《土木工程制图-画法几何：第3章 点、直线和平面的投影(7)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《土木工程制图-画法几何：第3章 点、直线和平面的投影(7)（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、王雷王雷二、二、辅助平面法辅助平面法1.1.一般位置直线与一般位置平面相交一般位置直线与一般位置平面相交K 引入辅助平面引入辅助平面P P 过已知直线作投影面过已知直线作投影面的垂直面，则转化为垂的垂直面，则转化为垂直面与一般位置平面相直面与一般位置平面相交问题。交问题。 包含直线包含直线MNMN作辅助平面作辅助平面P P。 辅助平面辅助平面P P与平面与平面ABCABC的交线的交线。 求交线求交线与直线与直线MNMN的交点的交点 即为直线即为直线与平面的交点。与平面的交点。作图步骤：作图步骤：XOnmabcanmbc根据重影点根据重影点、可判别出正面投影的可见性；可判别出正面投影的可见性；根
2、据重影点根据重影点、可判别出水平投影的可见性。可判别出水平投影的可见性。PH212kk343 （4）（ ）551过过mnmn作铅垂面作铅垂面作作 图图例例1 1：求平面：求平面ABC与直线与直线MN的交点。的交点。求铅垂面与求铅垂面与ABCABC交线交线判别可见性判别可见性求交线与求交线与MNMN交点交点K K利用重影点利用重影点 nmabcanmbckk45kk 交点是线与平面投影重叠部分可见与不可见的分界点。交点是线与平面投影重叠部分可见与不可见的分界点。 在每个投影上在每个投影上分别选分别选一对重影点判断。一对重影点判断。可见性判断可见性判断XOnmabcanmbcPH212kk343
3、（4）（ ）5512.2.两一般位置平面相交两一般位置平面相交（1 1）线面交点法）线面交点法 在一平面内任取两条直线，作出它们与另一平在一平面内任取两条直线，作出它们与另一平面的交点，将所得交点连成直线即为所求。面的交点，将所得交点连成直线即为所求。XOadbefcdaefcb分分析析：视视平平面面DEFDEF的的 两两 边边DEDE、DFDF为为空空间间一一般般位位置置直直线线，分分别别求求出出它它们们与与 ABCABC的的 交交点点K K、M M，连连接接KMKM即为所求。即为所求。XOadbefcdaefcb1212k3434kmm（1 1）线面交点法）线面交点法 利用辅助面法求利用辅
4、助面法求DEDE与与ABCABC的交点的交点K K 利用辅助面法求利用辅助面法求DFDF与与ABCABC的交点的交点M M 连接连接KMKM，即即ABCABC与与DEFDEF的交线的交线作图：作图：PVRVXOadbefcdaefcb1212k3434kmm55( )667(7)（1 1）线面交点法）线面交点法 利用辅助面法求利用辅助面法求DEDE与与ABCABC的交点的交点K K 利用辅助面法求利用辅助面法求DFDF与与ABCABC的交点的交点M M 连接连接KMKM，即即ABCABC与与DEFDEF的交线的交线作图：作图： 利用重影点判断可见性利用重影点判断可见性 完成完成ABCABC与与
5、DEFDEF各边的轮廓各边的轮廓注意：注意： 所做的辅助面为垂直面所做的辅助面为垂直面 辅助面所包含的直线是任选的辅助面所包含的直线是任选的 交线在两平面图形的公有区内交线在两平面图形的公有区内 若所做的辅助面与交线平行，交点在无穷远处，应重选辅助面若所做的辅助面与交线平行，交点在无穷远处，应重选辅助面PVRVXOadbefcdaefcb2m43mnn566(7)mnmn交线是两相交平面投影重叠部分可见与不可见的分界线。交线是两相交平面投影重叠部分可见与不可见的分界线。在每个投影上分别选则一对重影点判断。在每个投影上分别选则一对重影点判断。同面的异侧，异面的同侧可见性相反。同面的异侧，异面的同
6、侧可见性相反。可见性判断可见性判断（2 2）三面共点法）三面共点法 求两面交线时，求两面交线时，作一辅助平面作一辅助平面P1P1，该该辅助平面与两已知平辅助平面与两已知平面产生交线，两条交面产生交线，两条交线的交点即为三面共线的交点即为三面共有点。即两已知平面有点。即两已知平面共有点。共有点。P1VP2Vefgefgacbdabdc1234k1k212345566k1k2例：求例：求ABCABC与与 DEFGDEFG的交线的交线。 利用辅助面法求水平面利用辅助面法求水平面P Pv1v1与与及及 的交线的交线和和 作图：作图： 交线交线和和 的交点的交点K K1 1即为共有点即为共有点 同理求出
