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1、中点问题目录目录CONTENTS知识框架构建01重点例题分析02思想方法总结03课后巩固练习0401 01 知识框架构建知识框架构建几何的研究对象是什么几何的研究对象是什么 空间的最基本概念是空间的最基本概念是“位置位置”几何中，几何中，“位置位置”用点来标记；用点来标记；两个位置之间的差别用两个位置之间的差别用线段的长度线段的长度来刻画来刻画.另一个基本概念是另一个基本概念是“方向方向”平面内，一条射线表达一个方向；平面内，一条射线表达一个方向；两个方向的差别用两个方向的差别用角的大小角的大小来度量来度量.线段线段角角线段的中点线段的中点线段的和差线段的和差角的和差角的和差角平分线角平分线线
2、线 段段 和和 角角线段的中点线段的中点作作AB的垂直平分线的垂直平分线得到中点得到中点P等腰三角形等腰三角形三线合一三线合一直角三角形斜边中直角三角形斜边中线是斜边的一半线是斜边的一半三角形的中线三角形的中线三角形的中位线三角形的中位线数量关系数量关系计算计算位置关系位置关系倒角倒角中点四边形中点四边形垂径定理垂径定理02 02 重点例题分析重点例题分析如图，在ABC中，AB=AC=4，BAC=120，ADBC于点D，点E，F分别是AC，BD的中点，连接EF交AD于点G，则线段EG的长为 类型一类型一 计算线段长度（计算线段长度（1515题）题）例例1思路一：思路一：取CD的中点H，连接EH
3、，则EH为ACD的中位线，可证得EFH为直角三角形并求得EF的长.利用平行线分线段成比例证得点G为EF的中点，从而得到答案.方法总结：取中点构造中位线方法总结：取中点构造中位线类型一类型一 计算线段长度（计算线段长度（1515题）题）思路二：思路二：以点D为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，得到点A，点B，点C的坐标.利用中点坐标公式求出点E和点F的坐标，由坐标特点证明点G为中点，再由距离公式求解.方法总结：构建平面直角坐标系方法总结：构建平面直角坐标系如图，在ABC中，AB=AC=4，BAC=120，ADBC于点D，点E，F分别是AC，BD的中点，连接EF交AD
4、于点G，则线段EG的长为 例例1如图，ABC中，AB=AC=12，ADBC于点D，点E在AD上且DE=2AE，连接BE并延长交AC于点F，则线段AF的长为 .例例2类型一类型一 计算线段长度（计算线段长度（1515题）题）方法总结：取中点构造中位线得平行相似方法总结：取中点构造中位线得平行相似如图，ABC中，AB=AC=12，ADBC于点D，点E在AD上且DE=2AE，连接BE并延长交AC于点F，则线段AF的长为 .例例2类型一类型一 计算线段长度（计算线段长度（1515题）题）方法总结：倍长中线构造方法总结：倍长中线构造“8字形字形”全等全等 如图，在ABC中，ABC90，AB1，BC2，将
5、线段BC绕点C顺时针旋转90得到线段CD，连接AD（1）说明ACD的形状，并求ACD的面积；（2）把等腰直角三角板按如图的方式摆放，顶点E在CB边上，顶点F在CD的延长线上，直角顶点与C重合将图中的三角板绕点C逆时针旋转(0360)，如图所示，连接BE，DF，连接C与BE的中点M猜想并证明CM与DF之间的关系；（3）在（2）的条件下，如果CE1，CM ，请直接写出的值例例3类型二类型二 综合与探究（综合与探究（2222题）题）图 图 图 如图，在ABC中，ABC90，AB1，BC2，将线段BC绕点C顺时针旋转90得到线段CD，连接AD（1）说明ACD的形状，并求ACD的面积；例例3类型二类型二
6、 综合与探究（综合与探究（2222题）题）思路：思路：过点A作AHCD于点H四边形ABCH为矩形点H为CD的中点AH为CD的中垂线ACD为等腰三角形，面积为2（2）把等腰直角三角板按如图的方式摆放，顶点E在CB边上，顶点F在CD的延长线上，直角顶点与C重合将图中的三角板绕点C逆时针旋转(0360)，如图所示，连接BE，DF，连接C与BE的中点M猜想并证明CM与DF之间的关系；思路一：思路一：延长CM到点N，使MN=CM，连接BN，可得CEMNBM，则CEBM，CE=BM，再证BCNCDF即得CM与DF之间的数量关系；延长MC交DF于点G，倒角即得位置关系.方法总结：倍长中线构造方法总结：倍长中
