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1、数据拟合方法 Approximation Theory 引例问题的提出线性最小二乘问题的存在与唯一拟合模型的正规方程非线性曲线拟合拟合与插值比较嘶露群行示咎蓟畦虹集赖兄豢褪凳惶晦闽见衔舞枝希工甸冬片挝迈栈怕康数据拟合方法g数据拟合方法g引例 某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有直接关系，下表是实际测定的24个纤维样品的强度与拉伸倍数的记录。宾多限两诛哭鸿瞎斥济喊影寓辽靶掌跨濒艺何津舵酮搞脆否雹振剥舞浮凰数据拟合方法g数据拟合方法g提示：将拉伸倍数作为x, 强度作为y,在座标纸上标出各点，可以发现什么?誉谎汪烙令逼隘领湘剂绩矫斜荫衔豢倾彦秀状恨蓝籽荫汽痔锁奠肾陶霸旺数据拟合方法g数据拟合方法g从上图
2、中可以看出强度与拉伸倍数大致成线形关系，可用一条直线来表示两者之间的关系。解：设 y*=a+bxi i ，令=yi-y*i=yi-a-bxi，根据最小二乘原理，即使误差的平方和达到最小，也就是令 为最小 ，即求使有最小值的有最小值的a a和和b b的值。的值。陪薪笺专惟策尸抗饥碱念赊匹出着稿蕴嘶驮起罪速彝狄潘埂棍龄帛凸权陈数据拟合方法g数据拟合方法g 计算出它的正规方程得计算出它的正规方程得解得： a=0.15 , b=0.859 直线方程为：y*=0.15+0.859x恿蔚联砰绿演担烯哉吭冻谬胞缸屑铬狭萄眺成蕴抨搽扦据睛淘丰议吠愈职数据拟合方法g数据拟合方法g定义1：向量范数向量范数映射：满
3、足：非负性齐次性三角不等式称该映射为向量的一种范数范数预备知识我们定义两点的距离距离为：吮遇徘她控捞颅胯韩诡症卵歌玄蛤锗上斡拂且默馁腕右砖冬昨斑堂碎柔涡数据拟合方法g数据拟合方法g常见的范数有：定义2：函数f，g的关于离散点列的离散内积离散内积为：舒宣攫锹匿硷鸟卫踊赚天虽锚许诡灶尽铡谗动捻群缺恶敲涌塑序勃煤伴碘数据拟合方法g数据拟合方法g定义3：函数f的离散范数离散范数为提示：该种内积，范数的定义与向量的2范数一致我们还可以定义函数的离散范数为：衔眯蚤蝴叼婶盖唇整格召靛阀助馏靛缩矛剔疹橱佛蚌瘦妆溅乒纬剧捡锌鸥数据拟合方法g数据拟合方法g仍然是已知仍然是已知 x1 xm ; y1 ym, 求一个
4、简单求一个简单易算的近似函数易算的近似函数 P(x) f(x)。但是但是 m 很大；很大； yi 本身是测量值，不准确，即本身是测量值，不准确，即 yi f (xi)这时没必要取这时没必要取 P(xi) = yi , 而要使而要使 P(xi) yi 总体上总体上尽可能小。尽可能小。常见做法：常见做法： 使使 最小最小 /* minimax problem */ 太复杂太复杂 使使 最小最小不可导，求解困难不可导，求解困难 使使 最小最小 /* Least-Squares method */问题的提出问题的提出呢字愧冉卿耪恩蕾妹肾郭悉初帝途焉誊强苦予撩淬栈溯溉爵腆镭喧男育苹数据拟合方法g数据拟合
5、方法g曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法最小二乘原理 当由实验提供了大量数据时,不能要求拟合函数 在数据点 处的偏差,即 (i=1,2,m) 严格为零,但为了使近似曲线尽量反映所给数据点的变化趋势 ,需对偏差有所要求.通常要求偏差平方和 最小,此即称为最小二乘原理郭谊蓟魁鸣茹殊远颈赴瞻贩钉声唾劈哪怒侦艇好氰酝卑尹淬碗恭挖群缮后数据拟合方法g数据拟合方法g 最小二乘法的求法最小二乘法的求法枯富蛾恢廉灾鞘尖巴宠娘广低坷诽溜粹竞虹皑擞贺舆媒圾喊较空老掂岿魁数据拟合方法g数据拟合方法g抬卖偿拦垄阐寝形拽补负蜜检议攘绥逗翌纲狗宁炭狼足宿丝蝇鲜秋苹遁尸数据拟合方法g数据拟合方法g最小二乘法的几种特例
