《随机事件及其概率ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《随机事件及其概率ppt课件（123页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、返回返回第一第一节 随机事件及其运算随机事件及其运算第二第二节 随机事件的概率随机事件的概率第三第三节 条件概率条件概率第四第四节 事件的独立性事件的独立性第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率 教学要求教学要求 ：1 1、掌握随机、掌握随机实验, ,样本空本空间和随机事件的概念和随机事件的概念; ; 熟熟习事件之事件之间的关系与运算；的关系与运算；2 2、正确了解随机事件的概率定、正确了解随机事件的概率定义, ,熟熟记概率性概率性质；3 3、熟、熟练掌握古典概型的三掌握古典概型的三类问题：(1).(1).摸球摸球问
2、题；(2).(2).分房分房问题；(3).(3).随机取数随机取数问题. .第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回4 4、掌握条件概率和有关条件概率的三个公式：、掌握条件概率和有关条件概率的三个公式： 乘法公式、全概率公式和乘法公式、全概率公式和贝叶斯叶斯( (逆概率逆概率) )公式公式. .5 5、掌握随机事件和随机、掌握随机事件和随机实验的独立性概念的独立性概念, ,并能熟并能熟练运用；运用；6 6、了解事件的互逆、了解事件的互逆, ,互不相容互不相容( (互斥互斥) )和相互独立三者和相互独立三者之之间的关系的关系. . 学学时数数 ：1010第一章第一章
3、 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回第一节第一节 随机事件及其运算随机事件及其运算一、根本概念一、根本概念 随机随机实验 具有以下特性的具有以下特性的实验称称为随机随机实验( (记为E )E )：3 3、实验可以在一可以在一样条件下反复条件下反复进展展. .1 1、实验的能的能够结果不止一个果不止一个, ,但能事先明确但能事先明确实验的的一切能一切能够的的结果果; ;2 2、进展某一次展某一次实验之前之前, ,不能确定哪个不能确定哪个结果会果会发生生; ;不不满足足3 3的的实验称称为不可反复的随机不可反复的随机实验; ;同同时满足足1,2,31,2,3的称的称为可反复的
4、可反复的. .第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回复合实验复合实验 由一串由一串( (简单) )实验依次各做一次所依次各做一次所组成的成的实验. .记为: : 例例1.1: 1.1: 设有如下有如下实验: : 掷一枚硬一枚硬币, ,察看正察看正(H)(H)反反(T)(T)出出现的的情况情况; ; 袋中有袋中有编号号为1, 2, , n 1, 2, , n 的的n n个球个球, ,从从中任取一个球中任取一个球, ,察看球的察看球的编号号; ;第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回 一个一个质地均匀的陀螺的地均匀的陀螺的圆周上均匀地
5、刻有区周上均匀地刻有区间0,3)上上诸数字数字,在桌面上旋在桌面上旋转它它,当它停下来当它停下来时,察看察看圆周与桌周与桌面接着面接着处的刻度的刻度;将一枚硬将一枚硬币连抛三次抛三次, ,察看正面出察看正面出现的情况的情况; ; 显然然, , 上面上面给出的四个出的四个实验都是随机都是随机实验, ,它它们均均 满足定足定义, ,且且是复合是复合实验. .第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回随机事件随机事件 在一次在一次实验中中, ,能能够发生也能生也能够不不发生生, ,而而在大量的反复在大量的反复实验中具有某种中具有某种统计规律性的事情称律性的事情称为随机事件
6、随机事件( (简称事件称事件),),常以大写字母常以大写字母A, B, CA, B, C的表的表示示. .必然事件必然事件每次每次实验中必然中必然发生的事情生的事情. 记为S(或或 )不能不能够事件事件每次每次实验中必然不中必然不发生的事情生的事情. 记为第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回注注 意意:i i必然事件与不能必然事件与不能够事件本来是描画事件本来是描画绝对型景象型景象的的, ,但但为了方便了方便, ,把它把它们看作特殊的随机事件看作特殊的随机事件; ;iiii根身手件是最根身手件是最简单的随机事件的随机事件, ,实验中的任何中的任何事件都是由根身
7、手件事件都是由根身手件组成的成的. .根身手件根身手件 实验的每一个能的每一个能够的的结果果.(也叫也叫样本点本点)记为e.第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回 例例1.2 1.2 在在E1E1中中, A=, A=出现正面出现正面 是随机事件是随机事件, ,且且是根身手件是根身手件; ; 在在E2E2中中, A1=, A1=取的号码数小于取的号码数小于33是是随机事件随机事件, A2=, A2=取的号码数大于取的号码数大于00是必然事件是必然事件, , A3=A3=取的号码数小于取的号码数小于11是不能够事件是不能够事件, A4=, A4=取的号取的号码是码是
8、nn是根身手件是根身手件. .样本空本空间 在随机在随机实验E中中, 根身手件根身手件(样本点本点)的全体所的全体所组成的集合称成的集合称为样本空本空间,记为S(或或 ). 第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回例例1.3 求求例例1.1实验的样本空间：实验的样本空间： E1的的样本空本空间 S1=H,T; E2的的样本空本空间 S2=1,2,n;E3E3的的样本空本空间S3=0 , 3); S3=0 , 3); E4 E4的的样本空本空间S4= (H T T), T H T), (T T H), (H H S4= (H T T), T H T), (T T H
9、), (H H T), (H T H), (T H H), (H H H), (T T T), (H T H), (T H H), (H H H), (T T T)T)解：解：第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回 例例1.4 1.4 袋中有袋中有5 5只球只球. . 其中有三只红球其中有三只红球, , 编号为编号为1, 1, 2, 3; 2, 3; 有二只黄球有二只黄球, , 编号为一编号为一, , 二二. .现从中任取一只球现从中任取一只球, , E1: E1: 察看颜色察看颜色; E2: ; E2: 察看号码察看号码. . 试分别写出试分别写出E1E1和和
