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1、3. 计算机图形学基础3.1基本图形的生成简单图形的生成区域填充和剖面线裁剪3.2 图形变换图形变换二维变换二维变换三维变换三维变换投影变换投影变换3.3图形显示流程1计算机图形学的研究内容计算机图形学的研究内容探讨的主要问题是用计算机进行图形信息的表达、输入、存储、显示、输出、检索及图形运算等。具体地说，大致有以下内容：(1)图形的输入：研究如何把要处理的图形输入到计算机内，以便让计算机进行各种处理。(2)产生图形的算法：研究在显示器或其它输出设备上产生图形的各种算法；(3)图形的数据结构：研究图形在计算机内的表示方法；(4)图形的变换：研究图形的各种几何变换；(5)图形运算：包括图形的分解
2、、组合等；(6)图形语言：各种图形处理功能的语言;(7)图形软件的标准化：图形软件与设备无关及接口兼容性。总的来说，计算机图形学应该解决和研究下列一些问题：(1)图形表示和处理的数学方法及其实现的计算机算法；(2)设计一个好的图形软件系统；(3)设计与实际应用相结合的图形应用系统。2图形的具体应用范围很广，但是从基本的处理技术看只有两类：l一类是线条，如工程图、地图、曲线图表等；l另一类是明暗图，与照片相似。为了生成图形，首先要有原始数据或数学模型，如工程人员构思的机械零件模型，飞机的总体方案模型，地形航测的判读数据等等。这些数字化的输入经过计算机处理后变成图形输出。在此仅从CAD需求角度来介
3、绍相关研究内容：工程产品设计中的二维工程图、三维实体模型的显示工程产品设计中的二维工程图、三维实体模型的显示本章主要介绍：二维基本图形生成原理、图形变换原理、图本章主要介绍：二维基本图形生成原理、图形变换原理、图形显示流程形显示流程3最常用的两种算法：最常用的两种算法：直线直线DDA算法算法直线中的每一点坐标都可以由前一点坐标变化一个增量（Dx,Dy）而得到，即表示为迭代式：xi+1=xi+Dx，yi+1=yi+Dy，并有关系：Dy=mDx，迭代式的初值为直线的起点（x1,y1）直线直线Bresenham算法算法过各行各列象素中心构造一组虚拟网格线。按直线从起点到终点的顺序计算直线与各垂直网格
4、线的交点，然后根据误差项的符号确定该列象素中与此交点最近的象素。3.1 基本图形生成算法基本图形生成算法直线的生成算法直线的生成算法画一条从（x1,y1）到（x2,y2）的直线，实质上是一个发现最佳逼近直线的象素序列，并填入色彩数据的过程，这个过程也称为直线光栅化4圆弧的生成算法圆弧的生成算法典型算法有扫描转换算法、中点算法及Bresenham算法椭圆的生成算法椭圆的生成算法曲线的生成算法曲线的生成算法PP1MP25包容盒计算包容盒计算包围盒(大多采用矩形包容盒，也有球包容盒及其它包容盒)计算是对图形元素进行求交、编辑和拾取的前提。直线的包围盒直线的包围盒计算直接利用其特征点起始点和终点就可得
5、到。矩形的包围盒矩形的包围盒是其本身，圆的包围盒圆的包围盒是该圆的边界矩形圆弧的包围盒圆弧的包围盒的计算主要是由因弧的起始点和终止点，以及与通过圆心的4个坐标轴相交的交点自由曲线的包容盒自由曲线的包容盒则可根据离散的小直线段的起始点和终止点比较后获得，若精确求解并不经济，因图形显示采用离散多边形，且图形变换频繁。复杂组合图形的包容盒复杂组合图形的包容盒则可以在简单图形的包容盒基础上进行比较得到。6求交算法求交算法l求交计算是常用算法。区域填充时要求线段交点，消隐算法需要直线和平面多边形的求交等。l求交运算比较复杂，为减小计算量，求交计算前，先用凸包进行粗略比较，先排除显然不相交情形。l求交计算