7、线构造“8字形字形”全等（平行的边用于倒角）全等（平行的边用于倒角）思路二：思路二：延长BC到点N，使CN=BC，连接EN，可得CM为BEN的中位线，再证ECNFCD得EN=FD，ENFD，得结论.方法总结：倍长线段构造中位线证明数量关系与位置关系方法总结：倍长线段构造中位线证明数量关系与位置关系（2）把等腰直角三角板按如图的方式摆放，顶点E在CB边上，顶点F在CD的延长线上，直角顶点与C重合将图中的三角板绕点C逆时针旋转(0360)，如图所示，连接BE，DF，连接C与BE的中点M猜想并证明CM与DF之间的关系；思路三：思路三：取CE的中点N，连接MN，则MN为BCE的中位线，再证MNCDCF
8、，得CM=DF，MCN=CFD，延长MC交FD于点G，倒角得垂直.方法总结：取中点构造中位线得数量关系和位置关系方法总结：取中点构造中位线得数量关系和位置关系（2）把等腰直角三角板按如图的方式摆放，顶点E在CB边上，顶点F在CD的延长线上，直角顶点与C重合将图中的三角板绕点C逆时针旋转(0360)，如图所示，连接BE，DF，连接C与BE的中点M猜想并证明CM与DF之间的关系；（3）在（2）的条件下，如果CE1，CM 时，请直接写出的值CECF=1DF=CDF中，CF=1，CD=2，DF=计算DCF注意要分类！注意要分类！=60或300方法提示：方法提示：在抽象的图形中提在抽象的图形中提取部图形
9、解决问题取部图形解决问题类型二类型二 综合与探究（综合与探究（2222题）题）如图，在Rt ABC和RtCED中，ABCCED90，点E在AC上点D在BC上，点F为AD的中点，连接BF、EF.观察与发现：观察与发现：（1）线段BF和EF的数量关系是 拓广与拓广与探索：探索：（2）如图，把图中的CED绕着点C顺时针旋转，使点E落在边BC的延长线上，点F为AD的中点，则（1）中发现的结论是否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由（3）如图，把图中的CED绕着点C顺时针旋转，使点D落在边AC上，点F为AD的中点，则（1）中发现的结论是否还成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由例例4 图 图
10、图类型二类型二 综合与探究（综合与探究（2222题）题）如图，在Rt ABC和RtCED中，ABCCED90，点E在AC上点D在BC上，点F为AD的中点，连接BF、EF.观察与发现：观察与发现：（1）线段BF和EF的数量关系是 例例4方法总结：直角三角形斜边方法总结：直角三角形斜边 中线是斜边的一半中线是斜边的一半BF=EF深入挖掘：深入挖掘：由CDECAB可得：CDE=CAB，过点D作DGAB于点G，作DHBC于点H，连接FG.FG=AF=DF；连接FHFGBFDE.思路一：思路一：过点D作DGAB于点G，连接FG.FG=AF=DF；FGBFDE.（2）如图，把图中的CED绕着点C顺时针旋转
11、，使点E落在边BC的延长线上，点F为AD的中点，则（1）中发现的结论是否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由（3）如图，把图中的CED绕着点C顺时针旋转，使点D落在边AC上，点F为AD的中点，则（1）中发现的结论是否还成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由方法总结：中点方法总结：中点构造直角三角形，利用斜边中线是斜边的一半构造直角三角形，利用斜边中线是斜边的一半（2）如图，把图中的CED绕着点C顺时针旋转，使点E落在边BC的延长线上，点F为AD的中点，则（1）中发现的结论是否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由（3）如图，把图中的CED绕着点C顺时针旋转，使点D落在边AC上，点
