时保守力所作的功。势能零点时保守力所作的功。势能零点时保守力所作的功。势能零点时保守力所作的功。uu 势能的讨论势能的讨论势能的讨论势能的讨论l l只有在保守力的情况下才能引入势能的概念；对于非保守只有在保守力的情况下才能引入势能的概念；对于非保守只有在保守力的情况下才能引入势能的概念；对于非保守只有在保守力的情况下才能引入势能的概念；对于非保守力，不存在势能的概念。力，不存在势能的概念。力，不存在势能的概念。力，不存在势能的概念。l l要确定保守力场中某一点势能，必须首先选定势能零点。要确定保守力场中某一点势能，必须首

57、先选定势能零点。要确定保守力场中某一点势能，必须首先选定势能零点。要确定保守力场中某一点势能，必须首先选定势能零点。保守场中质点在任一位置时的势能计算公式为保守场中质点在任一位置时的势能计算公式为保守场中质点在任一位置时的势能计算公式为保守场中质点在任一位置时的势能计算公式为l l 势能为系统所有；势能为系统所有；势能为系统所有；势能为系统所有；l l 势能的数值只有相对意义，但势能之差有绝对意义（势能的数值只有相对意义，但势能之差有绝对意义（势能的数值只有相对意义，但势能之差有绝对意义（势能的数值只有相对意义，但势能之差有绝对意义（势能势能势能势能 的增量与势能零点的选择无关的增量与势能零点

58、的选择无关的增量与势能零点的选择无关的增量与势能零点的选择无关）; ;l l 保守力的功与势能的关系保守力的功与势能的关系保守力的功与势能的关系保守力的功与势能的关系: :从场的观点来看，势能属于保守力场。从场的观点来看，势能属于保守力场。从场的观点来看，势能属于保守力场。从场的观点来看，势能属于保守力场。理学院 物理系 陈强重力势能重力势能重力势能重力势能uu 力学中常见势能的表达式力学中常见势能的表达式力学中常见势能的表达式力学中常见势能的表达式万有引力势能万有引力势能万有引力势能万有引力势能取无穷远处为引力势能零点取无穷远处为引力势能零点取无穷远处为引力势能零点取无穷远处为引力势能零点（

59、即（即（即（即r r = = 处）处）处）处）弹性势能弹性势能弹性势能弹性势能 取地面为重力势能零点取地面为重力势能零点取地面为重力势能零点取地面为重力势能零点（即（即（即（即y y = 0= 0处）处）处）处）取弹簧自然长度时的端点为取弹簧自然长度时的端点为取弹簧自然长度时的端点为取弹簧自然长度时的端点为弹性势能零点（即弹性势能零点（即弹性势能零点（即弹性势能零点（即x x = 0= 0处）处）处）处）保保保保守守守守力力力力在在在在某某某某一一一一过过过过程程程程所所所所作作作作的的的的功功功功等等等等于于于于该该该该过过过过程程程程的的的的始始始始末末末末两两两两个个个个状状状状态态态态

60、势势势势能增量的负值。能增量的负值。能增量的负值。能增量的负值。理学院 物理系 陈强比较比较比较比较(1)(1)(1)(1)和和和和(2)(2)(2)(2)式式式式直角坐标系中，直角坐标系中，直角坐标系中，直角坐标系中，d dE Ep p的的的的全微分全微分全微分全微分uu 保守力与势能的关系保守力与势能的关系保守力与势能的关系保守力与势能的关系分量式分量式分量式分量式：理学院 物理系 陈强 uu 势能曲线势能曲线势能曲线势能曲线势能曲线的主要特性势能曲线的主要特性势能曲线的主要特性势能曲线的主要特性(1) (1) 由势能曲线求保守力由势能曲线求保守力由势能曲线求保守力由势能曲线求保守力(2)

61、 (2) 确定质点的运动范围确定质点的运动范围确定质点的运动范围确定质点的运动范围(3) (3) 确定平衡位置，判断平确定平衡位置，判断平确定平衡位置，判断平确定平衡位置，判断平衡的稳定性。衡的稳定性。衡的稳定性。衡的稳定性。不稳定平衡不稳定平衡稳定平衡稳定平衡理学院 物理系 陈强有一双原子分子由有一双原子分子由A、B两原子组成，设两原子组成，设A原子位于坐标原点，原子位于坐标原点，B原子与原子与A原子的间距为原子的间距为x，这两原子之间的作用力为分子力，这两原子之间的作用力为分子力（分子力是保守力，可用势能来描述分子力是保守力，可用势能来描述），且这两原子相互作用的），且这两原子相互作用的势

62、能函数可以表示为势能函数可以表示为式中式中a和和b为正常数，为正常数，x以以m为单位，势能为单位，势能Ep(x)以以J为单位。为单位。(1) 势能势能 Ep(x) = 0 时，时，x = ? (2) 原子间的相互作用力和平衡位置。原子间的相互作用力和平衡位置。例例解解求求(1) 由由 解得解得 当当x 时，上述方程也能成立时，上述方程也能成立则则 x 也是一个解。也是一个解。理学院 物理系 陈强(2) 保守力等于相关势能梯度的负值，即保守力等于相关势能梯度的负值，即 平衡位置，平衡位置，Fx = 0由由解得解得 （舍去）（舍去） （平衡位置）（平衡位置）理学院 物理系 陈强1.1.1.1.功能

63、原理功能原理功能原理功能原理2.3.4 2.3.4 功能原理与机械能守恒定律功能原理与机械能守恒定律功能原理与机械能守恒定律功能原理与机械能守恒定律由系统的动能定理有由系统的动能定理有由系统的动能定理有由系统的动能定理有( ( ( (功能原理功能原理功能原理功能原理) ) ) )作用于质点系内各质点上的所有外力和非保守内力在某一作用于质点系内各质点上的所有外力和非保守内力在某一作用于质点系内各质点上的所有外力和非保守内力在某一作用于质点系内各质点上的所有外力和非保守内力在某一过程中作功的总和，等于质点系机械能的增量。过程中作功的总和，等于质点系机械能的增量。过程中作功的总和，等于质点系机械能的

64、增量。过程中作功的总和，等于质点系机械能的增量。理学院 物理系 陈强系统的功能原理系统的功能原理系统的功能原理系统的功能原理当当当当2. 2. 机械能守恒定律机械能守恒定律机械能守恒定律机械能守恒定律( ( ( (质点系的机械能守恒定律质点系的机械能守恒定律质点系的机械能守恒定律质点系的机械能守恒定律) ) ) )uu 普遍的能量守恒定律普遍的能量守恒定律普遍的能量守恒定律普遍的能量守恒定律则则则则如果系统中只有保守内力作功，而其它内力和外力都不作如果系统中只有保守内力作功，而其它内力和外力都不作如果系统中只有保守内力作功，而其它内力和外力都不作如果系统中只有保守内力作功，而其它内力和外力都不

65、作功，或作功的总和始终为零，则系统总机械能保持不变。功，或作功的总和始终为零，则系统总机械能保持不变。功，或作功的总和始终为零，则系统总机械能保持不变。功，或作功的总和始终为零，则系统总机械能保持不变。在一个孤立系统（在一个孤立系统（在一个孤立系统（在一个孤立系统（即不受外界作用的系统即不受外界作用的系统即不受外界作用的系统即不受外界作用的系统）内，能量可以有一）内，能量可以有一）内，能量可以有一）内，能量可以有一种形式转换为另一种形式，但系统的总能量保持不变。种形式转换为另一种形式，但系统的总能量保持不变。种形式转换为另一种形式，但系统的总能量保持不变。种形式转换为另一种形式，但系统的总能量