6、是CAD系统的重要部分，其准确性与效率直接影响CAD系统的可靠性与实用性。求交问题可以分为两类：求交点：线线求交、线面求交求交线：面面求交注意：在数学上两个浮点数可以严格相等，但计算机表示的浮点数有误差，难以绝对相等，相应地，求交运算中要引进容差。i）当两个点的坐标值充分接近时，即其距离充分近时，就被认为是重合的点，一般取=10-6或更小的数。ii）当两条直线的夹角接近0度（一般取=10-6或更小）时，就被认为是两条平行线。iii）同样，共线、共面、平行面等的判断也是近似的。7区域填充算法区域填充算法区域填充即给出一个区域的边界，要求对边界范围内的所有象素单元赋予指定的颜色代码。区域填充中最常
7、用的是多边形填色填色算法分为两大类：扫描线算法和种子点算法填色算法分为两大类：扫描线算法和种子点算法8（1）扫描线填色（）扫描线填色（Scan-Line Filling）算法）算法这类算法建立在多边形边边界的矢量形式数据之上，可用于程序填色，也可用交互填色。该算法基于几何求交算法，步骤如下：i）输入多边形顶点坐标；ii）求多边形顶点中最大和最小y坐标，以确定范围；iii）对每条扫描线进行计算，直至所有扫描线被填充；关键：如何快速求扫描线与多边形交点；扫描线填充利用直线快速画法；应该利用扫描线与多边形交点的连贯性加速求交算法（多边形与扫描线相交，则与下一条扫描线很可能相交）9（2）种子填色（）种
8、子填色（Seed Filling）算法）算法这类算法建立在多边形边界的图象形式数据之上，并需提供多边形界内一点的坐标，一般只能用于人机交互填色，而难以用于程序填色。从多边形内部点出发，沿四个方向（或八个方向）扩散搜索区域内所有待填充的象素点，适用于交互绘图。其算法步骤：i）多边形边界给特定颜色；ii）内部填充颜色给另外的颜色；iii）从内部点(x,y)开始，检测该点与边界和填充色是否相同，均不相同则填充该点；iv）检测相邻点与边界和填充色是否相同，均不相同则填充该点；v）重复步iv）直至所有象素点被填充。该算法直接基于象素算法，不必求交。10裁剪算法裁剪算法确定图形中哪些部分落在显示区之内,以
9、便显示落在显示区内的那部分图形。这个选择过程称为裁剪裁剪只有窗口内的物体才能显示出来。因此，窗口之外的物体都是不可见的，可以不参加标准化转换及随后的显示操作，节约处理时间。裁剪（clipping）是裁去窗口之外物体的一种操作。 11图形反走样算法图形反走样算法剖面线算法剖面线算法剖面线是一组等距的平行线，用填充算法速度慢，直接画线更快，算法步骤：i)按多边形的初始条件及剖面线的角度和间距，计算剖面线的范围和数量；ii)求剖面线与轮廓边的相交位置；iii）对剖面线上的交点进行排序，并按奇偶规则绘制有效剖面线段。简化算法：跳过顶点处交点判断如图所示，画出的直线实际上是阶梯状，并不光滑。因为计算机屏
10、幕是离散象素组成，不是连续信号。象素是有面积的，不可能面积为零。线段反走样算法：线段反走样算法：将线段处理为有宽度的狭长矩形抖动反走样算法：抖动反走样算法：高分辨率计算，低分辨率显示123.2图形变换图形变换的数学基础向量运算矩阵运算二维变换三维变换133.2.1二维变换 点的变换可以通过矩阵运算来实现，令 称T为变换矩阵，有： 这里x,y为变换后点的坐标，x,y为变换前点的坐标，变换矩阵中a,b,c,d的不同取值，可以实现各种不同变换，从而达到对图形进行变换的目的 。14二维基本变换比例变换对称变换错切变换旋转变换平移变换二维组合变换15比例变换在变换矩阵 中，令b=c=0，则为比例变换矩阵