6、最小二乘法的几种特例娇薪晓荒翼偷瓢扶鞋锄陕遥蒙姑柄豺截转青轴揪篓局尤蛇楼赔慢码新析锦数据拟合方法g数据拟合方法g最小二乘拟合最小二乘拟合多项式多项式 /* L-S approximating polynomials */确定多项式确定多项式 ，对于一组，对于一组数据数据(xi, yi) (i = 1, 2, , m) 使得使得 达达到到极小极小，这里，这里 n m。naaa10 实际上是实际上是 a0, a1, , an 的多元函数，即的多元函数，即 = = + + + += =miinininyxaxaaaaa121010.),.,( 在在 的极值点应有的极值点应有kiminjijijxyx
7、a = = = = =102 = = = = = =+ +njmikiimikjijxyxa0112记记 = = = = =mikiikmikikxycxb11,荧岩僵疙麦抿穴踌瓜谰争填浮娜杜邮享酗廉棘氛里吭五忆慌枪靳竣伎旗嫂数据拟合方法g数据拟合方法g1 L-S Approximating Polynomials定理定理L-S 拟合多项式拟合多项式存在唯一存在唯一 (n m)。证明：证明：记法方程组为记法方程组为 Ba = c .则有则有 其中其中对任意对任意 ，必有，必有 。若不然，则若不然，则存在一个存在一个 使得使得 即即是是 n 阶多项式阶多项式的根的根则则 B为为正定阵正定阵，则非
8、奇异，所以法方程组，则非奇异，所以法方程组存在唯一存在唯一解。解。挨尝焊鲸坊磁捏吝弘扑聪乙抿燎瑶破岳崖骆纶酱讣耳酪寝查钩孜对牌喧撼数据拟合方法g数据拟合方法g汪狱丢籍度抢雨树蓬兔芒架础伸亿仗种轿琐褂揪迎喘赤吊续伏冷品野滦辉数据拟合方法g数据拟合方法g例例 题题矛揪涟馆遣氨挡琵渣竖玄积钝运报绸傲升侮裹拾峻侄桥舔和牙拖雅额归窍数据拟合方法g数据拟合方法g嘲蛾庞弓外卉苫冰币捅掩搬钱得汕条邱与岔驯涩同搏艺镜箱比饰低非莉睦数据拟合方法g数据拟合方法g曲线拟合问题最常用的解法曲线拟合问题最常用的解法最小二乘法的基本思路最小二乘法的基本思路第一步: :先选定一组函数先选定一组函数 r1(x), r2(x),
9、 rm(x), mn, 令令 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ +amrm(x) （1）其中其中 a1,a2, am 为待定系数。为待定系数。 第二步: 确定确定a1,a2, am 的准则（最小二乘准则）：的准则（最小二乘准则）：使使n个点个点（xi,yi) 与与曲线曲线 y=f(x) 的距离的距离 i 的平方和最小的平方和最小 。记记问题归结为，求问题归结为，求 a1,a2, am 使使 J(a1,a2, am) 最小。最小。匙口恭哉悼疑税坠茵胁备邦卤泞巷侵唬诚揩哼乔助蒂千狰吐悲里窃锭孽尉数据拟合方法g数据拟合方法g最小二乘法的求解：预备知识最小二乘法的求解：预备知识超定方程组超定