66、保持不变。理学院 物理系 陈强(1) 选取研究对象。选取研究对象。& 应用功能原理或机械能守恒定律解题步骤应用功能原理或机械能守恒定律解题步骤(2) 分析受力和守恒条件。分析受力和守恒条件。 (3) 明确过程的始、末状态。明确过程的始、末状态。 需要选定势能的零势能位置。需要选定势能的零势能位置。 判断是否满足机械能守恒条件，如不满足，则应用功能判断是否满足机械能守恒条件，如不满足，则应用功能原理求解。原理求解。(4) 列方程。列方程。(5) 解方程，求出结果。解方程，求出结果。(6) 讨论解的物理意义。讨论解的物理意义。理学院 物理系 陈强如图，放在倾角为如图，放在倾角为 的斜面上的质量为的

67、斜面上的质量为m的木块，由静止自的木块，由静止自由下滑，与劲度系数为由下滑，与劲度系数为k的轻弹簧发生碰撞，木块将弹簧最的轻弹簧发生碰撞，木块将弹簧最大压缩了大压缩了x m。设木块与斜面之间的摩擦系数为。设木块与斜面之间的摩擦系数为 。例例解解求求受力如图，设碰撞时及压缩最大时木块高度分别为受力如图，设碰撞时及压缩最大时木块高度分别为受力如图，设碰撞时及压缩最大时木块高度分别为受力如图，设碰撞时及压缩最大时木块高度分别为h h1 1、h h2 2开始碰撞时木块速率开始碰撞时木块速率v为多大为多大? ?选水平面为重力势能零选水平面为重力势能零选水平面为重力势能零选水平面为重力势能零点、选弹簧的自

68、然长度点、选弹簧的自然长度点、选弹簧的自然长度点、选弹簧的自然长度端为弹性势能零点端为弹性势能零点端为弹性势能零点端为弹性势能零点则则则则理学院 物理系 陈强 质量为质量为m的滑块置于粗糙水平桌面上，并系于橡皮绳的一端，的滑块置于粗糙水平桌面上，并系于橡皮绳的一端，橡皮绳的另一端系于墙上。橡皮绳原长为橡皮绳的另一端系于墙上。橡皮绳原长为a，处于拉伸状态的，处于拉伸状态的橡皮绳相当于劲度系数为橡皮绳相当于劲度系数为k的弹簧。滑块与桌面的摩擦系数为的弹簧。滑块与桌面的摩擦系数为 。现将滑块向右拉伸至橡皮绳长为。现将滑块向右拉伸至橡皮绳长为b后再由静止释放。后再由静止释放。取坐标系如图取坐标系如图滑

69、块撞击墙时的速度多大？滑块撞击墙时的速度多大？ 例例解解求求设滑块撞墙时的速度为设滑块撞墙时的速度为v受力分析受力分析对全过程应用动能定理对全过程应用动能定理方法方法1 1： 由此解得由此解得 理学院 物理系 陈强对滑块运动的全过程应用功能原理，取橡皮绳自然长对滑块运动的全过程应用功能原理，取橡皮绳自然长度的度的a点为势能零点。点为势能零点。由此解得由此解得在功能原理中，以势能增量的负值来代替弹性力的功，在功能原理中，以势能增量的负值来代替弹性力的功，可以避免繁杂的积分运算，使求解过程大为简化。可以避免繁杂的积分运算，使求解过程大为简化。方法方法2 2： 则有则有 理学院 物理系 陈强(1)

70、卫星的动能和机械能。卫星的动能和机械能。(2) 如要使卫星脱离地球引力范围，这颗卫星在地面最小的如要使卫星脱离地球引力范围，这颗卫星在地面最小的 发射速度。发射速度。一质量为一质量为m的人造地球卫星，沿半径为的人造地球卫星，沿半径为r的圆轨道绕地球运行。的圆轨道绕地球运行。(1) 以卫星和地球组成的系统为研究对象以卫星和地球组成的系统为研究对象例例解解求求设地球质量为设地球质量为mE , ,卫星的动能为卫星的动能为 ( (无穷远处为万有引力势能零点无穷远处为万有引力势能零点) )则有则有则卫星的势能为则卫星的势能为卫星的机械能为卫星的机械能为理学院 物理系 陈强(2) 以卫星和地球为系统，系统

71、机械能守恒以卫星和地球为系统，系统机械能守恒脱离地球引力时，相当于卫星距地球无穷远处，脱离地球引力时，相当于卫星距地球无穷远处，此时引力势能为零，取此时卫星速度为零。此时引力势能为零，取此时卫星速度为零。卫星在地面发射时的势能为卫星在地面发射时的势能为设为脱离地球引力卫星在地面附近发射的最小速度为设为脱离地球引力卫星在地面附近发射的最小速度为v0则有则有由此解出由此解出 理学院 物理系 陈强一质量为一质量为一质量为一质量为mm的物体，从静止开始在距地面的物体，从静止开始在距地面的物体，从静止开始在距地面的物体，从静止开始在距地面R R处自由下落。处自由下落。处自由下落。处自由下落。只有保守力作

72、功，系统机械能守恒，则只有保守力作功，系统机械能守恒，则只有保守力作功，系统机械能守恒，则只有保守力作功，系统机械能守恒，则建立以建立以建立以建立以O O点为原点的坐标系点为原点的坐标系点为原点的坐标系点为原点的坐标系设无穷远处为万有引力势能零点，则设无穷远处为万有引力势能零点，则设无穷远处为万有引力势能零点，则设无穷远处为万有引力势能零点，则物体到达地球表面时的速度。设地球半径为物体到达地球表面时的速度。设地球半径为物体到达地球表面时的速度。设地球半径为物体到达地球表面时的速度。设地球半径为R R。例例解解求求理学院 物理系 陈强2.4 动量定理与动量守恒定律动量定理与动量守恒定律主要内容：

73、主要内容：1. 动量与冲量动量与冲量2. 质点的动量定理质点的动量定理4. 动量守恒定律动量守恒定律3. 质点系的动量定理质点系的动量定理理学院 物理系 陈强 冲量冲量冲量冲量 的的的的方向是元冲量的矢量和（方向是元冲量的矢量和（方向是元冲量的矢量和（方向是元冲量的矢量和（ ）的方向。）的方向。）的方向。）的方向。 元冲量：元冲量：元冲量：元冲量：由牛顿第二定律由牛顿第二定律由牛顿第二定律由牛顿第二定律有有有有力在力在力在力在t t1 1到到到到t t2 2时间内的冲量为时间内的冲量为时间内的冲量为时间内的冲量为2.4.1 2.4.1 冲量与动量冲量与动量冲量与动量冲量与动量 （反映力对时间的

74、累积效应）（反映力对时间的累积效应）（反映力对时间的累积效应）（反映力对时间的累积效应）冲量：冲量：冲量：冲量：作用力与作用时间的乘积。作用力与作用时间的乘积。作用力与作用时间的乘积。作用力与作用时间的乘积。1. 1. 冲量冲量冲量冲量 是随时间而变的，但是随时间而变的，但dt时间内，可认为时间内，可认为 恒定不变。恒定不变。理学院 物理系 陈强质点的运动状态质点的运动状态质点的运动状态质点的运动状态2. 2. 动量动量动量动量牛顿运动定律牛顿运动定律牛顿运动定律牛顿运动定律l l 动量的分量式为动量的分量式为动量的分量式为动量的分量式为（状态量）（状态量）（状态量）（状态量）动量：动量：动量

75、：动量：l l 动量是矢量，方向为速度方向。动量是矢量，方向为速度方向。动量是矢量，方向为速度方向。动量是矢量，方向为速度方向。l l 动量与动能数量上的关系为动量与动能数量上的关系为动量与动能数量上的关系为动量与动能数量上的关系为运动质点的质量与其速度的乘积运动质点的质量与其速度的乘积运动质点的质量与其速度的乘积运动质点的质量与其速度的乘积。理学院 物理系 陈强3. 3. 质点的动量定理质点的动量定理质点的动量定理质点的动量定理( ( ( (动量定理微分形式动量定理微分形式动量定理微分形式动量定理微分形式) ) ) )( ( ( (动量定理动量定理动量定理动量定理积分形式积分形式积分形式积分