11、 其中a，d分别为x，y方向上的比例因子16对称变换对坐标轴的对称变换对坐标轴的对称变换2.对x轴对称:1.对y轴对称:对原点的对称变换对原点的对称变换: :17旋转变换 在二维空间里，我们作如下规定：图形的旋转是指绕坐标系原点旋转角，且逆时针为正，顺时针为负，变换矩阵为18 对字母T进行旋转变换（旋转60)19平移变换 这里x，y是平移量，应为常数，但是应用上述变换矩阵对点进行变换 而这里的cy，bx均非常量，因此用原来的因此用原来的2222的变的变换矩阵是无法实现平移变换。换矩阵是无法实现平移变换。 上述四种变换都可以通过变换矩阵来实现，但是，若实现平移变换，变换前后的坐标必须满足下面的关
12、系20将变换矩阵增加一行一列，实施对点进行平移变换21齐次坐标 在平移变换中，我们将x y扩充为x y 1 实际上是由二维向量变为三维向量。 这种用三维向量表示二维向量的方法叫做齐次坐标法。进一步推广，用n+1维向量表示n维向量的方法称之为齐次坐标法。 所谓齐次坐标就是用n+1维向量表示n维向量得到的坐标。对齐次坐标进行坐标变换称为齐次变换，相应的变换矩阵称为齐次变换矩阵。 设三维空间点P的坐标为(x,y,z)，它是唯一的。若用齐次坐标表示时，则为(hx,hy,hz,h)，且不唯一。22齐次坐标的几何意义 将Oxy坐标系增加一与x轴和y轴正交的w轴。 在w=1的平面上有点P1(x,y,1),则
13、当w由0变化到无穷时，齐次坐标P Pw w(x(xw w,y,yw w,w),w) 将处在由OP1定义的射线OQ上。二维坐标则是该射线在w1平面上的交点,有 二维齐次变换表示了在w=1平面上点的坐标变换，即P1到P1*的坐标变换23齐次坐标的特点1.当w=0时，齐次坐标可用来表示无穷远的点2.将图形处理中的各种变换用统一的方式来处理如二维图形变换矩阵的一般表达式：3.齐次变换矩阵通常是非奇异矩阵。当该矩阵奇异时，det A A = 0，坐标经变换后维数将降低，如三维坐标在二维平面上的投影变换等。24二维齐次变换矩阵 其中22阶矩阵 可以实现图形的比例、对称、错切、旋转等基本变换； 12阶矩阵
14、可以实现图形的平移变换； 21阶矩阵 可以实现图形的透视变换， 而s可以实现图形的全比例变换。25小结262728二维组合变换 上述的几种变换可用统一的变换矩阵形式来实现，称之基本变换。 但有些变换仅用一次基本变换是不够的，必须由两次或多次基本变换组合才能实现。这种由多种基本变换组合而成的变换称之为组合变换，相应的变换矩阵叫做组合变换矩阵。设坐标P经过n次变换T1,T2,Tn到P*，则变换结果为： P* = PT1T2Tn = PT 式中，T = T1T2Tn 为总的变换矩阵，组合变换的目的是将一个变换序列表示为一个变换矩阵。 29绕任意点旋转变换平面图形绕任意点C(x,y)旋转角，需要通过以
15、下几个步骤来实现：(1)将旋转中心平移到原点; (2)将图形绕坐标系原点旋转角;(3)将旋转中心平移回到原来位置。30组合变换顺序对图形的影响复杂变换是通过基本变换的组合而成的，由于矩阵的乘法不适用于交换律，即： AB BA 因此，组合的顺序一般是不能颠倒的，顺序不同，则变换的结果亦不同，如图所示。313.2.2三维图形变换三维图形的变换是二维图形变换的简单扩展，变换的原理还是把齐次坐标点(x,y,z,1)通过变换矩阵变换成新的齐次坐标点(x,y,z,1)，即其中T为三维基本(齐次)变换矩阵：T32齐次变换矩阵：平移缩放旋转错切透视变换整体缩放33比例和对称变换1.一般情况，sx,sy,sz0