10、E2E2的的样本空间样本空间. .解解:E1的的样本空本空间S1=红, 黄黄;E2的的样本空本空间S2=1, 2, 3 ，一，一, 二二.注注 意意: i样本空本空间是由随机是由随机实验决决议的的,不同的不同的实验具有不同的具有不同的样本空本空间;iiii样本空本空间可以是各种可以是各种对象的集合象的集合, ,即可即可以是数集也可以不是数集以是数集也可以不是数集. .第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回二、事件之间的关系与运算二、事件之间的关系与运算 设E E是随机是随机实验, S, S是是样本空本空间, , 也表示必然事件也表示必然事件,表示不能表示不能够事
11、件事件, ,也表示空集也表示空集. A, B, Ai(i=1, 2, . A, B, Ai(i=1, 2, )是是E E的事件的事件. .1. 子事件子事件:假假设A A发生生, , 那么那么B B发生生. . 称称A A是是B B的子事件的子事件. .2. 相等事件相等事件:3.和和(并并)事件事件: 表示表示A A与与B B中至少有一个中至少有一个发生的事件生的事件. . 第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回推推 广广: : 可列个可列个(或有限个或有限个)事件中至少有一个事件中至少有一个发生的生的事件称事件称为这可列个可列个(或有限个或有限个)的和事件的
12、和事件.记为:4. 4. 积交事件交事件: :表示表示A A与与B B同同时发生的事件生的事件. .记为: :第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回推推 广广 : 有限个有限个( (或可列个或可列个) )事件同事件同时发生的生的事件称事件称为有限个有限个( (或可列个或可列个) )事件的事件的积事件事件. . 记为: :5. 5. 差事件差事件: : 表示表示A A发生而生而B B不不发生的事件生的事件. . 记为: A - : A - B B6. 6. 互不相容事件互不相容事件: : 假假设A与与B不能同不能同时发生生, 即即AB=, 那么称那么称A与与B是互
13、不相容事件是互不相容事件(或称或称为互斥事件互斥事件).第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回7. 7. 对立事件对立事件: : 假假设A A与与B B中有且中有且仅有一个有一个发生生, ,即即AB=SAB=S且且AB=,AB=,那么称那么称A A与与B B是是对立事件立事件, ,或或B B是是A A的的对立事立事件件,A,A的的对立事件立事件记为 (A,B (A,B互互为对立事件立事件).).注注 意意: : i i事件是由根身手件事件是由根身手件组成的成的, ,故它是故它是样本空本空间的子的子集集, ,事件之事件之间的关系与运算完全与集合之的关系与运算完全与
14、集合之间的关系和的关系和运算一致运算一致, , 请见下表下表: :iiii事件运算的性事件运算的性质完全一完全一样于集合运算的性于集合运算的性质. .第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回事件运算的规那么事件运算的规那么 设A A、B B、C C为三事件，那么：三事件，那么：1. 1. 交交换律律: :2.2.结合律合律: :3.3.分配律分配律: :第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回 设设AiAi是有限个或可列个事件是有限个或可列个事件, , 那么那么:
15、:4.(隶莫根定理隶莫根定理):特特别有有:第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回设设A, BA, B为恣意二事件为恣意二事件, , 易证易证: :(1). (2). (3). (4).(5).第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回 例例1.5 1.5 设设A, B , CA, B , C为三事件为三事件, ,试用事件的运算试用事件的运算关系表示以下事件关系表示以下事件: :(1)A, B C (1)A, B C 都发生都发生; ; (2)A, B , C(2)A, B , C都不发生都不发生; ; (3)A, B, C(3)A,
16、 B, C中至少有一个发生中至少有一个发生; ;(4)A, B, C(4)A, B, C中最多有一个发生中最多有一个发生; ;(5)A, B, C(5)A, B, C中至少有两个发生中至少有两个发生; ;(6)A, B, C(6)A, B, C中最多有两个发生中最多有两个发生. .第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回解解:(1)A, B, C都都发生生 =(2)A, B, C都不都不发生生 =都都发生生ABC(3)A, B, C中至少有一个中至少有一个发生生 =第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回(4)A,B,C中最多有一个中
17、最多有一个发生生=A,B,C都不都不发生或只生或只需一个需一个发生生(5)A,B,C中至少有两个中至少有两个发生生(6)A,B,C中最多有两个中最多有两个发生生第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回注注 意意: : i i我我们所思索的事件的运算是所思索的事件的运算是对同一个同一个实验中的事件而言的中的事件而言的; ;iiii事件事件A A不不发生生, , 那么它的那么它的对立事件一定立事件一定发生生; ;iiiiii只需事件只需事件A A包含的根身手件出包含的根身手件出现，就，就说A A发生生. .第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率
18、返回返回 例例1.6 E: 1.6 E: 某地域有某地域有100100人是人是19201920年出生的，调查年出生的，调查到到20212021年还有几个人活着年还有几个人活着. . (1) E(1) E的样本空间是什么？的样本空间是什么？(2)(2)设设A=A=只需只需5 5人活着人活着 ； B= B=至少有至少有5 5人活着人活着; ; C= C=最多有最多有4 4人活着人活着. . 那么那么A A与与B, AB, A与与C, BC, B与与C C能否互不相容？能否互不相容？A, B, CA, B, C的对的对立事件是什么？立事件是什么？第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事