76、形式) ) ) )作用在质点上的合力在某一时间内的冲量等于质点在作用在质点上的合力在某一时间内的冲量等于质点在作用在质点上的合力在某一时间内的冲量等于质点在作用在质点上的合力在某一时间内的冲量等于质点在同一时间内动量的增量。同一时间内动量的增量。同一时间内动量的增量。同一时间内动量的增量。牛顿运动定律牛顿运动定律牛顿运动定律牛顿运动定律 讨论讨论讨论讨论l l 由动量定理可知，作用在质点上的合力的冲量由质点的始由动量定理可知，作用在质点上的合力的冲量由质点的始由动量定理可知，作用在质点上的合力的冲量由质点的始由动量定理可知，作用在质点上的合力的冲量由质点的始 末状态决定而与中间过程无关。因此，

77、末状态决定而与中间过程无关。因此，末状态决定而与中间过程无关。因此，末状态决定而与中间过程无关。因此，动量定理对打击、动量定理对打击、动量定理对打击、动量定理对打击、 碰撞等问题特别有效碰撞等问题特别有效碰撞等问题特别有效碰撞等问题特别有效。理学院 物理系 陈强l l 一般情况下，要利用动量和冲量在坐标系中的分量式进行一般情况下，要利用动量和冲量在坐标系中的分量式进行一般情况下，要利用动量和冲量在坐标系中的分量式进行一般情况下，要利用动量和冲量在坐标系中的分量式进行 动量定理的计算。动量定理的计算。动量定理的计算。动量定理的计算。直角坐标系直角坐标系直角坐标系直角坐标系中动量定理中动量定理中动

78、量定理中动量定理的分量形式的分量形式的分量形式的分量形式冲量的分冲量的分冲量的分冲量的分量只改变量只改变量只改变量只改变自己方向自己方向自己方向自己方向上的动量上的动量上的动量上的动量l l 在碰撞、冲击等问题中，力的作在碰撞、冲击等问题中，力的作在碰撞、冲击等问题中，力的作在碰撞、冲击等问题中，力的作 用时间很短，且力的变化又复杂用时间很短，且力的变化又复杂用时间很短，且力的变化又复杂用时间很短，且力的变化又复杂 时，常引入时，常引入时，常引入时，常引入平均冲力平均冲力平均冲力平均冲力 理学院 物理系 陈强一质量为一质量为一质量为一质量为mm =1000kg =1000kg的蒸汽锤从高度为的

79、蒸汽锤从高度为的蒸汽锤从高度为的蒸汽锤从高度为h h =1.5m=1.5m的地方由静止的地方由静止的地方由静止的地方由静止下落，锤与被加工的工件的碰撞时间为下落，锤与被加工的工件的碰撞时间为下落，锤与被加工的工件的碰撞时间为下落，锤与被加工的工件的碰撞时间为 t t =0.01s =0.01s，且锤与工，且锤与工，且锤与工，且锤与工件碰撞后的末速度为零。件碰撞后的末速度为零。件碰撞后的末速度为零。件碰撞后的末速度为零。建立如图所示坐标，建立如图所示坐标，建立如图所示坐标，建立如图所示坐标，蒸汽锤对工件的平均冲击力。蒸汽锤对工件的平均冲击力。蒸汽锤对工件的平均冲击力。蒸汽锤对工件的平均冲击力。例

80、例解解求求受力分析如图，受力分析如图，受力分析如图，受力分析如图，设平均冲击力为设平均冲击力为设平均冲击力为设平均冲击力为锤撞击工件的初速为锤撞击工件的初速为锤撞击工件的初速为锤撞击工件的初速为则由动量定理得则由动量定理得则由动量定理得则由动量定理得l l 时间短而冲力大，重力等往往可以忽略。时间短而冲力大，重力等往往可以忽略。时间短而冲力大，重力等往往可以忽略。时间短而冲力大，重力等往往可以忽略。 工件工件工件工件理学院 物理系 陈强一质点受合力作用，合力为一质点受合力作用，合力为一质点受合力作用，合力为一质点受合力作用，合力为质点从静止开始在质点从静止开始在质点从静止开始在质点从静止开始在

81、2s2s内所受合力的冲量和质点在内所受合力的冲量和质点在内所受合力的冲量和质点在内所受合力的冲量和质点在2s2s末的动量。末的动量。末的动量。末的动量。例例解解求求根据动量定理根据动量定理根据动量定理根据动量定理2s2s末的动量末的动量末的动量末的动量大小大小大小大小由冲量的定义有由冲量的定义有由冲量的定义有由冲量的定义有理学院 物理系 陈强 从从 秒到秒到2秒这段时间内质点所受到的合力的冲量。秒这段时间内质点所受到的合力的冲量。如图所示，一质量为如图所示，一质量为m = 1kg的质点，沿半径为的质点，沿半径为R = 2m的圆的圆周运动。取周运动。取O点为自然坐标的原点，质点在自然坐标中的运点

82、为自然坐标的原点，质点在自然坐标中的运动方程为动方程为 ( (SI) )。由质点的运动方程可知由质点的运动方程可知例例解解求求质点位于质点位于O点点质点位于质点位于P点点质点位于质点位于Q点点质点的运动速率为质点的运动速率为时，质点的速率和动量分别为时，质点的速率和动量分别为 ( (方向如图所示方向如图所示) ) 理学院 物理系 陈强 t1到到t2时间内质点所受合力的冲量为时间内质点所受合力的冲量为 时，质点的速率和动量分别为时，质点的速率和动量分别为 (方向如图所示方向如图所示 )由图示动量合成三角形可知由图示动量合成三角形可知冲量的方向可用冲量的方向可用 角来表示角来表示理学院 物理系 陈

83、强将一根质量为将一根质量为m、长度为、长度为L的均质柔绳竖直地悬挂起来，使的均质柔绳竖直地悬挂起来，使其下端恰好与地面接触，如图所示。若将此绳上端由静止其下端恰好与地面接触，如图所示。若将此绳上端由静止状态释放，让其自由下落到地面上。状态释放，让其自由下落到地面上。当绳子下落当绳子下落l长度时，地面对绳的作用力。长度时，地面对绳的作用力。例例解解求求以地面为坐标原点，沿竖直方向为以地面为坐标原点，沿竖直方向为y轴。轴。在在dt 时间内，时间内，dy = v dt 的一小段绳子的一小段绳子继续落地。以继续落地。以dy 绳子为研究对象，则绳子为研究对象，则其质量为其质量为 当绳子下落当绳子下落l长

84、度时，未落地部分的长度时，未落地部分的绳子的速率为绳子的速率为( (方向向下方向向下) )理学院 物理系 陈强dy这一小段绳子受力为：地面的平均冲力这一小段绳子受力为：地面的平均冲力 和重力和重力 忽略重力，则对忽略重力，则对dy应用动量定理，有应用动量定理，有 代入代入v 的表达式的表达式dy对地面的作用力为对地面的作用力为已落到了地面上已落到了地面上l长度的绳子对地面的正压力为长度的绳子对地面的正压力为地面受到总作用力为地面受到总作用力为理学院 物理系 陈强 2.4.3 2.4.3 质点系的动量定理质点系的动量定理质点系的动量定理质点系的动量定理内力：内力：内力：内力：外力：外力：外力：外

85、力：对质点系中的各质点对质点系中的各质点对质点系中的各质点对质点系中的各质点应用动量定理应用动量定理应用动量定理应用动量定理t1 时刻时刻, ,两质点的速度分别为两质点的速度分别为t2 时刻时刻, ,两质点的速度分别为两质点的速度分别为对质点对质点对质点对质点1 1 1 1，有，有，有，有对质点对质点对质点对质点2 2 2 2，有，有，有，有两式相加，得两式相加，得两式相加，得两式相加，得理学院 物理系 陈强其中其中其中其中推广到推广到推广到推广到n n个质点的质点系，有个质点的质点系，有个质点的质点系，有个质点的质点系，有或或或或系统所受合外力的冲量等于质点系总动量的增量系统所受合外力的冲量