16、，图形沿三个坐标轴方向作放缩变换；2.当sx=1,sy=sz=-1时，图形相对于x轴中心对称，其余类推;3.当sx-1,sy=sz=1时，图形相对于yOz平面对称，其余类推;4.当sx=sy=sz=-1时，图形相对于原点中心对称。34整体缩放得到：左边同乘s35平移变换平移变换矩阵36旋转变换37三维组合变换 与二维组合变换一样，通过对三维基本变换矩阵的组合，可以实现对三维物体的复杂变换。设坐标P经过n次变换T1,T2,Tn到P*，则变换结果为 P*=PT1T2Tn=PT 与二维相同，组合变换时，同样需要注意乘法的顺序绕任意轴旋转变换绕任意轴旋转变换是组合变换，变换过程比较复杂。首先，对物体作
17、平移和绕轴旋转变换，使得所绕之轴与某一根标准坐标轴重合。然后，绕该标准坐标轴作所需角度的旋转。最后，通过逆变换使所绕之轴恢复到原来位置。这个过程须由7个基本变换的级联才能完成。 38设旋转任意轴为p1（x1,y1,z1）,p2（x2,y2,z2）两点所定义的单位矢量(a,b,c)。旋转角度为（图(a)。这7个基本变换是：1平移T(x1,y1,z1)使p1点与原点重合(图(b)；2Rx()，使得轴p1p2落入平面xoz内(图(c)；3Ry()，使p1p2与z轴重合(图(d);4Rz()，执行绕p1p2轴的角度旋转(图(e)；5Ry()，作3的逆变换T3-1；6Rx()，作2的逆变换T2-1；7T
18、(x1,y1,z1)作1的逆变换T1-1。注意：39其组合变换矩阵为：TT1T2T3T4T3-1T2-1T1-140例：例：简单几何体的几何体的图形形变换式中：T为所要进行的图形变换矩阵假定一六面体ABCDEFGH各点的坐标分别为（x1,y1,z1）,.,(x8,y8,z8)，则经过图形变换后的坐标为：413.2.3投影变换将三维图形向二维平面上投影生成二维图形表示的过程称为投影变换。根据视点的远近，投影分为平行投影和透视投影。当投影中心(观察点)与投影平面之间的距离为无穷远时，为平行投影，否则为透视投影。透视投影的图形与眼睛观察景物的原理及效果是一致的，因而常用于图形的真实效果显示。由于平行
19、投影后直线间的平行关系不变，因而它常用于三维图形交互和生成工程图的视图。42投影变换分类:投影平行投影透视投影正平行投影斜平行投影正交投影正轴测投影正等测投影正二测正三测斜等测斜二测一点透视二点透视三点透视43正交投影投影方向垂直于投影平面时称为正平行投影，正交投影（也称正投影）是正平行投影的特殊形式，其投影平面相互垂直，常用于生成工程图的三视图44正交投影 设模型坐标为P(x,y,z)，投影坐标系的x轴向右，y轴向上，z轴垂直于纸面向外，投影后的坐标为P(x,y,z)，有 PPA，A为投影变换矩阵，可以看成从投影坐标系到模型坐标系的变换矩阵。 在采用第一角画法的三视图中，各视图的投影矩阵为
20、主视图俯视图左视图平移量45轴测投影将三维图形绕其模型坐标系的x轴和y铀分别旋转一定的角度后，再垂直于xOy平面向该平面投影，可获得具有立体感的轴测图。或者，当视点在模型空间的任意位置E(a,b,c)向坐标原点观察时，将图形沿观察方向向垂直于视线的平面投影，也可以得到轴测图，a=b=c时为正等测投影。在应用中常采用输入视点坐标的方式来确定轴测投影的方向，它比绕两轴旋转给定角度的几何意义更明确。46正轴测投影变换将 坐 标 系 作 两 次 旋 转 变 换 TRz(90+)和 TRx()， 其 中TRz(90+)使视线OE与新坐标系的yOz平面重合，y轴方向与AO重合，TRx()使新坐标系的z”轴
21、指向视点。47透视投影透视投影的视线（投影线）是从视点（观察点）出发，视线是不平行的。不平行于投影平面的视线汇聚的一点称为灭点，在坐标轴上的灭点叫做主灭点。主灭点数和投影平面切割坐标轴的数量相对应。按照主灭点的个数，透视投影可分为一点透视、二点透视和三点透视。48一点透视的投影(Z) 49坐标变换 假定有两个坐标系Oxyz和Ouvn，见右图：nvuOzOyx在坐标系Oxyz中，O的坐标为（Ox，Oy，Oz）,Ou、Ov和On分别为三个单位矢量（ux,uy,uz）、（vx,vy,vz）和（nx,ny,nz），要将坐标系Oxyz中的图形变换到坐标系Ouvn中去，称该坐标变换为Txyzuvn，其变换