19、件的概率返回返回解解1 1e0=e0=无人活到无人活到20212021年年,e1=e1=有有1 1人活到人活到20212021年年,e2=e2=有有2 2人活到人活到20212021年年,e100=e100=有有100100人活到人活到20212021年年 这就是就是E E的一切能的一切能够结果果( (根身手件根身手件),E),E的的样本空本空间有上面有上面101101个根身手件构成个根身手件构成, ,即即: :第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回(2)由于由于:故故A A与与B B相容相容, A, A与与C, BC, B与与C C都互不相容都互不相容, ,
20、且且: :第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回第二节第二节 随机事件的概率随机事件的概率一、概率的一、概率的统计定定义 设事件事件A A在在n n次反复独立次反复独立实验中中发生了生了rArA次次, ,那么比那么比值rA/nrA/n叫做叫做n n次次实验中中A A发生的生的频率率, ,记作作: :W (A) = r A / nW (A) = r A / n由定由定义知知频率具有如下性率具有如下性质: :1.频率率第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回注注 意意: 1 频率越大率越大,A发生的能生的能够性越大，并且，性越大，并且，
21、频率具有率具有稳定性，即当定性，即当实验次数次数n充分大充分大时，频率率w(A)在在0, 1上的某一个确定的数上的某一个确定的数p附近附近摆动，即，即以以p为“稳定中心，定中心，这时 w(A)p. 2 2 A A发生的能生的能够性大小称性大小称为A A的概率的概率. .由由频率率的特性知，事件的特性知，事件发生的能生的能够性大小是事件本身所固性大小是事件本身所固有，不以人有，不以人们客客观意志而改意志而改动的客的客观属性，于是我属性，于是我们可以借助于可以借助于频率来定率来定义概率概率. .第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回2.概率的统计定义概率的统计定义
22、定定义1 随着随着实验次数次数n的增大的增大,事件事件A发生的生的频率率w(A)在在0, 1上某一个数上某一个数p附近附近摆动,那么定那么定义事件事件A的概率的概率为p,记为P(A)=P.3.概率的性概率的性质 设E为实验, S为样本空本空间, 也表示必然事件也表示必然事件, 表表示不能示不能够事件事件, A, B, Ai (i=1,2, )表示事件表示事件,那么有那么有:(3)假设Ai(i=1,2,)是有限个两两互不相容事件,那么有:第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回二、古典概率二、古典概率1.古典概型古典概型设E E是是实验，S S是是E E的的样本空本
23、空间，假，假设满足足(1) S(1) S只含有有限多个只含有有限多个样本点本点; (; (有限性有限性) )(2)(2)每个根身手件每个根身手件发生的能生的能够性相等性相等.(.(等能等能够性性) )那么称那么称E E为古典概型或等能古典概型或等能够概型概型. .第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回2.概率的古典定义概率的古典定义3.古典概率的性古典概率的性质第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回三、几何概型三、几何概型具有以下特点的概率具有以下特点的概率问题称之称之为几何概型几何概型: :(1)(1)有一个可度量的几何有一个可
24、度量的几何图形形S, S, 实验E E看成在看成在S S中随中随机地投机地投掷一点一点, , 即即S S为样本空本空间. . 而事件而事件A A就是所就是所投投掷的点落在的点落在S S中的可度量中的可度量图形形A A中中. .(2)(2) 事件事件A A的概率与的概率与A A的度量的度量L(A)L(A)成正比成正比. . ( (其中其中:L:L表示表示测度度, , 即度量即度量, , 指指长度度, , 面面积或体或体积. ). )几何概率也几何概率也满足非足非负性性,规范性范性,有限可加性有限可加性.定定义3 3 在几何概型下在几何概型下, ,事件事件A A的概率定的概率定义为第一章第一章 随
25、机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回四、概率的公理化定四、概率的公理化定义定定义4 4 设A A是一非空集合是一非空集合, , 且且S=e, FS=e, F是是S S的一些子的一些子集集( (不用是全体子集不用是全体子集) )所所组成的集成的集类, ,假假设满足下面条足下面条件件: : 那么称那么称F F为S S上的一个上的一个事件域事件域(代数代数),),称称F F中中的集的集A A为事件事件. .第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回定义定义5 5 设P(*)P(*)是事件域是事件域F F上的上的实值集函数集函数, ,对每每一事件一事件A
26、A赋予一个予一个实数数P(A),P(A),假假设P(*)P(*)满足下面足下面三条件三条件: :(1). 对恣意事件恣意事件AF, AF, 有有0 P(A). (0 P(A). (非非负性性) )(2).P(S)=1. P(S)=1. ( (完完备性性) ) (3). ( (可列可加性可列可加性) ) 那么称那么称P(A)P(A)为A A的概率的概率. .这时称三元称三元总体体(S, (S, F, P)F, P)为概率空概率空间. .第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回 iiii概率的概率的统计定定义和公理化定和公理化定义都未都未给出出计算概率的算概率的详细公
27、式公式, ,而在而在实践运用中践运用中, ,有些特殊有些特殊的概率是可以用的概率是可以用简单公式来公式来计算的算的, ,如古典概率如古典概率. .留意留意:i i概率的概率的统计定定义直直观, , 详细, , 但不但不够严厉, ,不不便于便于实际研研讨; ;公理化定公理化定义严厉, ,便于便于实际研研讨, ,但但比比较笼统, ,对农科学生只需了解此定科学生只需了解此定义. .第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回概率的性质概率的性质第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率
