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1、1.柯西积分公式柯西积分公式2.解析函数的无穷可微性解析函数的无穷可微性3.柯西不等式与刘维尔定理柯西不等式与刘维尔定理4.摩勒拉定理摩勒拉定理 2011年4月1日第三节第三节 柯西积分公式及其推论柯西积分公式及其推论第十一讲1 1;. ;.和柯西积分定理考虑如下问题：该积分值不随闭曲线 C 的形状变化而改变, 2;.3;.一、柯西积分公式一、柯西积分公式1.1.定理定理3.113.11这就是柯西积分公式.分析分析 （3.15）可以改写成4;.证明证明5;.6;.7;.柯西积分公式柯西积分公式8;.2 定义定义3.4在定理3.11条件下称为柯西积分.关于柯西积分公式的说明关于柯西积分公式的说明
2、: :(1)用在C边界上的值确定其内部值.(这是解析函数的又一特征这是解析函数的又一特征)(2)柯西积分公式（定理3.11）与柯西积分定理（定理3.9，3.10）的条件相同.(这便于记忆这便于记忆)9;.(3)Cauchy积分公式也可写成例例1 1解解由柯西积分公式10;.例例2 2解解由柯西积分公式由柯西积分公式11;.3 平均值公式平均值公式定理定理3.12即f(z)在圆心处的值等于它在圆周上值的算术平均值.证明证明12;.例例3 3证明证明13;.由平均值公式从而因为矛盾.14;.4. 最大模原理最大模原理证明证明“反证”由平均值定理,只要圆K:定理定理4.234.2315;.于是16;
3、.17;.注注1:1:有界闭域上解析函数的最大模只能在边界取得.2. 推论推论4.2418;.由最大模原理,例例4 4例例5 5证明证明19;.此时与最大模原理相矛盾.则由题设,证明证明20;.5. 5. 最小模原理最小模原理证明证明到最大值，这与最大模定理矛盾。21;.二二解析函数的无穷可微性解析函数的无穷可微性1 定理定理3.13在定理3.11条件下,函数f(z)在区域D内有各阶导数,并且有注：注：上式也可写成该公式在求积分时常用到22;.先证明结论关于n=1时成立。证明证明只需证明，当h趋近于0时，下式也趋近于023;.现在估计上式右边的积分。设以z为心，以d为半径的圆盘完全在D内，并且
4、使得0|h|d，那么当设|f(z)|在C上的一个上界是M，并且设C的长度是L，于是我们有因此当h趋近于0时，要证的积分趋于0。DDCzz+hd24;.现在用数学归纳法完成定理的证明。设n=k时，结论成立。取z及z+h同上，那么有25;.26;.27;.28;.注注1以上讨论表明，函数在一个区域内的解析性是很强的条件，和仅仅在一个点可导是有非常大的差异；注注2任意阶导数公式是柯西公式的直接推论；由此证明，当h趋近于0时，上式的右边趋于0，于是定理的结论当n=k+1时成立。29;.例例6 6解解30;.例例7 7解解 分几种情况31;.32;.根据复周线Cauchy积分定理和高阶导数公式,33;.
5、2. 解析函数的无穷可微性解析函数的无穷可微性定理定理3.14 设函数f(z)在z平面上区域D内解析,则f(z)在D内有各阶导数,并且它们也在D内解析.证明证明34;.3. 刻划解析函数的第二个等价定理刻划解析函数的第二个等价定理证明证明充分性充分性为定理2.5必要性必要性条件2的必要性已由定理2.1得出,由解析函数的无穷可微性,4月19日定理定理3.1535;.三、三、 柯西不等式与刘维尔定理柯西不等式与刘维尔定理1. 柯西不等式柯西不等式证明证明36;.刘维尔定理刘维尔定理 有界整函数必为常数.整函数-在整个复平面解析的函数.证明证明设f(z)是有界整函数，2. 刘维尔刘维尔(Livoui
6、le)定理定理注注 Cauchy不等式中37;.令可见从而f(z)恒等于常数。注注:非常数整函数必无界。由柯西不等式，有38;.3. 代数学基本定理代数学基本定理至少有一个零点.证明证明若P(z)在z平面上无零点,因P(z)在z平面上解析,39;.故存在充分大的正数R,从而在z平面上,矛盾.40;.应用解析函数有任意阶导数，可以证明柯西定理的逆定理，则f(z)在D内解析。 定理定理3.16若函数f(z)在单连通区域D内连续，且对D内的任意周线C，有证明证明在定理条件下,由定理3.7即知在D内解析,且4. 莫勒拉定理莫勒拉定理41;. 刻划解析函数的第三个等价定理定理定理3.17函数f(z)在区
7、域G内解析的充要条件是:(1)f(z)在G内连续;(2)对任一周线C,只要C及其内部全含于G注注定理3.17中区域G不必是单连通区域。42;.证明证明必要性必要性由Cauchy积分定理3.3可导出;充分性充分性由定理3.16,43;.证明证明又在z平面上,从而为常数;例例844;.例例9 9证明证明在复平面上任取一点z,作圆周RC1rCz45;.RC1rCz46;.RC1rCz47;. 1-3的的主要内容主要内容有向曲线有向曲线复积分复积分积分存在的积分存在的条件及计算条件及计算积分的性质积分的性质Cauchy积分定理积分定理原函数原函数的概念的概念复合闭复合闭路定理路定理Cauchy积分公式积分公式高阶导数公式高阶导数公式积分公式及计算积分公式及计算48;.作作 业业P141习题(一)P1439,10,12,P144习题(二)P14510;P14311,15,P141习题(一)49;.50;.