86、等于质点系总动量的增量系统所受合外力的冲量等于质点系总动量的增量系统所受合外力的冲量等于质点系总动量的增量( (质点系动量定理质点系动量定理质点系动量定理质点系动量定理) ) 说明说明说明说明l l 注意其分量式注意其分量式注意其分量式注意其分量式l l 内力的作用不改变系统的动量，但通常会改变系统的动能。内力的作用不改变系统的动量，但通常会改变系统的动能。内力的作用不改变系统的动量，但通常会改变系统的动能。内力的作用不改变系统的动量，但通常会改变系统的动能。理学院 物理系 陈强根据系统的动量定理可知：根据系统的动量定理可知：根据系统的动量定理可知：根据系统的动量定理可知： 2.4.4 2.4

87、.4 动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律当合外力当合外力当合外力当合外力则则则则质点系所受合外力为零时，质点系的总动量保持不变。质点系所受合外力为零时，质点系的总动量保持不变。质点系所受合外力为零时，质点系的总动量保持不变。质点系所受合外力为零时，质点系的总动量保持不变。( ( ( (质点系的动量守恒定律质点系的动量守恒定律质点系的动量守恒定律质点系的动量守恒定律) ) ) ) 讨论讨论讨论讨论l l 若系统的合外力不为零，但可能合外力在某一方向的分量若系统的合外力不为零，但可能合外力在某一方向的分量若系统的合外力不为零，但可能合外力在某一方向的分量若系统的合外力不为零，但可能合

88、外力在某一方向的分量 等于零，则该方向的总动量守恒。等于零，则该方向的总动量守恒。等于零，则该方向的总动量守恒。等于零，则该方向的总动量守恒。( ( ( (动量守恒定律在直动量守恒定律在直动量守恒定律在直动量守恒定律在直 角坐标系中的分量式角坐标系中的分量式角坐标系中的分量式角坐标系中的分量式) ) ) )= = 常量常量常量常量当当当当= = 常量常量常量常量当当当当= = 常量常量常量常量当当当当理学院 物理系 陈强l l 系统的总动量守恒并不意味着系统内各个质点的动量不系统的总动量守恒并不意味着系统内各个质点的动量不系统的总动量守恒并不意味着系统内各个质点的动量不系统的总动量守恒并不意味

89、着系统内各个质点的动量不 变，而是指系统动量总和不变；变，而是指系统动量总和不变；变，而是指系统动量总和不变；变，而是指系统动量总和不变；l l 内力的作用：内力不改变系统的总动量，但可以改变系统内力的作用：内力不改变系统的总动量，但可以改变系统内力的作用：内力不改变系统的总动量，但可以改变系统内力的作用：内力不改变系统的总动量，但可以改变系统 中各质点的动量，使系统的总动量在系统各质点间的分配中各质点的动量，使系统的总动量在系统各质点间的分配中各质点的动量，使系统的总动量在系统各质点间的分配中各质点的动量，使系统的总动量在系统各质点间的分配 发生变化；发生变化；发生变化；发生变化；l l 动

90、量守恒定律是自然界的普遍定律之一，对于宏观物体和动量守恒定律是自然界的普遍定律之一，对于宏观物体和动量守恒定律是自然界的普遍定律之一，对于宏观物体和动量守恒定律是自然界的普遍定律之一，对于宏观物体和 微观粒子都适用。微观粒子都适用。微观粒子都适用。微观粒子都适用。理学院 物理系 陈强 一装沙车以速率一装沙车以速率一装沙车以速率一装沙车以速率v v = 3m/s= 3m/s从沙斗下通过，每秒钟落入车厢的从沙斗下通过，每秒钟落入车厢的从沙斗下通过，每秒钟落入车厢的从沙斗下通过，每秒钟落入车厢的沙为沙为沙为沙为 m m = 500kg= 500kg，如果使车厢的速率保持不变，应用多大的如果使车厢的速

91、率保持不变，应用多大的如果使车厢的速率保持不变，应用多大的如果使车厢的速率保持不变，应用多大的牵引力？牵引力？牵引力？牵引力？( ( ( (设车与轨道的摩擦不计设车与轨道的摩擦不计设车与轨道的摩擦不计设车与轨道的摩擦不计) ) ) )设设设设t t时时时时刻刻刻刻已已已已落落落落入入入入车车车车厢厢厢厢沙沙沙沙子子子子的的的的质质质质量量量量与与与与沙沙沙沙车车车车的的的的质质质质量量量量之之之之和和和和为为为为mm，d dt t时时时时间间间间内内内内即将落入的沙子质量为即将落入的沙子质量为即将落入的沙子质量为即将落入的沙子质量为d dmm。以以以以mm和和和和d dmm为研究系统为研究系统

92、为研究系统为研究系统t + t + d dt t时刻的动量为时刻的动量为时刻的动量为时刻的动量为t t时刻水平总动量为时刻水平总动量为时刻水平总动量为时刻水平总动量为动量的增量为动量的增量为动量的增量为动量的增量为例例解解根据动量定理根据动量定理根据动量定理根据动量定理理学院 物理系 陈强 水力采煤、墙面清洗等过程用的高压水枪，以水力采煤、墙面清洗等过程用的高压水枪，以v0 = 30m/s的的速率向墙垂直喷出截面积速率向墙垂直喷出截面积S = 310-4m2的水柱，如图所示。的水柱，如图所示。与墙冲击后，水滴向四周均匀飞溅形成一个半顶角与墙冲击后，水滴向四周均匀飞溅形成一个半顶角 = p p/

93、3的的圆锥面，飞溅速率圆锥面，飞溅速率v = 4m/s。以以 t时间内喷向墙面的水柱中的水为研究对象。时间内喷向墙面的水柱中的水为研究对象。水柱对墙面的冲击力。水柱对墙面的冲击力。例例解解求求设其质量为设其质量为m，在图示的直角坐标系中，墙面，在图示的直角坐标系中，墙面对其沿对其沿x轴方向的作用力为轴方向的作用力为Fx沿沿x轴方向应用动量定理的分量式，有轴方向应用动量定理的分量式，有理学院 物理系 陈强墙对水柱的净作用力沿轴方向，即垂直于墙面。墙对水柱的净作用力沿轴方向，即垂直于墙面。根据牛顿第三定律，水柱给墙面的平均冲击力为根据牛顿第三定律，水柱给墙面的平均冲击力为 将已知参数代入上式，得将

94、已知参数代入上式，得方向沿方向沿x轴负向。轴负向。理学院 物理系 陈强 一个有一个有一个有一个有1/41/4圆弧滑槽、半径为圆弧滑槽、半径为圆弧滑槽、半径为圆弧滑槽、半径为R R的大物体质量为的大物体质量为的大物体质量为的大物体质量为mm1 1，停在光滑，停在光滑，停在光滑，停在光滑的水平面上，另一质量为的水平面上，另一质量为的水平面上，另一质量为的水平面上，另一质量为mm2 2的小物体从圆弧的小物体从圆弧的小物体从圆弧的小物体从圆弧滑槽滑槽滑槽滑槽顶点由静止顶点由静止顶点由静止顶点由静止下滑。下滑。下滑。下滑。取如图所示坐标系取如图所示坐标系取如图所示坐标系取如图所示坐标系取取取取mm1 1