28、返回返回第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回BA第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回证明证明: :第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回普通加法公式中的求和号普通加法公式中的求和号“是是对一切一切满足足1ijtn 的下的下标进展的展的.即即积事件中各事件的事件中各事件的陈列次序是按下列次序是按下标由小到由小到大大陈列的列的,这样, n个事件按下个事件按下标陈
29、列列虽有有n!种排法种排法,但只取其但只取其中一种即中一种即A1A2An. 由此可由此可计算出普通加法公式中算出普通加法公式中,含有含有总项数数:留意留意:第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回例例1.8 1.8 某城市共发行某城市共发行A,B,CA,B,C三种报纸三种报纸. .调查阐明居民家庭中订购调查阐明居民家庭中订购C C报的占报的占30%.30%.同时订同时订A,BA,B两报的占两报的占10%,10%,同时订同时订A,CA,C及及B,CB,C两报的各两报的各8%,5%.8%,5%.三报
30、都订的占三报都订的占3%.3%.今在该城中任找一户今在该城中任找一户. .问该户问该户(1)(1)只订只订A,BA,B两报两报;(2);(2)只订只订C C报的概率各为多少报的概率各为多少? ?第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回 1. 古典概型是一种非常重要的概率模型古典概型是一种非常重要的概率模型, ,在概率在概率论开展开展的初期曾的初期曾经是主要的研是主要的研讨对象象, ,今天仍是学今天仍是学习概率概率统计的根底的根底. .在在实践践问题中如何判中如何判别一个一个实验能否是古能否是古典概型呢典概型呢? ?有限性往往比有限性往往比较容易判容易判别, ,主要
31、是等能主要是等能够性性的的问题. .在在样本空本空间中中, ,当没有理由以当没有理由以为某些根身手件某些根身手件发生的能生的能够性比另一些根身手件出性比另一些根身手件出现的能的能够性大性大时, ,我我们可以以可以以为每个根身手件出每个根身手件出现的能的能够性相等性相等, ,即都即都等于等于1/n.1/n.古典概率的计算古典概率的计算按古典概型公式按古典概型公式计算出的概率符合概率的算出的概率符合概率的统计定定义, ,即即是是频率的率的“稳定中心定中心; ;同同时P(A)P(A)满足公理化定足公理化定义的三公的三公理理. .2.第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返
32、回 3. 古典概率的计算步骤古典概率的计算步骤: :(1). (1). 弄清随机弄清随机实验是什么是什么? (? (判判别有限性和等能有限性和等能够性性););(2). (2). 样本空本空间S S是怎是怎样构成的构成的? (? (对于复于复杂问题, ,只需求只需求求出根身手件的个数求出根身手件的个数n),n),(3). (3). 调查所所讨论的事件的事件A. (A. (求出求出A A所含的根身手件个数所含的根身手件个数r);r);(4). (4). 利用公式利用公式P(A)= r/ n , P(A)= r/ n , 计算出算出P(A). P(A). 第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机
33、事件及随机事件的概率返回返回一、一、 摸球问题摸球问题 (产品的随机抽样问题产品的随机抽样问题 ) 例例1.9 1.9 袋中有袋中有5 5个个红球球, 3, 3个黄球个黄球, , 从中一次随机从中一次随机地摸出两个球地摸出两个球, , 求摸出的两球都是求摸出的两球都是红球的概率球的概率. .解解: :E: E: 从从(5+3)(5+3)个球中等能个球中等能够地任取两球地任取两球, , 察看察看颜色色. .S S含有根身手件数含有根身手件数为: :设 A= A=所取二球全所取二球全红, , 那么那么A A含有的根身手件个数含有的根身手件个数为: :第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及
34、随机事件的概率返回返回 例例1.10 1.10 袋中有袋中有编号号为1, 2, , 101, 2, , 10的十个球的十个球, ,从中从中一次恣意取出三个球一次恣意取出三个球, ,试求取出的三球中恰好是一个求取出的三球中恰好是一个编号小于号小于5, 5, 一个一个编号大于号大于5, 5, 一个一个编号等于号等于5 5的概率的概率. .解解: E: E: 从从1010个球中任取三个察看个球中任取三个察看编号号. .S S含有的根身手件数含有的根身手件数为: :设 A= A=所取三球中所取三球中, ,一个小于一个小于5,5,一个大于一个大于5,5,一个等于一个等于55那么那么A A含有的根身手件数
35、含有的根身手件数为: :第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回 例例1.11 1.11 某人有某人有5 5把钥匙把钥匙, ,其中有其中有2 2把房门钥匙把房门钥匙, ,但忘了开房门但忘了开房门的是哪二把的是哪二把, ,只好逐把试开只好逐把试开. .问此人在三次内翻开房门的概率是问此人在三次内翻开房门的概率是多少多少? ?解解:E: E: 从从5 5把把钥匙中恣意匙中恣意选三把三把( (每次一把每次一把) )逐把逐把试开放开放门( (试后不放回后不放回).).S S含有的根身手件含有的根身手件总数数为: :设 A= A=三次内翻开房三次内翻开房门, = , = 三
36、次都打不开房三次都打不开房门 那么那么 含有的根身手件数含有的根身手件数为: :第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回 例例1.12 1.12 盒中有盒中有6 6只灯泡只灯泡, ,其中有其中有2 2只次品只次品,4,4只正品只正品, ,有放有放回地从中任取两次回地从中任取两次, ,每次取一只每次取一只, ,试求以下事件的概率试求以下事件的概率: :A=A=取到的二只都是次品取到的二只都是次品 B=B=取到的二只中正、次品各一只取到的二只中正、次品各一只 C=C=取到的二只中至少有一只正品取到的二只中至少有一只正品 解解:E: 从从6只灯泡中有放回地抽取只灯泡中有
37、放回地抽取2只只,察看正品与次品出察看正品与次品出现情况情况. S含有的根身手件含有的根身手件总数数为:A含有的根身手件数含有的根身手件数为:第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回设 B1= B1=第一次取正品第一次取正品, ,第二次取次品第二次取次品 B2= B2=第一次取次品第一次取次品, ,第二次取正品第二次取正品 B=B1B2, B=B1B2, 显然然B1B1与与B2B2互不相容互不相容第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回例例1.13 将将例例1.12中的有放回地抽取两次中的有放回地抽取两次,改改为无放回地抽取两次为无放
