《高等数学课件：1-4 无穷小量与无穷大量》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学课件：1-4 无穷小量与无穷大量（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四节 无穷小量与无穷大量 第一章第一章 到目前为止， 我们已经阐明了数列与函数的极限下面我们再来研究一类比较简单但十分重要的函数，即所谓的无穷小量无穷小量二、无穷大量二、无穷大量（Infinitely Large Quantity）一、无穷小量一、无穷小量（Infinitely Small Quantity）7/31/20241一、无穷小量当当定义定义1 若若时时 , 函数函数则称则称函数函数例如例如 :函数函数 当当时为时为无穷小无穷小;函数函数 时为时为无穷小无穷小;为为时的时的无穷小无穷小无穷小无穷小 .需要指出的是，需要指出的是， （1）勿认为无穷小量是一个很小很小的数；）勿认为无穷
2、小量是一个很小很小的数；（2）除）除 0 以外任何很小的以外任何很小的常数常数常数常数均非无穷小量均非无穷小量 ；（3）一个函数是无穷小量，必须指明自变量的变化趋势）一个函数是无穷小量，必须指明自变量的变化趋势.7/31/20242其中其中 为为时的时的无穷小量无穷小量 . 证证: :当当时时, ,有有注：注：对自变量的对自变量的其它变化过程其它变化过程类类似可证似可证 .定理定理 1 ( ( 无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系 ) )例如：例如：有有其中其中7/31/20243二、无穷大量 定义定义2 若任给若任给 M 0 ,一切满足不等式一切满足不等式的的 x , 总有总有则称则
3、称函数函数当当时为时为无穷大无穷大, 使对使对若在定义中将若在定义中将 式改为式改为则则记作记作(正数正数 X ) ,记作记作总存在总存在7/31/20244注意注意:1. 按函数极限定义来说，按函数极限定义来说， 无穷大的函数无穷大的函数 f (x)的极限是不的极限是不存在的存在的.但为方便起见，但为方便起见，我们也说我们也说“函数的极限是无穷大函数的极限是无穷大” .2. 无穷大不是很大的数无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态它是描述函数的一种状态.3. 函数为无穷大函数为无穷大 , 必定无界必定无界 . 但反之不真但反之不真 !例如例如, 函数函数当当但但所以所以时时 ,不是无穷
4、大不是无穷大 !7/31/20245证证: 任给正数任给正数 M ,要使要使即即只要取只要取则对则对满足满足的的一切一切 x , 有有所以所以例例1 证明证明思考思考思考思考: : 证明证明提示：提示：要使要使即即就要就要即即只要取只要取7/31/20246定理定理2（无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系）若若为为无穷大无穷大,为为无穷小无穷小 ;若若为为无穷小无穷小, 且且则则为为无穷大无穷大.则则据此定理据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论无穷小来讨论.在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中,说明说明:7/31/20247内容小结1、主要内容、主要内容:两个定义两个定义; ;两个定理两个定理. .2、几点注意、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的. .（1） 无穷小（无穷小（ 大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数不能与很小（大）的数 混淆，混淆，零是唯一的无穷小的数零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3） 无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.7/31/20248思考与练习提示：提示：7/31/20249
