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1、高等数学（上）高等数学（上）高等数学（上）高等数学（上）3.73.73.73.7节节节节 曲率曲率曲率曲率主主 要要 内内 容容12 弧微分曲率及其计算公式3 曲率圆与曲率半径弧弧 微微 分分设设在在(a , b)内有连续导数内有连续导数, 其其图形为图形为 AB,弧长弧长弧弧 微微 分分或或几何意义几何意义:主主 要要 内内 容容12 弧微分曲率及其计算公式3 曲率圆与曲率半径曲率及其计算公式曲率及其计算公式在光滑弧上自点在光滑弧上自点 M 开始取弧段开始取弧段, 其长为其长为对应切线对应切线定义定义弧段弧段 上的平均曲率上的平均曲率点点 M 处的曲率处的曲率注意注意: 直线上任意点处的曲率
2、为直线上任意点处的曲率为 0 !转角为转角为曲率及其计算公式曲率及其计算公式例例1. 求半径为求半径为R 的圆上任意点处的曲率的圆上任意点处的曲率 .解解: 如图所示如图所示 ,可见可见: R 愈小愈小, 则则K 愈大愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害圆弧弯曲得愈厉害 ;R 愈大愈大, 则则K 愈小愈小 , 圆弧弯曲得愈小圆弧弯曲得愈小 .曲率及其计算公式曲率及其计算公式有曲率近似计算公式有曲率近似计算公式故曲率计算公式为故曲率计算公式为又又曲率曲率K 的计算公式的计算公式二阶可导二阶可导,设曲线弧设曲线弧则由则由曲率及其计算公式曲率及其计算公式说明说明: (1) 若曲线由参数方程若曲线由参数方程给给
3、出出, 则则(2) 若曲线方程为若曲线方程为则则解解例例2 2曲率及其计算公式曲率及其计算公式水平和铅直渐近线水平和铅直渐近线例例3. 我国铁路常用立方抛物线我国铁路常用立方抛物线作作缓和曲线缓和曲线,处的处的曲率曲率.说明说明:铁路转弯时为保证行车铁路转弯时为保证行车平稳安全平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点求此缓和曲线在其两个端点且且 l R. 其中其中R是圆弧弯道的半径是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度是缓和曲线的长度, 离心力必须离心力必须连续变化连续变化 , 因此铁道的因此铁道的曲率应连续变化曲率应连续变化 . 曲率及其计算公式曲率及其计算公式水平和铅直渐近线水平和铅直渐近线例
4、例3. 我国铁路常用立方抛物线我国铁路常用立方抛物线作作缓和曲线缓和曲线,且且 l R. 处的处的曲率曲率.其中其中R是圆弧弯道的半径是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度是缓和曲线的长度, 求此缓和曲线在其两个端点求此缓和曲线在其两个端点解解:显然显然主主 要要 内内 容容12 弧微分曲率及其计算公式3 曲率圆与曲率半径曲率圆和曲率半径曲率圆和曲率半径曲率圆和曲率半径曲率圆和曲率半径注意注意2.2.曲线上一点处的曲率半径越大曲线上一点处的曲率半径越大, ,曲线在该点曲线在该点处的曲率越小处的曲率越小( (曲线越平坦曲线越平坦););曲率半径越小曲率半径越小, ,曲率越曲率越大大( (曲线越
5、弯曲曲线越弯曲).).3.3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧近曲线弧( (称为曲线在该点附近的称为曲线在该点附近的二次近似二次近似).).1.1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数曲率互为倒数. .例例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨现要用砂轮磨削其削其内内表面表面 , 问选择多大的砂轮比较合适问选择多大的砂轮比较合适?解解: 设椭圆方程为设椭圆方程为故故曲率为曲率为K 最大最大最小最小求驻点求驻点: 例例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆设
6、一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨现要用砂轮磨削其削其内内表面表面 , 问选择多大的砂轮比较合适问选择多大的砂轮比较合适?设设从而从而 K 取最大值取最大值 .这这说明椭圆在点说明椭圆在点处处曲率曲率计算驻点处的函数值计算驻点处的函数值:最大最大.例例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨现要用砂轮磨削其削其内内表面表面 , 问选择多大的砂轮比较合适问选择多大的砂轮比较合适?解解: 有上述可知有上述可知椭圆在椭圆在处处曲率最大曲率最大 ,即即曲率半径最小曲率半径最小, 且为且为显然显然, 砂轮半径不超过砂轮半径不超过时时, 才不会产生过量磨损才不会产生过量磨损 ,或或有的地方磨不到的问题有的地方磨不到的问题.本本 节节 小小 结结1. 弧长微分弧长微分或或2. 曲率公式曲率公式3. 曲率圆曲率圆曲率半径曲率半径作作 业业P177 4， 7， 8