38、回地抽取两次,其它条件不变其它条件不变,试求试求A, B, C的概率的概率.解解:E: “E: “从从6 6只灯泡中无放回地抽取两次只灯泡中无放回地抽取两次, ,每次一只每次一只, ,察看正品与次品察看正品与次品发生的情况生的情况. S. S含有的根身含有的根身手件手件总数数为: :A含有的根身手件数含有的根身手件数为:第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回B含有的根身手件数含有的根身手件数为:第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回*例例1.14 1.14 将将 例例1.121.12中的取法改为一次抽取中的取法改为一次抽取二只二只
39、, ,其它条件不变其它条件不变, ,试求试求A, B, CA, B, C的概率的概率. .解解:E: “E: “从从6 6只灯泡中只灯泡中, ,一次取出二只一次取出二只, ,察看正品与察看正品与次品次品发生的情况生的情况. S. S含有的根身手件含有的根身手件总数数为: :A A含有的根身手件数含有的根身手件数为: :B B含有的根身手件数含有的根身手件数为: :第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回注注 意意: 从从产品中任抽一件品中任抽一件进展展检验之后放回原之后放回原产品中品中, ,再抽一件再抽一件进展展检验, ,以致以致进展数次展数次, ,这种抽种抽取取
40、产品的方式叫有放回抽品的方式叫有放回抽样, ,假假设每次抽取的每次抽取的产品品都不放回原都不放回原产品中品中, ,那么叫无放回抽那么叫无放回抽样. .第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回例例1.15 袋中有袋中有a 个白球个白球, b 个黑球个黑球,从中恣意地延从中恣意地延续一个一个地摸出一个一个地摸出k+1个球个球(k+1a+b),每次摸出的球不放回袋中每次摸出的球不放回袋中,试求最后一次摸到白球的概率求最后一次摸到白球的概率.解解: S含有的根身手件含有的根身手件总数数为:设 A=在摸出的在摸出的k+1个球的个球的陈列中列中,最后一个是白球最后一个是白球,
41、那么那么A含有的根身手件数含有的根身手件数为:第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回注注 意意: 例例1.151.15中所求事件的概率与中所求事件的概率与k k无关，即每一无关，即每一次摸到白球的概率是一次摸到白球的概率是一样的，的，这是抽是抽签问题的模型，的模型，即抽即抽签时各人各人时机均等，与抽机均等，与抽签的先后的先后顺序无关，序无关，所以抽所以抽签不用争先恐后不用争先恐后. .第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回二、分房问题二、分房问题( (球在盒中的分布问题球在盒中的分布问题) )例例1.16 将张三将张三, 李四李四
42、, 王五王五3人等能够地分配到三人等能够地分配到三间房中去间房中去,试求每个房间恰有一人的概率试求每个房间恰有一人的概率.解解: :E:E:将三人等能将三人等能够地分配到三地分配到三间房中去房中去. .S S含有的根身手件含有的根身手件总数数为: : 设 A= A=每个房每个房间恰有一人恰有一人,那么那么A A含有的根身手含有的根身手件数件数为: 3!=6: 3!=6第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回 例例1.17 1.17 将将n n个人等能个人等能够的分配到的分配到N(nN)N(nN)间房中房中的每一的每一间去去, ,试求以下事件的概率求以下事件的概率:
43、 :A=某指定的某指定的n间房中各有一人房中各有一人;B=恰有恰有n间房各有房各有1人人;C=某指定的一某指定的一间房中恰有房中恰有m个人个人(mn)解解:E: E: 将将n n个人等能个人等能够地分配到地分配到N N间房中去房中去那么那么S S含有的根身手件含有的根身手件总数数为: :第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回A含有的根身手件数含有的根身手件数为: 又又B含有的根身手件数含有的根身手件数为:第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回C含有的根身手件数含有的根身手件数为:注注 意意: 分房分房问题中的人与房子普通都是有个中
44、的人与房子普通都是有个性的性的, ,处置置这类问题是将人一个一个地往房是将人一个一个地往房间里里面分配面分配( (看成复合看成复合实验).).处置置实践践问题时, ,要分清要分清什么是什么是“人人, ,什么是什么是“房房, ,不可不可颠倒倒. .常遇到的常遇到的分房分房问题有有: n: n个人的生日个人的生日问题; n; n封信装入封信装入n n个个信封的信封的问题( (配配对问题).).分房分房问题有有时也叫球在也叫球在盒中的分布盒中的分布问题. .第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回 例例1.18 1.18 某年级有某年级有1010名大学生是名大学生是19
45、861986年出生的年出生的, ,试试求以下事件的概率求以下事件的概率: :(1).(1).至少有两人同年同月同日生至少有两人同年同月同日生; ;(2).(2).至少有一人在十月一日过生日至少有一人在十月一日过生日. .解解:E: E: 调查1010人的生日是一年中的哪一天人的生日是一年中的哪一天( (将将1010人人的生日分配到一年的的生日分配到一年的365365天中去天中去).).S S含有的根身手件含有的根身手件总数数为: :(1).(1).设 A= A=至少有二人同年同月同日生至少有二人同年同月同日生;= = 没有任何二人的生日是同一天没有任何二人的生日是同一天 那么那么 含有的根身手
46、件数含有的根身手件数为: :第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回(2).(2).设 B= B=至少有一人的生日在十月一日至少有一人的生日在十月一日;=无一人的生日在十月一日无一人的生日在十月一日.含有的根身手件数含有的根身手件数为: :第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回 例例1.19 1.19 号号码是由是由0, 1, 2, 90, 1, 2, 9等等1010个数字个数字中的恣意中的恣意i i个个(i=1,2,3,4,5)(i=1,2,3,4,5)数字所数