95、和和和和mm2 2为一系统为一系统为一系统为一系统设设设设 和和和和 为下滑过程中为下滑过程中为下滑过程中为下滑过程中mm1 1和和和和mm2 2相对于地面的速度相对于地面的速度相对于地面的速度相对于地面的速度当小物体当小物体当小物体当小物体mm2 2滑到底时，大物体滑到底时，大物体滑到底时，大物体滑到底时，大物体mm1 1在水平面上移动的距离。在水平面上移动的距离。在水平面上移动的距离。在水平面上移动的距离。例例解解求求水平方向系统动量守恒水平方向系统动量守恒水平方向系统动量守恒水平方向系统动量守恒设设设设t t = 0 = 0时时时时mm2 2在圆弧顶点在圆弧顶点在圆弧顶点在圆弧顶点, ,

96、 , ,t t 时刻滑到最低点时刻滑到最低点时刻滑到最低点时刻滑到最低点, , , ,对上式积分对上式积分对上式积分对上式积分, , , ,有有有有理学院 物理系 陈强设设设设s s1 1和和和和s s2 2分别表示分别表示分别表示分别表示mm1 1和和和和mm2 2在水平在水平在水平在水平方向移动的距离，则有方向移动的距离，则有方向移动的距离，则有方向移动的距离，则有则则则则由伽利略速度变换式由伽利略速度变换式由伽利略速度变换式由伽利略速度变换式式式式式(1)(1)(1)(1)和和和和(2)(2)(2)(2)式联立，有式联立，有式联立，有式联立，有又有又有又有又有即即即即思考：思考：思考：思

97、考：此距离值与弧形槽面是否光滑有关？此距离值与弧形槽面是否光滑有关？此距离值与弧形槽面是否光滑有关？此距离值与弧形槽面是否光滑有关？理学院 物理系 陈强火箭是一种自带燃料和助燃剂的太火箭是一种自带燃料和助燃剂的太空飞行器，它依靠燃料燃烧喷出的空飞行器，它依靠燃料燃烧喷出的气体所产生的反冲推力向前推进。气体所产生的反冲推力向前推进。设不计地球引力和空气阻力。设不计地球引力和空气阻力。例例解解则在时间则在时间dt内，系统动量的增量为内，系统动量的增量为 略去二阶无穷小，则有略去二阶无穷小，则有 求求火箭所能达到的最大速度。火箭所能达到的最大速度。设各量如图。图中设各量如图。图中dm 0，且，且 三

98、个速度均为相三个速度均为相对于地面参考系的速度。对于地面参考系的速度。理学院 物理系 陈强设喷气出口的相对速度为设喷气出口的相对速度为 ，即即 则系统动量的增量可表示为则系统动量的增量可表示为不计地球引力和空气阻力，火箭系不计地球引力和空气阻力，火箭系统的动量守恒，即统的动量守恒，即 取竖直向上作为取竖直向上作为x轴的正方向，则轴的正方向，则设火箭发射时的质量为设火箭发射时的质量为mi，初速度为，初速度为vi，燃料耗尽时的质量，燃料耗尽时的质量为为mf，末速度为，末速度为vf。通常喷气出口速度通常喷气出口速度vr为常量，积分得为常量，积分得理学院 物理系 陈强(1) 选取研究对象。选取研究对象

99、。& 应用动量定理和动量守恒定律解题步骤应用动量定理和动量守恒定律解题步骤(2) 分析受力。分析受力。(3) 确定过程。确定过程。(4) 列方程求解。列方程求解。 要选取适当的坐标系，一般要列出动量定理或动量守恒定要选取适当的坐标系，一般要列出动量定理或动量守恒定律方程的分量式。律方程的分量式。需要考虑一定的时间间隔或一个过程。需要考虑一定的时间间隔或一个过程。 判断是否满足合外力为零，或是否沿某一方向合外力投判断是否满足合外力为零，或是否沿某一方向合外力投影的代数和为零，或是否合外力远小于内力？若满足这类条影的代数和为零，或是否合外力远小于内力？若满足这类条件，就应用动量守恒定律求解，否则就

100、应用动量定理求解。件，就应用动量守恒定律求解，否则就应用动量定理求解。理学院 物理系 陈强2.5 质心运动定理质心运动定理主要内容：主要内容：1. 质心质心2. 质心运动定理质心运动定理理学院 物理系 陈强 各质点的质量、位矢各质点的质量、位矢和速度分别为和速度分别为 2.5.1 2.5.1 质心质心质心质心u 质心的定义质心的定义设质点系如图，设质点系如图，质点系的动量质点系的动量质点系的动量质点系的动量质点系的总质量质点系的总质量质点系的总质量质点系的总质量理学院 物理系 陈强 设想质点系的全部质量和动量都集设想质点系的全部质量和动量都集设想质点系的全部质量和动量都集设想质点系的全部质量和

101、动量都集中在一个点中在一个点中在一个点中在一个点C C 上，即任意时刻该点上，即任意时刻该点上，即任意时刻该点上，即任意时刻该点的动量都等于质点系的动量，这个的动量都等于质点系的动量，这个的动量都等于质点系的动量，这个的动量都等于质点系的动量，这个点点点点C C就是质点系的就是质点系的就是质点系的就是质点系的质心质心质心质心。设质心的位矢为设质心的位矢为设质心的位矢为设质心的位矢为 ，速度为，速度为，速度为，速度为 且且且且 质心的动量质心的动量质心的动量质心的动量质心的位矢质心的位矢质心的位矢质心的位矢理学院 物理系 陈强 直角坐标系中质心的位置坐标直角坐标系中质心的位置坐标直角坐标系中质心

102、的位置坐标直角坐标系中质心的位置坐标质量为质量为质量为质量为mm的离散分的离散分的离散分的离散分布质点系的质心布质点系的质心布质点系的质心布质点系的质心 u 质心位置的计算质心位置的计算质量为质量为质量为质量为mm的连续分布体的质心的连续分布体的质心的连续分布体的质心的连续分布体的质心 理学院 物理系 陈强 2.5.2 2.5.2 质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心的动量质心的动量质心的动量质心的动量（质心的动量等于质点系的总动量）（质心的动量等于质点系的总动量）（质心的动量等于质点系的总动量）（质心的动量等于质点系的总动量）质心的加速度质心的加速度质心的加速度质心的加速度质

103、心的位矢质心的位矢质心的位矢质心的位矢质心的速度质心的速度质心的速度质心的速度由由由由质点系动量定理，有质点系动量定理，有质点系动量定理，有质点系动量定理，有（质心运动定理）（质心运动定理）（质心运动定理）（质心运动定理）质点系的质量与其质心加速度的乘积等于该质点质点系的质量与其质心加速度的乘积等于该质点质点系的质量与其质心加速度的乘积等于该质点质点系的质量与其质心加速度的乘积等于该质点系所受到的合外力。系所受到的合外力。系所受到的合外力。系所受到的合外力。理学院 物理系 陈强 讨论讨论讨论讨论l l 质量均匀分布的对称体系，其质心就在它的几何对称中质量均匀分布的对称体系，其质心就在它的几何对

104、称中质量均匀分布的对称体系，其质心就在它的几何对称中质量均匀分布的对称体系，其质心就在它的几何对称中 心上；心上；心上；心上；l l 重心是物体上各部分所受重力合力的作用点。当物体的体重心是物体上各部分所受重力合力的作用点。当物体的体重心是物体上各部分所受重力合力的作用点。当物体的体重心是物体上各部分所受重力合力的作用点。当物体的体 积远小于地球的体积时，物体的质心与重心的位置重合；积远小于地球的体积时，物体的质心与重心的位置重合；积远小于地球的体积时，物体的质心与重心的位置重合；积远小于地球的体积时，物体的质心与重心的位置重合；l l 质心的运动在一定程度上反映了质点系整体运动的特征；质心的

105、运动在一定程度上反映了质点系整体运动的特征；质心的运动在一定程度上反映了质点系整体运动的特征；质心的运动在一定程度上反映了质点系整体运动的特征；l l 质心的运动状态完全决定于质点系所受的外力，内力不能质心的运动状态完全决定于质点系所受的外力，内力不能质心的运动状态完全决定于质点系所受的外力，内力不能质心的运动状态完全决定于质点系所受的外力，内力不能 使质心产生加速度；使质心产生加速度；使质心产生加速度；使质心产生加速度；l l 当质点系所受合外力为零时，该质点系的动量守恒；此时，当质点系所受合外力为零时，该质点系的动量守恒；此时，当质点系所受合外力为零时，该质点系的动量守恒；此时，当质点系所