7、同理求出K K2 2，连线即可。，连线即可。 37 垂直问题垂直问题垂直问题垂直问题 直线与平面垂直直线与平面垂直 平面与平面垂直平面与平面垂直包包括括 直线与直线垂直直线与直线垂直直角投影定理：直角投影定理： 空间垂直的二直线，其中有一条空间垂直的二直线，其中有一条直线平行与某一个投影面时，则两直直线平行与某一个投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍保持垂直。线在该投影面上的投影仍保持垂直。直线与直线垂直直线与直线垂直2. 直线与平面垂直直线与平面垂直 若一直线垂直于属于某平面的若一直线垂直于属于某平面的任意两条相交直线，则此直线垂直于任意两条相交直线，则此直线垂直于该平面。反之，如果在某平
8、面内过任该平面。反之，如果在某平面内过任意点，均能作出两相交直线与空间已意点，均能作出两相交直线与空间已知直线垂直，则此平面与该直线垂直。知直线垂直，则此平面与该直线垂直。几何条件：几何条件：例：过点例：过点S作直线垂直于平面作直线垂直于平面ABC。sabcabcs1212ll根据直线垂直平面根据直线垂直平面的投影规律的投影规律,作属于作属于ABC的正平线的正平线A、水平线水平线A。然后由。然后由点点S（s，s ）作）作l a 1 ，l a2，则，则直线直线L（l ，l）即为即为所求。所求。作图：作图：例：过点例：过点S作平面垂直于直线作平面垂直于直线AB。a b s sabcc d d作图：
9、作图：根根据据直直线线与与平平面面垂垂直直的的投投影影规规律律，过过点点S作作水水平平线线SC，使使其其水水平平投投影影sc ab；再再过过点点S作作正正平平线线SD，使使其其正正面面投投影影s d a b ，则则相相交交两两直直线线SC SD所所确定的平面即为所求确定的平面即为所求。3.平面与平面垂直平面与平面垂直几何条件：几何条件： 若一直线垂直于某平面，则包含若一直线垂直于某平面，则包含这条直线的一切平面都垂直于该平面。这条直线的一切平面都垂直于该平面。 反之，若两平面互相垂直，则由属反之，若两平面互相垂直，则由属于第一个平面的任一点向第二个平面于第一个平面的任一点向第二个平面作垂线，此
10、垂线必属于第一个平面。作垂线，此垂线必属于第一个平面。PPABRQQAK例：过点例：过点S作一平面垂直于平面作一平面垂直于平面ABC。a b c abcs s11 2 2d de e分分析析：根根据据两两平平面面垂垂直直的的几几何何条条件件，首首先先过过点点S作作ABC的的垂垂线线SD，再再任任作作一一条条直直线线SE与与SD相相交交，所所组组成成的的平平面面即为所求。即为所求。作图：作图：1）在）在 ABC内任作一条正平线内任作一条正平线C和一条水平线和一条水平线C。 2）自点）自点S作作SD ABC。 3）过点）过点S任作一直线任作一直线SE，与，与SD构成一平面即为所求。构成一平面即为所
11、求。有多少解？有多少解？有无数解有无数解例：过点例：过点S作一平面垂直于平面作一平面垂直于平面ABC。a b c abcs s空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC是一般位置是一般位置平面，过点平面，过点s作正平作正平线垂直于平面内一般线垂直于平面内一般位置直线位置直线AC的的 投影投影ac，再过点，再过点s作水平作水平线垂直于线垂直于ac，则两相，则两相交直线所示平面即为交直线所示平面即为所求。所求。综合作图举例综合作图举例一一 解题的一般步骤解题的一般步骤 1 1、 题意分析题意分析主要分析题中给出的已主要分析题中给出的已知条件，判断题中所给或要求的几何知条件，判断题中所给或要求的几
12、何元素是否处于特殊位置，明确题目要元素是否处于特殊位置，明确题目要求求解的几何元素或几何量；求求解的几何元素或几何量；2 2、 空间分析空间分析分析题示已知条件与待求分析题示已知条件与待求几何元素、几何量之间有何几何关系，几何元素、几何量之间有何几何关系，以明确解题思路，确定解题方法及方案。以明确解题思路，确定解题方法及方案。综合作图举例综合作图举例 3 3、 投影作图投影作图根据解题思路及解题步根据解题思路及解题步骤，找出相应的各种基本作图原理和骤，找出相应的各种基本作图原理和作图方法进行投影作图作图方法进行投影作图；4 4 、题解讨论题解讨论必要时，还应对题解进行必要时，还应对题解进行讨论
13、，证明答案确能满足题目要求的讨论，证明答案确能满足题目要求的几何条件或解答的存在性，是唯一解几何条件或解答的存在性，是唯一解还是多解等还是多解等。二二 举例举例1 已知矩形已知矩形ABCD的一边两投影和的一边两投影和其邻边一投影，完成矩形投影图。其邻边一投影，完成矩形投影图。分析：矩形相邻两边相交成90角。所以BC必属于过B点并垂直于AB的平面P。因此，只要作出该平面P，因bc已知，问题转化为面上取线，然后根据对边互相平行的性质，即可完成矩形的投影。1）过B作平面B垂直于AB。2）bc交12于3求出3。3）连b3并延长，据c求c。4）作cd/ab； ad/bc； ad/bc；cd/ab。XOb