47、字所陈列成的五位数列成的五位数( (包包括括0 0排在首位排在首位),),求号求号码由完全不同的数字由完全不同的数字组成的概率成的概率. .故故样本空本空间S含有的根身手件含有的根身手件总数数为:设 A= 号号码由由5个完全不同的数字个完全不同的数字陈列而成列而成那么那么A含有的根身手件数含有的根身手件数为:解解:我我们可以把号可以把号码的五个数看成的五个数看成5个人个人, 而把而把0,1,2,3,.9等等10个数字看成个数字看成10间房房第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回三、随机取数问题三、随机取数问题例例1.20 在在0-9这十个数字中无反复地恣意取十个
48、数字中无反复地恣意取4个数个数字字,试求所取的求所取的4个数字能个数字能组成四位偶数的概率成四位偶数的概率.解解: E: E: 从十个数字中任取从十个数字中任取4 4个个进展展陈列列 那么那么S S含有的根身手件含有的根身手件总数数为: :设 A= A=排成的是四位偶数排成的是四位偶数,那么那么A A含有的根身手件数含有的根身手件数为: : 第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回例例1.21 从从1, 2, 3, 4, 5这五个数字中等能够地这五个数字中等能够地, 有有放回地延续抽取放回地延续抽取3个数字个数字,试求以下事件的概率试求以下事件的概率:A=A=三个
49、数字完全不同三个数字完全不同; ; B=B=三个数字中不含三个数字中不含1 1和和5;5;C=C=三个数字中三个数字中5 5恰好出现两次恰好出现两次;D=D=三个数字中至少有一次出现三个数字中至少有一次出现5.5.解解:E: E: 从从5 5个数字中有放回抽取个数字中有放回抽取3 3个数字个数字. .那么那么S S含含有的根身手件有的根身手件总数数为: 53: 53第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回调查A: A: 相当于从相当于从5 5个数字中恣意个数字中恣意选取取3 3个个进展展陈列列, ,故故A A含有的根身手件数含有的根身手件数为:A53:A53调查B
50、: B: 三个数字中不含三个数字中不含1 1和和5,5,只能在只能在2, 3, 42, 3, 4三个三个数字中数字中选取取, ,每次有每次有3 3种取法种取法, ,故故B B含又的根身手件数含又的根身手件数为: 33: 33第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回调查C: C: 三个数字中三个数字中5 5恰好出恰好出现两次两次, ,可以是三次中的可以是三次中的恣意两次恣意两次, ,出出现的方式有的方式有 种种, ,剩下的一次只能从剩下的一次只能从1, 1, 2, 3, 42, 3, 4中任取一个数字中任取一个数字, ,有有4 4种取法种取法, ,故故C C含有的根
51、身含有的根身手件数手件数为: :调查 : = : =三个数字中三个数字中,5,5一次也不出一次也不出现,阐明明三次抽取都是在三次抽取都是在1, 2, 3, 41, 2, 3, 4中任取一个数字中任取一个数字, ,故故 含有含有4343个根身手件个根身手件. .第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回 例例1.22 1.22 从从1-1001-100的一百个整数中任取一数的一百个整数中任取一数, ,试求求取到的整数能被取到的整数能被6 6或或8 8整除的概率整除的概率. .解解: : E: E: 从从1, 2, 3, ,1001, 2, 3, ,100中任取一数中任
52、取一数. .显然然S S含含有有100100个根身手件个根身手件设 A= A=取到的数能被取到的数能被6 6整除整除 ，B=B=取到的数能被取到的数能被8 8整除整除 ，C=C=取到的数能被取到的数能被6 6或或8 8整除整除 显然然: :第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回调查A: A: 设100100个整数有个整数有x x个能被个能被6 6整除整除, ,那么那么6x100,6x100,故故x=16x=16即即A A含有含有1616个根身手件个根身手件; ;调查B: B: 设100100个整数中有个整数中有y y个能被个能被8 8整除整除, ,那么那么8y1
53、00,8y100,故故y=12y=12即即B B含有含有1212个根身手件个根身手件; ;调查AB: AB: 能被能被6 6整除又能被整除又能被8 8整除的数就是能被整除的数就是能被2424整整除的数除的数, ,设共有共有z z个个, ,那么那么24z100,24z100,故故z=4.z=4.即即ABAB含有含有4 4个根身手件个根身手件. .第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回 例例1.23 1.23 一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有有0 , 5) 0 , 5) 上诸数字上诸数字, , 在桌面上旋转它在桌面上旋转它, ,
54、 求当它停求当它停下来时下来时, , 圆周与桌面接触处的刻度位于区间圆周与桌面接触处的刻度位于区间2 , 2 , 2.52.5上的概率上的概率. .解解:S = 0 , 5) , A= 2 , 2.5 , S = 0 , 5) , A= 2 , 2.5 , L(S) =5-0=5, L(S) =5-0=5, L(A)=2.5-2=0.5L(A)=2.5-2=0.5几何概率的计算几何概率的计算第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回 例例1.24 (1.24 (约会问题约会问题) ) 甲乙二人相约上午甲乙二人相约上午7 7点到点到8 8点之间点之间于某地会面于某地会
55、面, , 先到者等候另一人先到者等候另一人2020分钟分钟, , 过时就离去过时就离去. . 试求试求两人能会面的概率两人能会面的概率. .解解: 设 x , y x , y 分分别表示甲乙二人到达会面地点的表示甲乙二人到达会面地点的时间, ,那么能会面的充要条件是那么能会面的充要条件是: : 假假设把以把以6060为边长的正方形的正方形看成看成样本空本空间S, S, 那么那么A=A=两人能会面两人能会面 就是不等式所表示的区域就是不等式所表示的区域, ,如右如右图所示所示. .y yo20 6060 20 Ax第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回m0第一章第