106、受合外力为零时，该质点系的动量守恒；此时， 该质点系的质心速度也将保持不变；该质点系的质心速度也将保持不变；该质点系的质心速度也将保持不变；该质点系的质心速度也将保持不变；l l 当质点系所受合外力在某个方向的分量为零时，质心速度当质点系所受合外力在某个方向的分量为零时，质心速度当质点系所受合外力在某个方向的分量为零时，质心速度当质点系所受合外力在某个方向的分量为零时，质心速度 在该方向上的分量保持不变。在该方向上的分量保持不变。在该方向上的分量保持不变。在该方向上的分量保持不变。理学院 物理系 陈强一质点系由两个质点组成，它们的一质点系由两个质点组成，它们的质量分别为质量分别为m1和和m2。

107、此两质点的位。此两质点的位置坐标为置坐标为（x1，y1）和和（x2，y2），如图所示。如图所示。根据质心的位置坐标式可知根据质心的位置坐标式可知l 可以证明，该质点系的质心可以证明，该质点系的质心C位于两质点的连线上，且质位于两质点的连线上，且质 心到各质点的距离与质点的质量成反比。心到各质点的距离与质点的质量成反比。例例解解求求该质点系的质心。该质点系的质心。由质心的位置可得由质心的位置可得比较此两式还可知比较此两式还可知理学院 物理系 陈强选如图所示的坐标系选如图所示的坐标系由质心的位置坐标式，有由质心的位置坐标式，有而而一段均匀铁丝弯成半圆形，其质量为一段均匀铁丝弯成半圆形，其质量为m，

108、半径为，半径为R。例例解解半圆对半圆对y轴对称，则质心应在轴对称，则质心应在y轴上轴上任取一微元长为任取一微元长为dl，质量为，质量为dm则则则有则有此半圆形铁丝的质心。此半圆形铁丝的质心。 求求理学院 物理系 陈强 一长一长l = 4m，质量，质量m1 = 150kg 的船，静止在湖面上。现有一的船，静止在湖面上。现有一质量质量m2 = 50kg 的人，从船头走到船尾，如图所示。的人，从船头走到船尾，如图所示。人和船相对于湖岸各移动的距离。人和船相对于湖岸各移动的距离。（设水对船的阻力忽略不计）（设水对船的阻力忽略不计）例例解解求求以人和船组成的质点系为研究对象以人和船组成的质点系为研究对象

109、质点系所受外力沿质点系所受外力沿x轴的分量为零轴的分量为零则则常量常量而而常量常量建立坐标系，坐标如图所示。建立坐标系，坐标如图所示。质心位置坐标在人走质心位置坐标在人走动过程中保持不变动过程中保持不变理学院 物理系 陈强在人走之前，人船系统质心的坐标为在人走之前，人船系统质心的坐标为 当人走到船尾时，系统质心的坐标为当人走到船尾时，系统质心的坐标为因为因为船相对于湖岸移动的距离为船相对于湖岸移动的距离为人相对于湖岸移动的距离为人相对于湖岸移动的距离为 理学院 物理系 陈强2.6 对心碰撞对心碰撞主要内容：主要内容：1. 完全弹性碰撞完全弹性碰撞2. 完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞3. 非完全弹

110、性碰撞非完全弹性碰撞理学院 物理系 陈强u 完全弹性碰撞完全弹性碰撞、非完全弹性碰撞非完全弹性碰撞、完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞、恢复系数恢复系数v完全弹性碰撞完全弹性碰撞：碰撞前后碰撞前后，动量守恒，总动，动量守恒，总动能不变。能不变。v非非完完全全弹弹性性碰碰撞撞：碰碰撞撞前前后后，动动量量守守恒恒，总总动动能能有有改改变变（转化为热转化为热、声等能声等能）。）。v完完全全非非弹弹性性碰碰撞撞：碰碰撞撞前前后后，动动量量守守恒恒，总总动动能能有有改改变变，并以共同的速度运动。并以共同的速度运动。碰撞前碰撞前碰撞前碰撞前动量守恒动量守恒动量守恒动量守恒碰撞碰撞碰撞碰撞碰撞后碰撞后碰撞后碰撞后

111、v恢复系数：碰撞后两球的分离速度恢复系数：碰撞后两球的分离速度与碰撞前两球的接近速度的比值。与碰撞前两球的接近速度的比值。理学院 物理系 陈强 2.6.1 完全弹性碰撞完全弹性碰撞 系统动量守恒系统动量守恒系统动量守恒系统动量守恒则则则则可得可得可得可得系统系统系统系统动能守恒动能守恒动能守恒动能守恒理学院 物理系 陈强 讨论讨论讨论讨论l l 完全弹性碰撞时完全弹性碰撞时完全弹性碰撞时完全弹性碰撞时两球交换速度两球交换速度两球交换速度两球交换速度l l 当当当当mm1 1 mm2 2，且，且，且，且v v20 20 = 0= 0时时时时l l 当当当当mm1 1 = = mm2 2时时时时

112、理学院 物理系 陈强 2.6.2 完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞 系统动量守恒，且以共同速度运动，则系统动量守恒，且以共同速度运动，则系统动量守恒，且以共同速度运动，则系统动量守恒，且以共同速度运动，则可得可得可得可得动能损失动能损失动能损失动能损失恢复系数恢复系数理学院 物理系 陈强 2.6.3 非完全弹性碰撞非完全弹性碰撞 系统动量守恒系统动量守恒系统动量守恒系统动量守恒可得可得可得可得动能损失动能损失动能损失动能损失理学院 物理系 陈强 如图冲击摆，质量为如图冲击摆，质量为如图冲击摆，质量为如图冲击摆，质量为mm的木块被悬挂在长度为的木块被悬挂在长度为的木块被悬挂在长度为的木块被悬挂在长度

113、为l l的细绳下端。的细绳下端。的细绳下端。的细绳下端。一质量为一质量为一质量为一质量为mm0 0的子弹沿水平方向以速度的子弹沿水平方向以速度的子弹沿水平方向以速度的子弹沿水平方向以速度v v0 0射中木块，并停留在射中木块，并停留在射中木块，并停留在射中木块，并停留在其中，木块受到冲击而向斜上方摆动，当到达最高位置时，其中，木块受到冲击而向斜上方摆动，当到达最高位置时，其中，木块受到冲击而向斜上方摆动，当到达最高位置时，其中，木块受到冲击而向斜上方摆动，当到达最高位置时，木块的水平位移为木块的水平位移为木块的水平位移为木块的水平位移为x x0 0。第一个过程第一个过程第一个过程第一个过程,

114、, 完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞动量守恒动量守恒动量守恒动量守恒第二个过程第二个过程第二个过程第二个过程, , , ,上摆上摆上摆上摆机械能守恒机械能守恒机械能守恒机械能守恒( ( ( (取最低点为势能零点取最低点为势能零点取最低点为势能零点取最低点为势能零点) ) ) )例例解解(1)(1)且有且有且有且有(2)(2)子弹的速度子弹的速度子弹的速度子弹的速度v v0 0。求求理学院 物理系 陈强 如图，用轻弹簧把质量为如图，用轻弹簧把质量为如图，用轻弹簧把质量为如图，用轻弹簧把质量为mm的金属盘悬挂起来，静止在平衡的金属盘悬挂起来，静止在平衡的金属盘悬挂起来，静止

