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1、第五章第五章1 在数学中大家都注意到在数学中大家都注意到这样的的现象：有象：有时候一候一个有限的和很个有限的和很难求求, , 但一但一经取极限由有限取极限由有限过渡到无渡到无限限, , 则问题反而好反而好办. . 例如例如, , 若若对某一某一x, ,要要计算和算和 而一而一经取极限，取极限，则有有简单的的结果果 2 事事实证明明这是可能的，而且在一般情况下和的是可能的，而且在一般情况下和的极限分布就是极限分布就是正态分布正态分布，由此可，由此可见正正态分布的重要分布的重要性。性。对和的分布收和的分布收敛于正于正态分布的分布的这一一类极限定理极限定理的研究，在的研究，在长达两个世达两个世纪的的
2、时期内成了概率期内成了概率论研究研究的中心的中心课题，因此得到了，因此得到了“中心极限定理中心极限定理”的名称。的名称。本章将列述本章将列述这类定理中最定理中最简单，然而也是最重要的，然而也是最重要的情况。情况。 3 在概率在概率论中，另一中，另一类重要的极限定理是所重要的极限定理是所谓“大大数定律数定律”。 在第一章中我在第一章中我们已已经讨论了了“频率的稳定性频率的稳定性”。 大量的重复大量的重复试验中，事件中，事件A发生的生的频率接近某个常数，率接近某个常数，这个常数个常数实际上就是事件上就是事件发生的概率。生的概率。“大数大数”的意思，的意思，就是指就是指试验数目是大量的。数目是大量的
3、。 4记作记作1 1 大数定律大数定律 5几个常见的大数定律几个常见的大数定律定理定理1 1（切比雪夫大数定律）切比雪夫大数定律） 设设 X1,X2, 是相互独立的随机变是相互独立的随机变量序列，它们都有有限的方差，并且量序列，它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即方差有共同的上界，即 D(Xi) C，i=1,2, ，则对任意的则对任意的 有有或或依概率收敛依概率收敛6解释解释: :取值接近于其数学期望的概率接近于取值接近于其数学期望的概率接近于1.当当n充分大时，充分大时，差不多不再是随机的了差不多不再是随机的了,7定理定理2 2（伯（伯努努利利大数定律大数定律）或或 下面给出的伯努利
4、大数定律下面给出的伯努利大数定律, 是是定理定理1的一种特例的一种特例. 设设nA是是n重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件A发生发生的次数，的次数，p是事件是事件A发生的概率，则对任发生的概率，则对任给的给的 ,有有8是事件是事件A发生的频率，发生的频率， 贝努里大数定律表明，当重复试验次数贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分充分大时，事件大时，事件A发生的频率发生的频率nA/n与事件与事件A的概率的概率p有较有较大偏差的概率很小大偏差的概率很小.这就是就是频率稳定性频率稳定性的理的理论解解释。 历史上，史上，贝努利第一个研究了努利第一个研究了这种种类型的极限型的极限定理，在定理，在17
5、131713年年发表的表的论文中文中( (这是概率是概率论的第一篇的第一篇论文文!),!),他建立了以上定理。所以有人他建立了以上定理。所以有人认为，概率，概率论的真正的真正历史史应从出从出现贝努利大数定律的努利大数定律的时刻算起。刻算起。 9 下面给出的独立同分布下的大数定下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在律，不要求随机变量的方差存在. 设随机变量序列设随机变量序列X1,X2, 独立同分布，独立同分布，具有有限的数学期望具有有限的数学期望E(Xi)=, i=1,2,，定理定理3 3（辛钦大数定律辛钦大数定律）辛钦辛钦 辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了辛钦大数定
6、律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径一条实际可行的途径.10 例如要估计某地区的平均亩产量，要收割例如要估计某地区的平均亩产量，要收割某些有代表性的地块，例如某些有代表性的地块，例如n 块块. 计算其平均亩计算其平均亩产量，则当产量，则当n 较大时，可用它作为整个地区平均较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计亩产量的一个估计.11 将一枚均匀对称的骰子重复掷将一枚均匀对称的骰子重复掷n次，求次，求n次掷出次掷出点数的算术平均值依概率收敛的极限点数的算术平均值依概率收敛的极限 例例1 1解解其共同的数学期望为其共同的数学期望为 12 观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随观
