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1、习题课与讨论课四2006-5-31第五章第五章 微扰实际微扰实际学习重点内容与要求学习重点内容与要求 学习内容学习内容: :1 1非简并定态微扰实际；非简并定态微扰实际；2 2简并情况下的定态微扰实际；简并情况下的定态微扰实际；3 3含时微扰实际和跃迁概率；含时微扰实际和跃迁概率；4 4光光的的发发射射和和吸吸收收系系数数的的普普通通特特点点，选选择择定定那么。那么。 3.了解由动态 跃迁到末态 的概率表达式，特别是周期性微扰下的表达式； 4.了解光的发射与吸收的爱因斯坦系数以及原子内电子由态跃迁到态的辐射强度均与矩阵元的模平方成正比，由此可以确定偶极跃迁中角量子数和磁量数的选择定那么。 要求
2、要求 1. 1.重点掌握非简并定态微扰实际，对于简重点掌握非简并定态微扰实际，对于简并态微扰，及含时微扰等要有根本了解。并态微扰，及含时微扰等要有根本了解。2.2.对于非简并的定态微扰论要求掌握波函数对于非简并的定态微扰论要求掌握波函数一级修正和能极一级、二级修正的计算。一级修正和能极一级、二级修正的计算。 一一. 设一体系未受微扰作用时只需两个非简并能级设一体系未受微扰作用时只需两个非简并能级和，如今遭到微扰的作用，体系的哈密顿算符为和，如今遭到微扰的作用，体系的哈密顿算符为 其中其中a a，b b为常数，用微扰公式求能量至二级近似和为常数，用微扰公式求能量至二级近似和波函数一级近似，然后再
3、用直接的方法求能量算符波函数一级近似，然后再用直接的方法求能量算符的本征值，并将能量本征值与微扰法得到的能量二的本征值，并将能量本征值与微扰法得到的能量二级近似值进展比较。级近似值进展比较。 Solve:能量一级修正：能量一级修正： 能量二级修正：能量二级修正： 能量二级近似：能量二级近似： 设设 和和 为为零零级级近近似似波波函函数数, 那那么么波波函函数数一一级级近近似似直接计算：设直接计算：设 的本征矢为的本征矢为 ，本征值为，本征值为E E，那，那么本征方程为：么本征方程为： 久期方程：久期方程： 由以结果可见由以结果可见, 直接解本征方程得到的能量本征直接解本征方程得到的能量本征值的
4、级数展开式取到二次幂项时值的级数展开式取到二次幂项时, 与微扰方法求得的与微扰方法求得的能量二级近似值一致。能量二级近似值一致。 二. 设在 时，氢原子处在基态，以后由于遭到周期性的均匀电场 的作用而电离，假设电离后的电子的波函数为平面波，求这周期性场的最小角频率和在时辰t时电离态的几率振幅。Solve:Solve:1 1求周期性场的最小角频率。求周期性场的最小角频率。 要要使使氢氢原原子子的的电电子子从从基基态态离离化化，周周期期性性场场的的圆圆频率至少为频率至少为2求离化态的几率振幅求离化态的几率振幅微扰的哈密顿算符是微扰的哈密顿算符是 利用周期微挠的公式利用周期微挠的公式这里这里m m代
5、表末态，代表末态，k k代表初态代表初态 假假设设m态态能能量量大大于于k态态能能量量 ,于于是是由由k态态跃跃迁迁到到m态态时时就就要要吸吸收收光光子子。所所以以吸吸收收时时只只须故虑须故虑 中的第二项，就有中的第二项，就有 为为求求电电离离态态的的几几率率振振幅幅，先先求求(F)mk，初初态态k是是氢原子的基态氢原子的基态未态未态m是平面波是平面波把把 方向取为球极坐标的方向取为球极坐标的 轴方向，并且取轴方向，并且取 平面为平面为x-zx-z平面，那么平面，那么 的方向余弦为的方向余弦为 。这样容易得到。这样容易得到对对 积分，第一项积分得积分，第一项积分得2 ，第二项积分为零，第二项积
6、分为零令令而而 1 . 量量子子力力学学的的波波函函数数与与经经典典的的波波场场有有何何本本质质性性的区别？的区别？ 2 . 2 .己知一微己知一微观粒子以等几率粒子以等几率处在三个能在三个能够位置、位置、和，和，试写出其形状波函数。写出其形状波函数。 三三. 讨论题讨论题答答: : 量子力学的波函数是一种概率波，没有直接可量子力学的波函数是一种概率波，没有直接可测的物理意的物理意义，它的模方表示概率，才有可，它的模方表示概率，才有可测的意的意义；经典的波典的波场代表一种物理代表一种物理场，有直接可，有直接可测的物的物理意理意义。 设厄密算符设厄密算符 满足满足 ， 且且 ，求，求: :1 1在在 表象中，算符表象中，算符 的矩阵表示；的矩阵表示；3 3在在 表象中，算符表象中，算符 的本征值和本征函数；的本征值和本征函数； 解解 1 1由于由于 ，所以算符，所以算符 的本征值是的本征值是 算符算符 在在 表象中的矩阵表象中的矩阵 设算符算符 在在F F表象中的矩表象中的矩阵是是 四、四、 利用利用 ，得，得由于由于 ，故：，故： 算符算符 在在 表象中的矩阵普通地是表象中的矩阵普通地是 2在 表象中，算符 的本征值和本征函数，可由本征值方程得出，在矩阵的方式下的本征值方程是：