22、为：xyz1=xyz1Txyz1T-1=xyz1注：图形变换也可由坐标变换得到，且变换矩阵互逆注：图形变换也可由坐标变换得到，且变换矩阵互逆则点的坐标计算：503.3 图形显示流程 在图形学中，涉及许多坐标系和坐标变换模型坐标系：模型坐标系：方便于物体模型定义的坐标系，又称局部坐标系局部坐标系、或工作坐标工作坐标系系。因为物体模型在某一任意坐标系下定义可能是非常困难，如立方体斜放在某坐标系中（如图a），顶点坐标很难确定；最好将立方体放在某坐标系中使角点重合坐标原点，三条边平行于坐标轴(如图b)，通过模型变换再实现其任意位置。图a图b51世界坐标系世界坐标系(WC)：世界坐标系（也有称用户坐标系
23、）是用户用于定义所有物体的统统一参考坐标系一参考坐标系，它在计算过程中始终保持唯一性，无论物体在何位置，在什麽模型坐标系，一般应变换到统一的世界坐标系（即统一的参照坐标系），然后进行其它计算，避免坐标系的混乱，引起不必要的错误。物体从模型坐标下经几何变换到世界坐标系称模型变换模型变换，变换矩阵由坐标变换坐标变换即得。观察坐标系：观察坐标系：实际中，可以物体不动照相机动(移动和转动)，也可相机不动物体动。通常取物体所在的坐标系为世界坐标系(WC)，投影平面与投影中心也在世界坐标系中指定。考虑到在世界坐标系中，要获取某角度物体的投影，所指定的投影平面与投影中心的表示可能很复杂，导致投影变换很复杂。
24、为此，可以依赖于投影平面（为照相机底片）建立一个uvn坐标系，称之为观察坐标系（VRC）。zxynvuWCVRC52观察坐标系（也称视点坐标系，视见坐标系）常采用右手直角坐标系（如图）（也可左手坐标系），这样可使观察坐标系与世界坐标系有相同的方向，图形系统就可以用一种坐标方向来处理世界坐标系和观察坐标系两种系统世界坐标与观察坐标的变换世界坐标与观察坐标的变换（观察变换）（观察变换）物体在空间的表示是用世界坐标（XwYwZw）来表示，但是当人们去观察物体时，坐标系就转化为观察坐标系（XvYvZv）。这就需要在两个坐标系之间进行转换，可以通过平移、旋转变换实现从世界坐标到观察坐标的变换53视见体：
25、视见体：通常人只能看到有限范围的景物。为此，在观察坐标系中定义两个裁剪面前裁剪面与后裁剪面，它们平行于投影平面，位于前后裁剪平面之间的观察空间称为视见体或裁剪空间。v投影平面前裁剪面后裁剪面投影平面前裁剪面后裁剪面vnunu透视投影的视见体平行投影的视见体54照相机模型与投影照相机模型与投影zxynvu照相机模型为了解决三维图形显示中投影问题，借助于照相机模型的概念和方法。如右图照相机与景物有各自的坐标系：uvn与xyz。照相机拍照过程：1）取景：相当于模型变换2）拍照到底片：相当于规范化、裁剪与投影3）冲洗照片：相当于显示到显示设备用计算机显示过程描述上述过程：1）选定投影类型2）设置投影参数3）三维裁剪4）投影5）显示规格化投影空间，使面方程表示规范55进一步细化上述过程，三维图形的显示流程一般为：三维图形的显示流程一般为：三维显示过程复杂，裁剪效率重要。为减少计算量，引入规范视规范视见体见体概念，这样先将视见体规范化，然后关于规范视见体进行三维裁剪，其流程为：56本章思考题： 1.了解基本图形的生成原理 2.掌握图形变换的基本方法，重点掌握平移变换、旋转变换。以立方体为例，绕立方体对角线（不通过坐标原点）旋转90度，求变换后的坐标。 3.了解计算机图形的基本显示流程yxzAxis1Axis257