115、在平衡的金属盘悬挂起来，静止在平衡位置，这时弹簧伸长了位置，这时弹簧伸长了位置，这时弹簧伸长了位置，这时弹簧伸长了l l1 1 = 10cm= 10cm。现有一个质量与金属盘相。现有一个质量与金属盘相。现有一个质量与金属盘相。现有一个质量与金属盘相同的橡皮泥从高于盘底同的橡皮泥从高于盘底同的橡皮泥从高于盘底同的橡皮泥从高于盘底 h h = 30cm= 30cm处由静止自由下落到盘上。处由静止自由下落到盘上。处由静止自由下落到盘上。处由静止自由下落到盘上。泥球自由下落泥球自由下落泥球自由下落泥球自由下落 ，落到盘底的速率为，落到盘底的速率为，落到盘底的速率为，落到盘底的速率为泥球与盘碰撞泥球与盘

116、碰撞泥球与盘碰撞泥球与盘碰撞( ( ( (完全非完全非完全非完全非弹性弹性弹性弹性碰撞碰撞碰撞碰撞) ) ) )，系统的动量系统的动量系统的动量系统的动量守恒，守恒，守恒，守恒，设碰撞后的共同速度为设碰撞后的共同速度为设碰撞后的共同速度为设碰撞后的共同速度为v v2 2，则，则，则，则此金属盘向下运动的最大距离此金属盘向下运动的最大距离此金属盘向下运动的最大距离此金属盘向下运动的最大距离l l2 2 。例例解解求求理学院 物理系 陈强 泥球和盘共同下降的过程泥球和盘共同下降的过程泥球和盘共同下降的过程泥球和盘共同下降的过程( ( ( (弹簧、泥球、盘和地球组成的系统弹簧、泥球、盘和地球组成的系

117、统弹簧、泥球、盘和地球组成的系统弹簧、泥球、盘和地球组成的系统机械能守恒机械能守恒机械能守恒机械能守恒) ) ) )选弹簧的自然伸长端为弹性势能零点，以选弹簧的自然伸长端为弹性势能零点，以选弹簧的自然伸长端为弹性势能零点，以选弹簧的自然伸长端为弹性势能零点，以盘的最低点为重力势能零点，则盘的最低点为重力势能零点，则盘的最低点为重力势能零点，则盘的最低点为重力势能零点，则弹簧的劲度系数为弹簧的劲度系数为弹簧的劲度系数为弹簧的劲度系数为而而而而则则则则理学院 物理系 陈强2.7 质点的角动量定理与角动量守恒定律质点的角动量定理与角动量守恒定律主要内容：主要内容：1. 质点的角动量质点的角动量2.

118、质点的角动量定理质点的角动量定理3. 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律理学院 物理系 陈强位矢位矢位矢位矢 和动量和动量和动量和动量 的矢积方向。的矢积方向。的矢积方向。的矢积方向。2.7.1 2.7.1 质点的角动量质点的角动量质点的角动量质点的角动量设设设设t t 时刻质点的位矢时刻质点的位矢时刻质点的位矢时刻质点的位矢质点的动量质点的动量质点的动量质点的动量运动质点对运动质点对运动质点对运动质点对O O点的角动量点的角动量点的角动量点的角动量l l 角动量大小：角动量大小：角动量大小：角动量大小：l l 质点绕圆心作圆周运动时质点绕圆心作圆周运动时质点绕圆心作圆周运动时质点绕圆心

119、作圆周运动时l l 角动量的方向：角动量的方向：角动量的方向：角动量的方向：l l 同一质点的运动对不同参考点的角动量是不相同的。同一质点的运动对不同参考点的角动量是不相同的。同一质点的运动对不同参考点的角动量是不相同的。同一质点的运动对不同参考点的角动量是不相同的。 讨论讨论讨论讨论理学院 物理系 陈强2.7.2 2.7.2 质点的角动量定理质点的角动量定理质点的角动量定理质点的角动量定理1. 1. 力对参考点的力矩力对参考点的力矩力对参考点的力矩力对参考点的力矩力臂力臂力臂力臂d d：作用力线到参考点：作用力线到参考点：作用力线到参考点：作用力线到参考点O O的垂直距离的垂直距离的垂直距离

120、的垂直距离作用力作用力作用力作用力 作用于位矢为作用于位矢为作用于位矢为作用于位矢为 的某一质点上的某一质点上的某一质点上的某一质点上作用力作用力作用力作用力 对参考点对参考点对参考点对参考点O O的力矩的力矩的力矩的力矩l l 力矩的大小：力矩的大小：力矩的大小：力矩的大小： 讨论讨论讨论讨论位矢位矢位矢位矢 和力和力和力和力 的矢积方向。的矢积方向。的矢积方向。的矢积方向。l l 力矩的方向：力矩的方向：力矩的方向：力矩的方向：l l 同一力对不同参考点的力矩是不相同的。同一力对不同参考点的力矩是不相同的。同一力对不同参考点的力矩是不相同的。同一力对不同参考点的力矩是不相同的。理学院 物理

121、系 陈强由角动量的定义由角动量的定义由角动量的定义由角动量的定义两边对时间求导两边对时间求导两边对时间求导两边对时间求导2. 2. 质点的角动量定理质点的角动量定理质点的角动量定理质点的角动量定理质点所受的合力矩等于角动量对时间的变化率质点所受的合力矩等于角动量对时间的变化率质点所受的合力矩等于角动量对时间的变化率质点所受的合力矩等于角动量对时间的变化率l l 微分形式微分形式微分形式微分形式l l 积分形式积分形式积分形式积分形式则则则则力矩是使角动量发生变化的原因力矩是使角动量发生变化的原因力矩是使角动量发生变化的原因力矩是使角动量发生变化的原因（角动量定理）（角动量定理）（角动量定理）（

122、角动量定理）理学院 物理系 陈强3. 3. 角动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律若若若若，则，则，则，则 讨论讨论讨论讨论l l 当合力当合力当合力当合力时，时，时，时，质点的角动量守恒。，质点的角动量守恒。，质点的角动量守恒。，质点的角动量守恒。l l 力的作用线始终通过一固定点（力的作用线始终通过一固定点（力的作用线始终通过一固定点（力的作用线始终通过一固定点（力心力心力心力心），），），）， 对力心的力矩为零。对力心的力矩为零。对力心的力矩为零。对力心的力矩为零。质点在有心力作用下运动，角动量守恒。质点在有心力作用下运动，角动量守恒。质点在有心力作用下运动，角动量守恒

123、。质点在有心力作用下运动，角动量守恒。= = 常量常量常量常量如果对于某一固定点如果对于某一固定点如果对于某一固定点如果对于某一固定点O O，质点所受的合力矩为零，则此，质点所受的合力矩为零，则此，质点所受的合力矩为零，则此，质点所受的合力矩为零，则此质点对该定点的角动量保持不变。质点对该定点的角动量保持不变。质点对该定点的角动量保持不变。质点对该定点的角动量保持不变。理学院 物理系 陈强如图所示，我国第一颗人造地球卫星沿椭圆形轨道运动，地如图所示，我国第一颗人造地球卫星沿椭圆形轨道运动，地如图所示，我国第一颗人造地球卫星沿椭圆形轨道运动，地如图所示，我国第一颗人造地球卫星沿椭圆形轨道运动，地

124、心为该椭圆的一个焦点。已知地球半径为心为该椭圆的一个焦点。已知地球半径为心为该椭圆的一个焦点。已知地球半径为心为该椭圆的一个焦点。已知地球半径为R R = 6378km= 6378km，卫星，卫星，卫星，卫星的近地点到地面的距离为的近地点到地面的距离为的近地点到地面的距离为的近地点到地面的距离为l l1 1 = 439km= 439km，远地点到地面的距离，远地点到地面的距离，远地点到地面的距离，远地点到地面的距离为为为为l l2 2 = 2384km= 2384km 。设卫星在近地点的速率为。设卫星在近地点的速率为。设卫星在近地点的速率为。设卫星在近地点的速率为v v1 1 = 8.1km=