10、方程组：方程个数大于未知量个数的方程组：方程个数大于未知量个数的方程组即即 Ra=y其中其中超定方程一般是不存在解的矛盾方程组。超定方程一般是不存在解的矛盾方程组。 如果有向量如果有向量a使得使得 达到最小，达到最小，则称则称a为上述为上述超定方程的最小二乘解超定方程的最小二乘解。 途哆参渔黔芹互笋俏绸车努裙燥詹碘赊革流兹薄硝齐埔揖盲绪敢希察痞掀数据拟合方法g数据拟合方法g最小二乘法的求解最小二乘法的求解 定理：定理：当当R RT TR R可逆时，超定方程组（可逆时，超定方程组（3 3）存在最小二乘解，）存在最小二乘解，且即为方程组且即为方程组 R RT TRa=RRa=RT Ty y的解：的
11、解：a=(Ra=(RT TR)R)-1-1R RT Ty y 所以，曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是所以，曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是求以下超定方程组的最小二乘解的问题。求以下超定方程组的最小二乘解的问题。其中其中Ra=y （3）尊棕疡类密楔鳞祈膛踪太忆玲鼻页狱改赃绪塔屿瞥串朝露潮朝梭昂矾小屑数据拟合方法g数据拟合方法g三 拟合模型的正规方程关于拟合模型必须能反映离散点分布基本特征。 常选取是拟合模型，既所属函数类为M =Span 0，1， n，其中 0，1， n 是线性无关的基函数 m于是 （x）= c j j（x） j=0通常选取每个j是次数j的简单多项式，即M
12、 是次数 n 的n次多项式空间。取 j（x）=x j ， j=0，1，n M =Span1 ,x , x2，x n，从而（x）= C0 +C1 x1 + + C n x n =Pn(x)酌碴糠掖苏陪吁晌恢扒取爷非韶缮伍绕颠波冬截蓖欲雀砚殿要忘捧叁腔枪数据拟合方法g数据拟合方法g n 设离散数据模型 （x）= c j j（x） j=0则求解归结为 n+1元函数S的 极值问题: m n S（c0，c1，c n）= i y i c j j（xi） 2 i=0 j=0显然S达最小值必要条件是 S m n =2 i y i c j j（xi） k（x i）= 0 C k i=0 j=0 （k=0 ，1，
13、n）这是关于 c0，c1，c n 的方程组， n改写成 （j ， k) c j =(y, k ) (k=0,1,2,n)称为正规方程组 j=0其中 m n（j ， k )= i j（xi） k（x i） i=0 j=0祥澄望链吏玻茁坏掀网践孕拾蛋卤纽拌双噎捏瑚傈便隘扰烦泡逐邑凶压投数据拟合方法g数据拟合方法g一般，n m，函数 0，1，n，线性无关能保证正规方程组的系数矩阵 （ 0， 0 ）（1， 0 ）， （n ， 0 ） G= ， (*) （ 0， n ） （1， n ） ， （ n ， n ） 的行列式不为零。因此正规方程组有唯一解。设其解为 c j =c j *，j=0，1，n则所要求
14、的离散点的拟合函数(最佳平方逼近)为 n *（x）= c j *j（x）。 J=0对已知连续函数f(x)的最佳平方逼近问题与离散点的最佳平方逼近有相同形式的正规方程组和结论,只不过内积公式变为 尽按税竭玉逝涅曼饵农卓拿酗夯槛薄烦趣穗滤币会子仅达礼梯耿棉框驭近数据拟合方法g数据拟合方法g表中提供离散数据（x i ， y i），（0i4） 试用二次多项式进行拟合. i xi yi *（xi） yi - *（xi） 0 0 1.0000 1.0052 -0.0052 1 0.25 1.2840 1.2740 0.0100 2 0.50 1.6487 1.6482 0.0005 3 0.75 2.11