7、察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大所起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从则这种量一般都服从或近似服从正态分布正态分布. 在实际问题中，常常在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所需要考虑许多随机因素所产生总影响产生总影响. .2 2 中心极限定理中心极限定理13 中心极限定理，正是从理中心极限定理，正是从理论上上证明，明，对于大量于大量的独立随机的独立随机变量来量来说，只要每个随机，只要每个随机变量在量在总和中和中所占比重很小，那么不所占比重很小，那么不论其中各个随机其中各个随机变
8、量的分布量的分布函数是什么形状，也不函数是什么形状，也不论它它们是已知是已知还是未知，而是未知，而它它们的和的分布函数必然和正的和的分布函数必然和正态分布函数很近似。分布函数很近似。这就是就是为什么什么实际中遇到的随机中遇到的随机变量很多都服从正量很多都服从正态分布的原因，也正因如此，正分布的原因，也正因如此，正态分布在概率分布在概率论和和数理数理统计中占有极其重要的地位。中占有极其重要的地位。 14下面介下面介绍几个常用的中心极限定理。几个常用的中心极限定理。 在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做分布这一类定理都叫做中心极限定理中心
9、极限定理.15 由于无穷个随机变量之和可能趋于由于无穷个随机变量之和可能趋于，故，故我们不研究我们不研究n个随机变量之和本身，而考虑它的个随机变量之和本身，而考虑它的标准化标准化的随机变量的随机变量的分布函数的极限的分布函数的极限.16列维一林德伯格中心极限定理列维一林德伯格中心极限定理17（证略）略） 18此定理此定理说明明, ,当当n充分充分大大时时, ,有有 或或19 将将n个观测数据相加时，首先对小数部分按个观测数据相加时，首先对小数部分按“四舍五四舍五入入”舍去小数位后化为整数试利用中心极限定理估计，舍去小数位后化为整数试利用中心极限定理估计， 例例1 1解解(1) (1) 当当n=
10、 =1500时，舍入误差之和的绝对值大于时，舍入误差之和的绝对值大于15的概率；的概率； (2) (2) n满足何条件时，能以不小于满足何条件时，能以不小于0.90的概率使舍入误差的概率使舍入误差 之和的绝对值小于之和的绝对值小于10 根据列维根据列维- -林德伯格中心极限定理，当林德伯格中心极限定理，当n充分大时充分大时 20(1)(1)21(2)(2) 数据个数数据个数n应满足条件：应满足条件： 即当即当 时，才能使误差之和的绝对值小于时，才能使误差之和的绝对值小于10的的概率不小于概率不小于0.90 22下面下面给出上述定理的一个重要特例。出上述定理的一个重要特例。 棣莫弗棣莫弗- -拉
11、普拉斯定理拉普拉斯定理23或或即有近似即有近似计算公式算公式 24例例2 2 设在某保在某保险公司有公司有1 1万万个人参加投保个人参加投保, ,每人每年每人每年付付120120元保元保险费. .在一年内一个人死亡的概率在一年内一个人死亡的概率为0.006,0.006,死亡死亡时其家属可向保其家属可向保险公司公司领得得1 1万万元元, ,问:(1):(1)该保保险公司公司亏亏本的概率本的概率为多少多少?(2)?(2)该保保险公司一年的利公司一年的利润不不少于少于40,60,8040,60,80万元的概率各是多少万元的概率各是多少? ? 解解 设一年内死亡的人数一年内死亡的人数为X, ,则 由由
12、D- -L中心极限定理中心极限定理, , 即即该保保险公司公司亏亏本的概率本的概率几乎几乎为0.0. 2526 练习：练习：习题五习题五 5. 8. 27解解由中心极限定理知由中心极限定理知, ,补充题补充题28解解 由中心极限定理知由中心极限定理知, ,29 假假设生生产线组装每件成品的装每件成品的时间服从指数分布服从指数分布, ,统计资料表明每件成品的料表明每件成品的组装装时间平均平均为1010分分钟. .设各件各件产品的品的组装装时间相互独立相互独立. . 3.(1)(1)试求求组装装100100件成品需要件成品需要1515到到2020小小时的概率；的概率； (2)(2)以以95%95%
13、的概率在的概率在1616小小时内最多可以内最多可以组装多少件成品装多少件成品? ? 解解 设第第i件件组装的装的时间为Xi分分钟, ,i=1,100.=1,100. 利用独立同分布中心极限定理利用独立同分布中心极限定理. . (1(1) )30(2(2) )查表得查表得 解得解得故故最多可最多可组装装8181件成品。件成品。 31解解由中心极限定理，由中心极限定理， 4.4.某某射射手手打打靶靶, ,得得1010分分、9 9分分、8 8分分、7 7分分、6 6分分的的概概率率分分别别为为0.5,0.3,0.1,0.05,0.05. 0.5,0.3,0.1,0.05,0.05. 现现独独立立射射击击100100次次, ,求总分在求总分在900900分与分与930930分之间的概率分之间的概率 .32