56、一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回第三节第三节 条件概率条件概率一、条件概率一、条件概率定定义1 1 设实验E, SE, S是是E E的的样本空本空间, A, B, A, B是是E E的事的事件件, , 且且P(A) 0,P(A) 0,那么称那么称 : :为事件事件A A已已发生的条件下生的条件下, B, B发生的条件概率生的条件概率. .1.1.条件概率的定条件概率的定义第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回注注 意意 :(i)(i)条件概率条件概率满足概率的三公
57、理足概率的三公理, , 具有概率的普通性具有概率的普通性质; ;(ii)(ii)对于古典概型于古典概型, , 假假设S S由由n n个根身手件个根身手件组成成, A, A由由m m个根个根身手件身手件组成成( m 0), AB( m 0), AB由由k k个根身手件个根身手件组成成, , 那么那么: :这时, , 把作把作为条件的事件条件的事件A=SAA=SA看作看作缩减的减的样本空本空间. .(iii)(iii)定定义可推行到可推行到: :第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回2.2.条件概率的性质条件概率的性质第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及
58、随机事件的概率返回返回例例1.26 验证条件概率满足概率的三公理验证条件概率满足概率的三公理.证: (1) (2)(3)第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回 例例1.27 1.27 袋中有袋中有1616个球个球, ,颜色与资料如下表所示颜色与资料如下表所示: : 现从中恣意摸取一个球现从中恣意摸取一个球, , 假设知摸到的是红假设知摸到的是红球球, , 那么这红球是木质球的概率是多少那么这红球是木质球的概率是多少? ?解解1:1:E : E : 从从1616个球中人取一个个球中人取一个, , 察看察看颜色和色和资料料. .那么那么S S含有含有1616个根身手
59、件个根身手件. .设A=A=摸到的是摸到的是红球球, B=, B=摸到的是木摸到的是木质球球 题中要求的概中要求的概论率是率是P(B/A)P(B/A)木质球木质球玻璃球玻璃球红球红球2437黄球黄球第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回解解2:2:由于由于S S含有含有1616个根身手件个根身手件, A, A含有含有5 5个根身手件个根身手件, , ABAB含有含有2 2个根身手件个根身手件, ,第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回二、乘法公式二、乘法公式 设E E是是实验, S, S是是E E的的样本空本空间, A, B, ,
60、 A, B, Ai(i=1,2,n)Ai(i=1,2,n)是是E E的事件的事件, , 且且P(A) 0, (P(A) 0, (或或P(B) 0), P(B) 0), P(A1A2An-1) 0, P(A1A2An-1) 0, 那么有那么有: :第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回 例例1.28 1.28 一批灯泡共一批灯泡共100100只只, ,次品率为次品率为10%. 10%. 不放回抽取三次不放回抽取三次, , 每次一只每次一只, , 求第三次才获得合各格品的概率求第三次才获得合各格品
61、的概率. .解解:设Ai=Ai=第第i i次次获得合格品得合格品, i=1, 2, 3. , i=1, 2, 3. 显然所求的概率是然所求的概率是P(P(第一次取次品且第二次取次品且第三次取合格品第一次取次品且第二次取次品且第三次取合格品) )第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回例例1.29 七人抓阄七人抓阄, 其中其中6张空票张空票, 1张戏票张戏票. 求每个人抓到求每个人抓到戏票的概率是多少戏票的概率是多少?解解 1:设 Ai= Ai=第第i i个人才抓到个人才抓到戏票票 Bi= Bi=第第i i次抓到次抓到戏票票. i=1, 2, 7. i=1, 2,
62、7第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回解解2:此此题可了解可了解为, , 一次一次把七一次一次把七张票无放回地取票无放回地取完完, , 那么那么样本空本空间为: :最后一人最后一人获得得戏票票为:第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回 例例1.30 1.30 某人有某人有5 5把钥匙把钥匙, ,其中有其中有2 2把房门钥匙把房门钥匙, ,但忘了但忘了开房门的是哪二把开房门的是哪二把, ,只好逐把试开只好逐把试开. .问此人在三次内翻开问此人在三次内翻开房门的概率是多少房门的概率是多少? ?第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随
63、机事件及随机事件的概率返回返回第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回三、全概率公式三、全概率公式 定定义2 2 设E E是是实验, S, S是是样本空本空间( (或必然事件或必然事件), B, ), B, AiAi是是E E的事件的事件(i=1, 2, n), (i=1, 2, n), 且且满足足: :(1)(2)第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回四、逆概率公式四、逆概率公式定理定理2 (2 (贝叶斯公式叶斯公式) )在全概率公式的条件下在全概率公式的条件下
64、, , 假假设P(B) 0P(B) 0那么有那么有逆概率公式逆概率公式( (简称逆概公式称逆概公式):):第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回 留意留意: :在全概和逆概公式中的在全概和逆概公式中的AiAi是是导致致实验结果的果的各种各种缘由由, P(Ai) (i=1, 2, n) , P(Ai) (i=1, 2, n) 是各种是各种缘由由发生的生的概率概率, , 称称为先先验概率概率, , 普通是由普通是由实践践阅历给出的出的. . P(Ai/B)P(Ai/B)称称为后后验概率概率, , 它反映了它反映了实验之后各种之后各种缘由由AiAi发生的概率的新生的概