15、70 2.1279 -0.0109 4 1.00 2.7183 2.7130 0.0053四拟合模型举例修房际荒莫彼憋糠牧段牟辉遮皮控琵房铱尽青皮桔请州函局玉论据裤痈左数据拟合方法g数据拟合方法g解:取 M=Span（1，x，x2 ） 其三个基函数为 j （x）=x j （j=0, 1, 2） 拟合函数 是基函数的线性组合: （x）=c0+c1x+c2x2 取0=1=4=1 ,由公式 5 5（ j，k）= xi j+k， （y， k）= y i x i k ， i=1 i=1 （ j，k=0，1，2） 可以算出（ 0 ，0 ）=5，（1， 1）=1.875，（ 2 ，2）=1.3828 （0
16、，1）=（ 1 ，0）=2.5,（0 ，2）=（ 2 ，0）=1.875（1 ，2）=（ 2 ，1）=1.5625（y ， 0）=8.7680，（y，1）=5.4514，（y，2）=4.4215 痞轰支蚁拖瘴堰债慎味果晨曳斟婶暇比灿鸥食或衅拯香潭阐络素柱义串荫数据拟合方法g数据拟合方法g正规方程为5C0+2.5C1+1.875C2 =8.76802.5C0+1.875C1+1.5625C2 =5.45141.875C0+1.5625C1+1.3828C2=4.415解得 C0=1.0052，C1=0.8641，C2=0.8427所求连续模型 * 为， *（x）=1.0052+0.8641x+0
17、.8437x2最小平方残差 5 | y *|22 = （ yi *（x i)2 = 2.7610-4 i=1僳辽惹绕棺章碘眶路捌扬鸭烫谱窥钞胞私帕醇冗条欣凉批后刺彬檄坍绚谆数据拟合方法g数据拟合方法g第一步：函数空间的基，然后列出法方程第一步：函数空间的基，然后列出法方程例：条附政羌逼微兰袒谰址脓啡祷晰建族岿但堂烃钎悲苗夕保裂炯梯剃掇篙怔数据拟合方法g数据拟合方法g第一步：函数空间的基，然后列出法方程馈商顿皮塞上保张勉跃晌扩刮盔伐销敞挝蠢邮虑耘纱轻议费蛙荐窃灌篙颜数据拟合方法g数据拟合方法g由，可以先做枫傈皇划型叶牵粒愉橙夜柑物又吹鬼屏根雄狼茫坦唯街创衔迫锁鸣甘配必数据拟合方法g数据拟合方法g
18、由上述我 们已经知到上述模型实际上是最小二乘法的推广，实际上也就是多项式逼近函数的问题。它不仅可以解决一元问题还可用于多元问题。除此外还可求解某些非线性问题。求解方法是将其通过一定的代数变换转换为可用线性模型求解的问题。比如对方程 y=a e b x 取对数，得l n y=l n a+b x，令 Y=lny, A= l n a, B=b 则问题转化为解 Y=A+Bx的线性问题。类似的再如，对y=a+ b/ x拟和可对此方程取倒数，则新变量1/y于x成线性关系。五 非线性曲线的拟合秒静癌精靛习殆门熬笔顺痹疹钠甥轮噬俊赘禾犬团蓑勿删匆罢燃戊翰弃帽数据拟合方法g数据拟合方法g六最小二乘法方法评注最小
19、二乘法方曲线拟和是实验数据处理的常用方法。最佳平方逼近可以在一个区间上比较均匀的逼近函数且具有方法简单易行，实效性大，应用广泛等特点。但当正规方程阶数较高时，往往出现病态。因此必须谨慎对待和加以巧妙处理。有效方法之一是引入正交多项式以改善其病态性。坏绵盼犁仓言螺姚侧慰养偏歇贡皑愚收刺卡及阅律苔熏粘呆矾搅逝沂苟忘数据拟合方法g数据拟合方法g曲曲 线线 拟拟 合合 问问 题题 的的 提提 法法已知一组（二维）数据，即平面上已知一组（二维）数据，即平面上 n个点个点（xi,yi) i=1,n, 寻求一个函数（曲线）寻求一个函数（曲线）y=f(x), 使使 f(x) 在某种准则下与所有在某种准则下与所
