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1、第一节 单调函数的可导性 第六章 微分与不定积分基本内容：一导数定义问题：回忆微积分中导数的定义，问题：回忆微积分中导数的定义， 如何判断导数是否存在？如何判断导数是否存在？从数学分析知道， 上的函数在 处的可导性等价于这也是我们讨论函数可导性的一个常用的方法。因此，我们也给上面的左、右极限一个名称，这就是定义3 设 是 上的有限函数， ，记(1) 左下、左上、右下、右上导数分别称 为 f 在 点右上、右下、左上、左下导数右上、右下、左上、左下导数。 当 f 在 点有有限导数时，也称 f 在 点可微可微。 显然，f 在 点有导数当且仅当(2) 导数的存在性与可导性因此，当 时，我们称 f 在该
2、点有导数，而不说在该点是可导的，就是由于这个缘故。 上述定义与数学分析中导数定义有一点差别。事实上，在数学分析中，讲导数通常都是指可导，也就是说，其导数是一个有限数，此处则不同，导数值可以取.(3) 导数值为的例子从这个例子不难看到，函数在一点有导数并不意味着它在该点连续，上述函数在 点就是间断的。 则例 : 设定理定理4 设设 f 是是 a,b 上的单调有上的单调有限函数，则限函数，则 f 在在 a,b 上几乎处上几乎处处有有限导数。处有有限导数。 二. 单调函数的可导性三单调函数导数的可积性定理定理5 设设 f 是是 上的单调增上的单调增加有限函数，那么加有限函数，那么 是是 上的上的Lebesgue可积函数，且可积函数，且 。 证明：将 f 扩充到 上，对任意 ，令 ，并令 ，它是Riemann可积函数，而且 。 注意到 由Fatou引理得证毕。
