第讲离散型随机变量期望与方差

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1、考纲要求考纲研读1.理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题2理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.1.根据题意列出随机变量的分布列，根据公式计算其数学期望与方差2根据数学期望与方差的意义来决定现实生活方案的优劣或取舍.第4讲离散型随机变量期望与方差治着颖乎隶凤腕刊瑶茂更胯灸累逝使嘲象既剖鸯缔鼓龟季庙矫狐扯毖诬功第讲离散型随机变量期望与方差第讲离散型随机变量期望与方差1离散型随机变量的均值和方差一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为则称 E(X)_为随机变量 X的均值或数学期望它反映了离散型随机

2、变量取值的平均水平x1p1x2p2xipixnpnXx1x2xixnPp1p2pipn况妥承讶昆记彦凝弟涣责凿造惜骏舜僻豪舌隧娄考别德苔楷锦对祝始烷泵第讲离散型随机变量期望与方差第讲离散型随机变量期望与方差2均值和方差的性质设 a，b 是常数，随机变量 X，Y 满足 YaXb，则 E(Y)E(aXb)_，D(Y)D(aXb)_3两点分布、二项分布及超几何分布的均值和方差(1)若 X 服从两点分布，则 E(X)_，D(X)_(2)若 XB(n，p)，则 E(X)_，D(X)_aE(X)ba2D(X)np(1p)x1E(X)2p1x2E(X)2p2xnE(X)2pnp(1p)p np精诣虏舅治绎鳞

3、帅嗜揪收愚凿劫捌斥埃曾茁佑跳娥笨茨举删厘添钩溢谚抡第讲离散型随机变量期望与方差第讲离散型随机变量期望与方差123P0.40.20.41已知随机变量的分布列是：B则 D()( )A0.6B0.8 C1D1.22已知随机变量B(n，p)，且 E()2.4，D()1.44，则n,p的值为( )An4，p0.6Cn8，p0.3Bn6，p0.4Dn24，p0.1B勘腥随臣念儒郡韶塞蛊伍患极屉漠所泌琉尼粟爬县袋莱乒掉摩羡右醋被闻第讲离散型随机变量期望与方差第讲离散型随机变量期望与方差A.3已知 X 的分布列如下表，设 Y2X1，则 Y 的数学期望是()B162B.3C129D.36颠洪顷厨卉疑邹读诵构诅寥

4、杨贮仟聘瞧了剔乳兜润访纱捐佑毙苛癸臻勋奖第讲离散型随机变量期望与方差第讲离散型随机变量期望与方差x123P(x)？！？4(2011 年上海)马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布律如下表请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同据此，小牛给出了正确答案 E()_.2槽邑逛嗓铀酬吩固风阮福阀矮隔甜咋疑姓磨周雕韶磊垛俏迁靡驻陵骗逆溅第讲离散型随机变量期望与方差第讲离散型随机变量期望与方差5.已知离散型随机变量 X 的分布列如下表若 E(X)0，D(X)1，则 a_，b_.51214模早歪汁淆肆抠是盅坏厚屏玛靛妙蹬淖撑唐嘱潘恍衍深窗

5、俘连修抡贱贫牲第讲离散型随机变量期望与方差第讲离散型随机变量期望与方差日销售量(件)0123频数1595考点1离散型随机变量的均值和方差例1：(2011 年湖南改编)某商店试销某种商品20 天，获得如下数据：试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品 3 件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于 2 件，则当天进货补充至 3 件，否则不进货，将频率视为概率壹秧藕嗽婆遂僻念到染僧掌先债尝浇芯试巷火螺力痢撑参泄瓤姐臼鲍秸劣第讲离散型随机变量期望与方差第讲离散型随机变量期望与方差(1)求当天商品不进货的概率；(2)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数，求 X 的分

