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1、 第一章 二、函数的极限二、函数的极限 第二节极限的概念极限的概念一、数列的极限一、数列的极限 一、一、数列的极限数列的极限定义在正整数集上的某一函数，按照自变量的增大，定义在正整数集上的某一函数，按照自变量的增大，将其对应的函数值排成一列，将其对应的函数值排成一列，一些数列的例子一些数列的例子1. 1. 数列极限的定义数列极限的定义这样的一列数这样的一列数称为一个数列，称为一个数列，数列中的每一个数称为数列的项，数列中的每一个数称为数列的项，例如例如随着随着的增大，的增大，越来越小，越来越小，且当且当无限增大无限增大时，时，可以任意小可以任意小!趋势趋势?问：问：如果不存在这样的常数如果不存
2、在这样的常数A, 或或 定义定义1 设数列设数列A是一常数，是一常数，(不论它多么小不论它多么小),使得对于使得对于时的一切时的一切都成立都成立,是数列是数列的极限的极限,记为记为 如果对于任意给定如果对于任意给定总存在正整数总存在正整数那么就称常那么就称常或者称数列或者称数列是是发散发散的的.就说数列没有极限就说数列没有极限,称数列称数列例例1证证所以所以,习题习题用定义证明数列极限时用定义证明数列极限时,去证满足条件的正整数去证满足条件的正整数如果找到了这样如果找到了这样也就证明了也就证明了的存在性，的存在性，那么也就证明了数列极那么也就证明了数列极关键关键是是对于任意给定的对于任意给定的
3、的的的存在性，的存在性，限的存在限的存在.例例2证证所以所以,说明说明:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.2. 2. 数列极限与子列极限的关系数列极限与子列极限的关系这样得到这样得到定理定理1 1( (收敛数列与其子数列间的关系收敛数列与其子数列间的关系）收敛数列的收敛数列的证证证毕证毕任一子数列也收敛且极限相同任一子数列也收敛且极限相同定理定理 ( (收敛子数列与数列间的关系）收敛子数列与数列间的关系）对于数列对于数列若若证证 明：明：证证证毕证毕二、二、函数的极限函数的极限1.1.自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋向无穷大的三种情况自变量趋向无
4、穷大的三种情况 : :定义定义2.2.设函数设函数大于某一正数时有定义大于某一正数时有定义, ,若若则称则称时的极限时的极限, ,记作记作常数常数A 为函数为函数对应的函数值对应的函数值无限接近于某个确定的数无限接近于某个确定的数趋于无穷大时的极限趋于无穷大时的极限. . 自变量趋向无穷大的其余两种情况自变量趋向无穷大的其余两种情况 : :例例3 3 用定义用定义证明证明证证: :取取因此因此就有就有故故欲使欲使即即2.2.自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限若函数若函数在点在点的某个去心邻域内有定义的某个去心邻域内有定义, , 当当自变量自变量时时, ,若对应的函数值若对
5、应的函数值无限接近于无限接近于某个确定的常数某个确定的常数则称则称为函数为函数在在时的极限时的极限. .定义定义5.5.设函数设函数在点在点的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义 , ,使得当使得当 时时, , 有有则称常数则称常数 A 为函数为函数当当时的极限时的极限, ,或或若若记作记作自变量趋于有限值有三种情形：自变量趋于有限值有三种情形：使当使当时时, , 有有的几何意义的几何意义: :那么就证明了那么就证明了 的存在性的存在性,也就证明了极限的存在也就证明了极限的存在.用定义证函数极限存在时用定义证函数极限存在时,关键关键是对于任意给定的是对于任意给定的寻找满足条件的正数寻找满足条件的正数如果找到了这样的如果找到了这样的例例5单侧极限单侧极限: :右极限右极限左极限左极限左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例6证证 作作 业业 P36 1.(2) 2.(2) 3.(1)(4) 5.