125、 8.1kms s-1-1。在近地点和远地点处在近地点和远地点处在近地点和远地点处在近地点和远地点处例例解解质点在有心力作用下运动，质点在有心力作用下运动，质点在有心力作用下运动，质点在有心力作用下运动，角动量守恒，有角动量守恒，有角动量守恒，有角动量守恒，有则则则则得得得得= = 常量常量常量常量卫星在远地点的速率。卫星在远地点的速率。卫星在远地点的速率。卫星在远地点的速率。 求求理学院 物理系 陈强将小球拉至离中心将小球拉至离中心将小球拉至离中心将小球拉至离中心r r0 0/2/2处时，拉力处时，拉力处时，拉力处时，拉力 所作的功。所作的功。所作的功。所作的功。质量为质量为质量为质量为mm

126、的小球系在绳子的一端，绳穿过铅直套管，使小球的小球系在绳子的一端，绳穿过铅直套管，使小球的小球系在绳子的一端，绳穿过铅直套管，使小球的小球系在绳子的一端，绳穿过铅直套管，使小球限制在一光滑水平面上运动。先使小球以角速度限制在一光滑水平面上运动。先使小球以角速度限制在一光滑水平面上运动。先使小球以角速度限制在一光滑水平面上运动。先使小球以角速度 0 0绕管心作绕管心作绕管心作绕管心作半径为半径为半径为半径为r r0 0的圆周运动，然后向下拉绳子，使小球运动半径逐的圆周运动，然后向下拉绳子，使小球运动半径逐的圆周运动，然后向下拉绳子，使小球运动半径逐的圆周运动，然后向下拉绳子，使小球运动半径逐渐减

127、小，最后小球运动轨迹成为半径为渐减小，最后小球运动轨迹成为半径为渐减小，最后小球运动轨迹成为半径为渐减小，最后小球运动轨迹成为半径为r r的圆。的圆。的圆。的圆。由动能定理，有由动能定理，有由动能定理，有由动能定理，有例例解解小球在有心力作用下运动，有小球在有心力作用下运动，有小球在有心力作用下运动，有小球在有心力作用下运动，有又又又又得得得得当当当当 时，拉力的功为时，拉力的功为时，拉力的功为时，拉力的功为 求求理学院 物理系 陈强本章小结本章小结 1. 1. 牛顿运动定律牛顿运动定律牛顿运动定律牛顿运动定律牛顿第二定律：牛顿第二定律：牛顿第二定律：牛顿第二定律： (1) (1) 牛顿运动三

128、定律牛顿运动三定律牛顿运动三定律牛顿运动三定律当当当当mm不变时：不变时：不变时：不变时： 牛顿第一定律：牛顿第一定律：牛顿第一定律：牛顿第一定律：牛顿第三定律：牛顿第三定律：牛顿第三定律：牛顿第三定律： 力的矢量叠加原理：力的矢量叠加原理：力的矢量叠加原理：力的矢量叠加原理： 任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，直任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，直到其他物体作用的力迫使它改变这种状态为止。到其他物体作用的力迫使它改变这种状态为止。理学院 物理系 陈强(2) (2) 力学中几种常见的力力学中几种常见的力力学中几种常见的力力学中几种常见的力万有引力：万有引力：万有引力：万有引力： 重

129、力：重力：重力：重力： 弹簧的弹性力：弹簧的弹性力：弹簧的弹性力：弹簧的弹性力： 静摩擦力：静摩擦力：静摩擦力：静摩擦力： 滑动摩擦力：滑动摩擦力：滑动摩擦力：滑动摩擦力： (3) (3) 应用牛顿运动定律解题的一般步骤应用牛顿运动定律解题的一般步骤应用牛顿运动定律解题的一般步骤应用牛顿运动定律解题的一般步骤选取研究对象；分析受力情况，画出受力图；选选取研究对象；分析受力情况，画出受力图；选选取研究对象；分析受力情况，画出受力图；选选取研究对象；分析受力情况，画出受力图；选取坐标系；列方程求解；讨论。取坐标系；列方程求解；讨论。取坐标系；列方程求解；讨论。取坐标系；列方程求解；讨论。(4) (

130、4) 牛顿运动定律的适用范围牛顿运动定律的适用范围牛顿运动定律的适用范围牛顿运动定律的适用范围宏观低速物体；惯性系。宏观低速物体；惯性系。宏观低速物体；惯性系。宏观低速物体；惯性系。理学院 物理系 陈强(2) (2) 功率功率功率功率 重力的功：重力的功：重力的功：重力的功： 万有引力的功：万有引力的功：万有引力的功：万有引力的功： 摩擦力的功：摩擦力的功：摩擦力的功：摩擦力的功： 2. 2. 功和能功和能功和能功和能(1) (1) 功功功功(3) (3) 动能定理动能定理动能定理动能定理质点的动能定理：质点的动能定理：质点的动能定理：质点的动能定理：质点系的动能定理：质点系的动能定理：质点系

131、的动能定理：质点系的动能定理：弹簧弹性力的功：弹簧弹性力的功：弹簧弹性力的功：弹簧弹性力的功： 理学院 物理系 陈强(4) (4) 保守力保守力保守力保守力（重力、万有引力、弹簧弹性力等都是保守力）（重力、万有引力、弹簧弹性力等都是保守力）（重力、万有引力、弹簧弹性力等都是保守力）（重力、万有引力、弹簧弹性力等都是保守力）当当当当 时，时，时，时，(5) (5) 势能势能势能势能重力势能：重力势能：重力势能：重力势能： （以（以（以（以 y y = 0= 0 的平面为势能零点）的平面为势能零点）的平面为势能零点）的平面为势能零点）万有引力势能：万有引力势能：万有引力势能：万有引力势能： （以无

132、穷远处为势能零点（以无穷远处为势能零点（以无穷远处为势能零点（以无穷远处为势能零点) ) ) ) 弹簧弹性力势能：弹簧弹性力势能：弹簧弹性力势能：弹簧弹性力势能： ( ( ( (以弹簧原长处为势能零点以弹簧原长处为势能零点以弹簧原长处为势能零点以弹簧原长处为势能零点) ) ) ) 保守力作功与势能的关系：保守力作功与势能的关系：保守力作功与势能的关系：保守力作功与势能的关系： (6) (6) 保守力与势能的微分关系保守力与势能的微分关系保守力与势能的微分关系保守力与势能的微分关系 常量。常量。常量。常量。(7) (7) 机械能守恒定律机械能守恒定律机械能守恒定律机械能守恒定律理学院 物理系 陈

133、强当当当当 时，时，时，时，3. 3. 动量和动量定理动量和动量定理动量和动量定理动量和动量定理(1) (1) 冲量冲量冲量冲量(2) (2) 动量定理动量定理动量定理动量定理质点的动量定理：质点的动量定理：质点的动量定理：质点的动量定理：质点系的动量定理：质点系的动量定理：质点系的动量定理：质点系的动量定理：(3) (3) 动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律常矢量常矢量常矢量常矢量元冲量：元冲量：元冲量：元冲量：t t1 至至至至 t t2 2 时间内的冲量：时间内的冲量：时间内的冲量：时间内的冲量：理学院 物理系 陈强当当当当 时，时，时，时，4. 4. 质心质心质心质心(1

134、) (1) 质心的位矢质心的位矢质心的位矢质心的位矢 或或或或(2) (2) 质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心运动定理5. 5. 角动量和角动量定理角动量和角动量定理角动量和角动量定理角动量和角动量定理(1) (1) 力对固定点力对固定点力对固定点力对固定点O O的力矩的力矩的力矩的力矩 (2) (2) 质点对固定点质点对固定点质点对固定点质点对固定点O O的角动量的角动量的角动量的角动量 (3) (3) 角动量定理角动量定理角动量定理角动量定理(4) (4) 角动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律常矢量常矢量常矢量常矢量理学院 物理系 陈强（酒泉）卫星发射（酒泉）卫星发射