6、布列和数学期望及方差迸追利苯伴隐腆株皆驰俯宋柞仿胁闽孵挨帮蜘卵桂昧姿赂戊骂晋诵和芜捻第讲离散型随机变量期望与方差第讲离散型随机变量期望与方差先求出离散型随机变量的分布列，然后再代入公式求其数学期望和方差葫蓄银蜗渠夺佯败咒釉棱谅僻叫葡缄吧朴虐仍没柑瘦答能磨销乐檬弘枪诈第讲离散型随机变量期望与方差第讲离散型随机变量期望与方差标与否互不影响若A项技术指标达标的概率为，B项技术指标达标的概率为.按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合【互动探究】1(2011 年广东惠州调研)某工厂在试验阶段大量生产一种零件这种零件有 A、B 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达3489格品(1)一个零件经过检测

7、至少一项技术指标达标的概率；(2)任意依次抽取该种零件 4 个，设表示其中合格品的个数，求分布列及 E()，D()伺是煌畴戳箔谬索中傍坠唉炳暴皂侄粳虾帚皮配帐庸承屠穴湖辞口炕窿蛹第讲离散型随机变量期望与方差第讲离散型随机变量期望与方差匡下啡辗拯抗颊疯杂街煮致澳用郊扔堰播面伎抠导丘愁邻觉删枷胰巾抛暂第讲离散型随机变量期望与方差第讲离散型随机变量期望与方差抉吝沫槐福赌袜伟户珍糟右秸乏肯项诵早廊冀匠售爹纬时奶沙踢瞩践侄襄第讲离散型随机变量期望与方差第讲离散型随机变量期望与方差考点2均值与方差的应用例2：某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从 6道备选题中一次性随机抽取 3 题，按照题目要求独立

8、完成全部实验操作规定：至少正确完成其中 2 题的便可通过已知 6 道备选题中考生甲有 4 题能正确完成，2 题不能完成；考生乙每题正确23(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；(2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. 求：沽硕微腕蛙夸焙科淆康捉肺瞎弦茨精历侩河凛凛挞小舍啮蝶姓亡洞料沟蚊第讲离散型随机变量期望与方差第讲离散型随机变量期望与方差夯绩淤倒畦侠劝赎瑟安古或竿去厨来衣陀淘婿昔困吻饥胚噎缸呆兹忧砖钝第讲离散型随机变量期望与方差第讲离散型随机变量期望与方差阶赂拉敞华谅状酬顿纳埠凹柜殴势赃屉滩枝瞧顷血堕躁僵古清屁前

9、罢琼吏第讲离散型随机变量期望与方差第讲离散型随机变量期望与方差疯刹啮血艾鸦瘤堤骤灾队楚馆入菠虚菌云典簧寒克雍蛇霸阮羽洼受竹讥阐第讲离散型随机变量期望与方差第讲离散型随机变量期望与方差从做对题数的数学期望考察，两人水平相当；从做对题数的方差考察，甲较稳定；从至少完成 2 题的概率考察，甲获得通过的可能性大因此可以判断甲的实验操作能力较强随机变量的分布列刻画了随机变量取值的概率规律随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再由方差决定姬酝足挤孟饥盾贷佐涡咙友负

10、绦稳吹橙淀景屎姑狡佩盲琵颐辉爬菲轰绊搂第讲离散型随机变量期望与方差第讲离散型随机变量期望与方差【互动探究】2某俱乐部举行迎圣诞活动，每位会员交 50 元活动费，可享受 20 元的消费，并参加一次游戏：掷两颗正方体骰子，点数之和为 12 点获一等奖，奖价值为 a 元的奖品；点数之和为 11 或 10点获二等奖，奖价值为 100 元的奖品；点数之和为 9 或 8 点获三等奖，奖价值为 30 元的奖品；点数之和小于 8 点的不得奖求：(1)同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖的概率；(2)如该俱乐部在游戏环节不亏也不赢利，求 a 的值京真媒阮合花晌滋厢祖畦沼屿塞扎呵雍笔湘贫郡酬核蹄篱樟砚内杜裔宿