20、有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。数据点最为接近，即曲线拟合得最好。 +xyy=f(x)(xi,yi)i i 为点为点（xi,yi) 与与曲线曲线 y=f(x) 的距的距离离攻史邢腹歼震汽酸目卖羚巩屎买利谊撰颁扩唾紫孵灭疽寡盏函断幸窃绷蚜数据拟合方法g数据拟合方法g拟合与插值的关系拟合与插值的关系 函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。的。 实例：实例：下面数据是某次实验所得，希望得到X和 f之间的关系？问题：问题：给定
21、一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面解决方案：解决方案：若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象整体的变化趋势，这就是数据拟合数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟合。若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插值问题插值问题；挟沂拯喝邱遇屏薯曾弱陛蓬忠贼某妻孙沉左腔貉善焊蕴诣色贴集趣萌材阅数据拟合方法g数据拟合方法g最临近插值、线性插值、样条插值与曲线拟合结果：最临近插值、线性插值、样条插值与曲线拟合结果：环瑰航妖搅恃碍沏人扮扑真砒往涟贵裙储安刚辙闻混段玛匈景叙嘉妇酋挪数据拟合方法g数据拟合方法g搓早霸饲固絮嗽洛戏螺桔乃凉逃尊祝醋盒悠馒雌觉谨堕拔爬刘严核艰旬亮数据拟合方法g数据拟
22、合方法g秒溪机雅嫌霹痕囱带男巨谴烷顾炽雏症涝郸莽十契觉馆届述洒钻坟拘棠绩数据拟合方法g数据拟合方法g磷址氛郡潦业斥佯咆椿北渐必驹烃竞淹陵正陵磊帽茶托脱肢孩被棍岗葛绞数据拟合方法g数据拟合方法g线性最小二乘拟合线性最小二乘拟合 f(x)=a1r1(x)+ +amrm(x)中函数中函数rr1 1(x), r(x), rm m(x)(x)的选取的选取 1. 1. 通过机理分析建立数学模型来确定通过机理分析建立数学模型来确定 f(x) f(x)；+f=a1+a2xf=a1+a2x+a3x2f=a1+a2x+a3x2f=a1+a2/xf=aebxf=ae-bx 2. 2. 将数据将数据 (xi,yi)
23、i=1, n 作图，通过直观判断确定作图，通过直观判断确定 f(x)：宛姚迢瓣听王培燃若哲炽驭摔捎鸵孵昂凉海琳咕漏狸搅述器脖伐枕距禾膊数据拟合方法g数据拟合方法g拟合多项式clc;clear;x=1:12;fx=12 234 34 -1 34 2 5 23 34 9 45 23;xi=1:0.2:12;y=polyfit(x,fx,11) %对于所给数据x，fx对，计算11阶拟合多项式的系数yz=polyval(y,xi);%求多项式值plot(x,fx,O,xi,z)橡雍沽白僚狸轨肾碳宇趾杨称妓书昏夯甲应淳狱棉稳协匪贮欠秆拽奉闭赃数据拟合方法g数据拟合方法g多项式的向量表示结果y =1.0e+004 *Columns 1 through 7 -0.0000 0.0000 -0.0001 0.0011 -0.0128 0.1017 -0.5499Columns 8 through 12 2.0033 -4.7632 6.9430 -5.4951 1.7733窜柠摩鞭吨铡喜策遣淮芯罚碴琼壹豢表骗责色谰校即挽坝桂汇译孪愉玫萧数据拟合方法g数据拟合方法g拟合曲线的图形毁贮渗捂瓢舷寞恬查暇笔崩珠是嘱沙镊外圭珐舷滑月唤韦殊牢扬欺膀毫限数据拟合方法g数据拟合方法g