12、F为AD的中点，则（1）中发现的结论是否还成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由 思路二：思路二：延长BF到点G，使FG=BF，连接DGFABFDG；在RtBEG中，EF=BF.延长BF到点G，使FG=BF，连接DGFABFDG；连接EG，BEBCEGDE；在RtBEG中，EF=BF.方法总结：中点方法总结：中点倍长中线构造倍长中线构造8字全等，平行倒角，相等倒边字全等，平行倒角，相等倒边（2）如图，把图中的CED绕着点C顺时针旋转，使点E落在边BC的延长线上，点F为AD的中点，则（1）中发现的结论是否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由（3）如图，把图中的CED绕着点C顺时针旋转，
13、使点D落在边AC上，点F为AD的中点，则（1）中发现的结论是否还成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由 思路三：思路三：延长AB到点P，使BP=AB，延长DE到点Q，使EQ=DE，连接CP，CQAC=PC，CD=CQ；证共线，由中位线得EF=BF延长AB到点P，使BP=AB，延长DE到点Q，使EQ=DE，连接DP，AQ，CP，CQAC=PC，CD=CQ；PCDACQ；由中位线得 EF=BF（2）如图，把图中的CED绕着点C顺时针旋转，使点E落在边BC的延长线上，点F为AD的中点，则（1）中发现的结论是否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由（3）如图，把图中的CED绕着点C顺时针旋转，
14、使点D落在边AC上，点F为AD的中点，则（1）中发现的结论是否还成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由 思路三：思路三：延长AB到点P，使BP=AB，延长DE到点Q，使EQ=DE，连接CP，CQAC=PC，CD=CQ；证共线，由中位线得EF=BF延长AB到点P，使BP=AB，延长DE到点Q，使EQ=DE，连接DP，AQ，CP，CQAC=PC，CD=CQ；PCDACQ；由中位线得 EF=BF方法总结：中点方法总结：中点延长线段构造中位线延长线段构造中位线 直角中垂线得等腰直角中垂线得等腰（2）如图，把图中的CED绕着点C顺时针旋转，使点E落在边BC的延长线上，点F为AD的中点，则（1）中发现
15、的结论是否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由（3）如图，把图中的CED绕着点C顺时针旋转，使点D落在边AC上，点F为AD的中点，则（1）中发现的结论是否还成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由 思路四：思路四：过点F作FGBC于点G，则ABFGDE利用平行线分线段成比例得BG=EG；由FG是中垂线得EF=BF过点F作FGBC于点G，过点D作DHBC于点H，则由(2)得BF=FH；FHCFEC方法总结：中点方法总结：中点构造平行线，利用平行线分线段成比例证中点构造平行线，利用平行线分线段成比例证中点03 03 思路方法总结思路方法总结04 04 课后巩固练习课后巩固练习1.如图，在正
16、方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为CD上一点，DE=5，F为AE的中点，若DEF的周长为18，则OF的长为_.2.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E，F分别为边AD，CD的中点，连接AF，BE，G，H分别为BE，AF的中点，连接GH，则GH的长为 第1题图 第2题图3.综合与实践综合与实践 在四边形的复习课上，老师要求大家提前准备正方形的纸片，老师选取了两个边长为3的正方形ABCD和边长为4的正方形EFGH，将点A和点E重合，保持正方形ABCD不动，在正方形EFGH绕点E旋转一周的过程中，各小组提出问题并解答.乐学小组：乐学小组：（1）如图，连接DH，BF，请说明DH和BF有怎样的数量关系；（2）如图，当GH经过点C时，线段DH的长为 ；图 图 图 图 图 善思小组：善思小组：（3）如图，连接DF，取DF的中点M，连接AM，BH，请说明AM和BH有怎样的数量关系；（4）在（3）的条件下，当点M在直线AB上时，线段CH的长为 .图 备用图 1.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为CD上一点，DE=5，F为AE的中点，若DEF的周长为18，则