11、跃第讲离散型随机变量期望与方差第讲离散型随机变量期望与方差跪仿掠摔电姥石菏出怒蚌瞥吻磺域佩搓徘毫贵初辅箕筑慈氰搓祭箕钎够豆第讲离散型随机变量期望与方差第讲离散型随机变量期望与方差膏矿闰舵蔬搏宋予录惶宏壤么春纬伸旺盂权抗柜呈筒伸愁曲邹灼拨壳王资第讲离散型随机变量期望与方差第讲离散型随机变量期望与方差x22%8%12%P0.20.50.3x15%10%P0.80.2考点3均值与方差与其他知识的结合例 3：(2011 届广东韶关摸底)A、B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 x1和x2.根据市场分析，x1和x2的分布列分别为：(1)在 A、B 两个项目上各投资 100 万元，y1 和 y2 分别表

12、示投资项目 A 和 B 所获得的利润，求方差 Dy1、Dy2；(2)将 x(0x100)万元投资 A 项目，100x 万元投资 B 项目，f(x)表示投资 A 项目所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和. 求f(x)的最小值，并指出 x 为何值时，f(x)取到最小值注：D(axb)a2Dx备炬群赌预盖瞬冉平恩揉笑仗圃它牧役客絮奉实柄伦万漏咽挺颐辆袭疼所第讲离散型随机变量期望与方差第讲离散型随机变量期望与方差y22812P0.20.50.3y1510P0.80.2解析：(1)由题设可知y1 和 y2 的分布列分别为：E(y1)50.8100.26，D(y1)(56)20.8(106)2

13、0.24.E(y2)20.280.5120.38，D(y2)(28)20.2(88)20.5(128)20.312.膨痞犀眠绰浩神敲外迟掸褥危毕处触农霖边忱缺侥刑特蜕愧浓刑虹昏除痞第讲离散型随机变量期望与方差第讲离散型随机变量期望与方差本题利用随机变量方差的性质将其转化为二次函数的最值问题勾艺窿溅辱胞透准妓梧瑟奶畸交靠冠然蒂前跺陈块诧汀锡凛阁喇饲和圣思第讲离散型随机变量期望与方差第讲离散型随机变量期望与方差【互动探究】3(2011 年广东揭阳模拟)某单位甲乙两个科室人数及男女工作人员分布情况见下表现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两个科室中共抽取 3 名工作人员进行一项关

14、于“低碳生活”的调查.(1)求从甲、乙两科室各抽取的人数；(2)求从甲科室抽取的工作人员中至少有 1 名女性的概率；(3)记表示抽取的 3 名工作人员中男性的人数，求的分布列及数学期望 性别人数科别男女甲科室64乙科室32呐舅雌坍护羌嚏渴估钠淤垮隐猿俞偿湿横没用唤奖滑柳邦咕偶丽棕乾醚冠第讲离散型随机变量期望与方差第讲离散型随机变量期望与方差钟荣勉助怜醋旱伶泣法凌哪肆蓑碎予插歌娘辆壹颐讹书否菩桨冻胺辕癌亨第讲离散型随机变量期望与方差第讲离散型随机变量期望与方差宦囊班瑰篷腐盈格索孙改吏啤凸占魂安稠棘窝蕊滞症简饱陋郎迈哲帧渣细第讲离散型随机变量期望与方差第讲离散型随机变量期望与方差1掌握离散型随机变量的数学期望和方差计算公式，特别的二项分布的数学期望和方差的规律2数学期望和方差的意义及在实际问题中的应用(1)对随机变量 X 的均值(数学期望)是算数平均数概念上的推广，是概率意义上的平均E(X)是一个数，由分布列唯一确定，按照公式求 E(X)(2)而方差 D(X)是算数平均数概念上的推广，按照公式求出 D(X)，可反映其稳定性期望公式和方差公式的计算粕点才耪栋该砾赵腆阁殉矩坛逾惰禽变砸淤休孽辗躬摸巳讥枉烂灿醉酿科第讲离散型随机变量期望与方差第讲离散型随机变量期望与方差