14、abac121233cdd2求点求点S到直线到直线AB的距离。的距离。ssababddcckkskSKpASKB题意分析：题意分析：由由S作作直线直线AB的垂线，垂的垂线，垂足为足为K，则，则SK实长实长为所求。为所求。空间分析：空间分析：AB为一般位置直线，为一般位置直线，过点过点S作作P面垂直面垂直AB（作平行线），（作平行线），求出垂足求出垂足K，再求，再求垂线垂线SK实长。实长。投影作图：投影作图：1 1）sdsd abab，s sd d/OX/OX，s sc c a ab b ，sc/OXsc/OX。2） 求求P平面与平面与AB交点交点K。3 3）直角三角形法求直角三角形法求SKSK
15、实长。实长。3 求两平面的距离。分析：两平行平面间的距离为两平面的公垂线。因此，只要过一平面上任一点，作一直线垂直平面，则该直线必定与另一平面垂直。1）过k作kfkm，过k作kfkn，则kf 平面MKN。2）求直线KF与ABC交交点点G，则则KG即为所求。即为所求。XOnnmkbacmkacbgg1212kg实长ff分分析析：所所求求的的直直线线MN平平行行AB，MN一一定定属属于于与与AB平平行行的的平平面面P，MN与与交交叉叉两两直直线线CD、EF相相交交，则则平平面面P应应包包含含其其中中一一直直线线CD（或或EF），平平面面P与与 另另 一一 直直 线线 EF（ 或或CD）相相交交，交
16、交点点为为M，过过M作作直直线线AB的的平平行行线线与与CD（或或EF）相相交交于于点点N，即即为为所所求求的的直线直线MN。4 已知三直线已知三直线AB、CD、EF，求作一直，求作一直线线MN与与CD、EF相交且与相交且与AB平行。平行。ababcdefcdefpp2121mnnmBACNMFEPD分分析析：所所求求的的直直线线MN平平行行AB，MN一一定定属属于于与与AB平平行行的的平平面面P，MN与与交交叉叉两两直直线线CD、EF相相交交，则则平平面面P应应包包含含其其中中一一直直线线CD（或或EF），平平面面P与与另另一一直直线线EF（或或CD）相相交交，交交点点为为M，过过M作作直直
17、线线AB的的平平行行线线与与CD（或或EF）相相交交于于点点N，即即为为所所求求的的直直线线MN。5已知直角三角形已知直角三角形ABC的直角边的直角边AB，其斜，其斜边边BC属于直线属于直线BM，求作此直角三角形。，求作此直角三角形。分分析析：由由于于直直角角三三角角形形 ABC的的 BAC是是 直直角角，所所以以与与AB边边垂垂直直的的另另一一直直角角边边AC必必在在过过点点A且且与与AB垂垂直直的的平平面面P内内，而而点点C即即为为P与与BM的交点。的交点。PMBCAmabmabeedd1212cc 4 已已知知三三角角形形ABC和和距距该该平平面面为为L 的的一一点点 M的的正正面面投投
18、影影m，求求作作点点M的的水平投影水平投影m。分分析析： 符符合合条条件件的的点点的的轨轨迹迹是是距距三三 角角 形形 ABC为为 L的的一一个个平平面面，设设为为Q，可可先先将将此此轨轨迹迹平平面面作作出出，所所求求点点M一一定定属属于于该该平平面面，根根据据从从属属性性，按按面面内内作作点点的的方方法法便便可可作作出出点点M的的水水平平投影投影m。macbacbL1122ddadA0E0Lee作图：作图：1）过点）过点A作平作平面面ABC垂线；垂线；2）在垂线上任）在垂线上任取点取点D；3）求出）求出AD实长；实长；4）在实长上量）在实长上量取取L，求出所对，求出所对投影长度；即投影长度；
19、即E点距平面点距平面ABC为为L； 4 已已知知三三角角形形ABC和和距距该该平平面面为为L 的的一一点点 M的的正正面面投投影影m，求作点求作点M的水平投影的水平投影m。macbacbLddadA0E0Leeggffhkhkm5 5）过过E E点作面点作面EFGEFG平行与平行与ABCABC；6）M属于平面属于平面EFG，面上求，面上求点点M。1.1.直线与平面平行直线与平面平行直线与平面上任一直线平行直线与平面上任一直线平行 直线与平面平行直线与平面平行2.2.平面与平面平行平面与平面平行两平面上的两相交直线对应平行两平面上的两相交直线对应平行 二平面互相平二平面互相平行行 小小 结结 一平行问题一平行问题相交问题的核心相交问题的核心求共有点求共有点二相交问题二相交问题1 1利用投影积聚性利用投影积聚性2 2辅助平面法辅助平面法 线面交点、三面共点线面交点、三面共点1.1.直线与平面垂直直线与平面垂直直线与平面上任意两条（直线与平面上任意两条（N N条）直线垂直条）直线垂直 直线直线与平面垂直与平面垂直2.2.平面与平面垂直平面与平面垂直直线垂直于平面，则过该直线的任何平面都与该直线垂直于平面，则过该直线的任何平面都与该平面垂直平面垂直 小小 结结 三垂直问题三垂直问题作业：作业：T3-43(5 6),44,45,46,47