65、率的新结果果, , 是是P(Ai)P(Ai)的修正的修正值. . 凡是知凡是知实验结果果, , 要找某种要找某种缘由由发生的能生的能够性性, , 即知信息即知信息, , 问信信息来自何方的息来自何方的问题, , 可用逆概公式来可用逆概公式来处理理. .第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回 例例1.32 1.32 设甲箱中有设甲箱中有a a个白球个白球, b, b个红球个红球, (a , (a 0, b 0), 0, b 0), 乙箱中有乙箱中有c c个白球个白球, d, d个红球个红球(c0,d0). (c0,d0). 从甲箱中任取一球放入乙箱中从甲箱中任取一
66、球放入乙箱中, ,然后再从乙箱中任取然后再从乙箱中任取一球一球, , 试求从乙箱中取到的球为白球的概率试求从乙箱中取到的球为白球的概率. .解解1 :设B=B=从乙箱中取到的球从乙箱中取到的球为白球白球, B, B是是实验结果果. .A1=A1=从甲箱中取出的球从甲箱中取出的球为白球白球 A2=A2=从甲箱中取出的球从甲箱中取出的球为红球球 白白a, a, 红b b白白c, c, 红d dA1=A1=从甲箱中取出白球从甲箱中取出白球A2=A2=从甲箱中取出从甲箱中取出红球球B=B=从乙箱中取白球从乙箱中取白球第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回第一章第一章 随
67、机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回解解2 :设A1=A1=从乙箱中取出的球原是甲箱中的从乙箱中取出的球原是甲箱中的 A2= A2=从乙箱中取出的球是原在乙箱中的从乙箱中取出的球是原在乙箱中的 显然然第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回例例1.33 某仓库有同样规格的产品某仓库有同样规格的产品6箱箱, 其中有其中有3箱箱, 2箱和箱和1箱依次是由甲箱依次是由甲, 乙乙, 丙三个厂家消费的丙三个厂家消费的, 且三厂且三厂的次品率分别为的次品率分别为1/10, 1/15, 1/20. 现从这现从这6箱中任取一箱箱中任取一箱, 再从获得的一箱中任取
68、一件再从获得的一箱中任取一件, 试求获得的一件是次品试求获得的一件是次品的概率的概率.解解: 设 B = B = 获得的一件是次品得的一件是次品 A1= A1= 获得的一件是甲厂消得的一件是甲厂消费的的 A2 =A2 =获得的一件是乙厂消得的一件是乙厂消费的的 A3 =A3 =获得的一件是丙厂消得的一件是丙厂消费的的 第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回由题意得由题意得:在在6 6箱箱产品中品中, , 甲甲, , 乙乙, , 丙三厂分丙三厂分别占占3/6, 2/6, 1/6, 3/6, 2/6, 1/6, 即有即有: :故由全概率公式得故由全概率公式得:第一章
69、第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回 例例1.34 1.34 在在 例例1.331.33中中, , 假设知获得的一件假设知获得的一件是次品是次品, , 试求所获得的产品是丙厂消费的概率试求所获得的产品是丙厂消费的概率. .解解:A1, A2, A3, B A1, A2, A3, B 如如 例例1.331.33所所设事件，依事件，依题意，意， 知知结果果B B已已发生生, , 要求第三个要求第三个缘由由发生的概率，生的概率，那么用逆概公式：那么用逆概公式：第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回 例例1.35 1.35 设用一种化验来诊断
70、某种疾病设用一种化验来诊断某种疾病, , 患该病的患该病的人中有人中有90%90%呈阳性反响呈阳性反响, , 而未患该病的人中有而未患该病的人中有5%5%呈阳性呈阳性反响反响, ,该人群中有该人群中有1%1%的人患这种疾病的人患这种疾病. .假设某人做这种化假设某人做这种化验呈阳性反响验呈阳性反响, ,那么他患这种疾病的概率是多少那么他患这种疾病的概率是多少? ?第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回第四节第四节 事件的独立性事件的独立性一、事件的独立性一、事件的独立性 定定义 1 1 设 Ai (i=1, 2, n) Ai (i=1, 2, n)是是E E的事
71、件的事件, , 假假设对恣恣意一意一组数数k1, k2, ks(2sn; k1, k2, ks(2sn; 每每组数数k1, k2, k1, k2, ksks取取1, 2, n1, 2, n中中s s个不同的个不同的值) )有有: : 那么称事件那么称事件A1, A2, AnA1, A2, An相互独立相互独立. .第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回(1)必然事件必然事件S与恣意事件与恣意事件B相互独立相互独立(2)不能不能够事件事件与恣意事件与恣意事件B相互独立相互独立显然第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回留意留意:i i
72、 假假设Ai(i=1, 2, n)Ai(i=1, 2, n)中恣意多个事件的中恣意多个事件的积事件事件的概率等于每一个的概率之的概率等于每一个的概率之积, , 那么称那么称AiAi相互独立相互独立, ,故故定定义的等式是一的等式是一组等式等式, ,包含有包含有: :个等式个等式. .iiii 假假设A1, A2,AnA1, A2,An中恣意两个事件是相互独立的中恣意两个事件是相互独立的, , 那么称那么称A1, A2,AnA1, A2,An两两独立两两独立, , 相互独立一定两两独立相互独立一定两两独立; ; 反之不然反之不然. .iiiiii事件的独立性事件的独立性经常不是根据定常不是根据定
73、义来判来判别的的, , 而是而是根据根据实践践问题来判来判别. .第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回其他两个同理可其他两个同理可证.(略略)由事件的独立性可以推出以下命题由事件的独立性可以推出以下命题:第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回例1.36 设某种型号的炮,每一门(只发射一枚炮弹)击中敌机的概率为0.6.现有假
74、设干门同时发射,问要以99%的把握击中敌机,至少需求配置几门炮弹?第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回 例例1.38 1.38 袋中装有袋中装有a a个白球个白球, b, b个黑球个黑球, , 每次有放回每次有放回地从中恣意取一个地从中恣意取一个, , 直到获得白球为止直到获得白球为止. . 试求取出的试求取出的黑球数恰好是黑球数恰好是k k的概率的概率. .解解: :E : E : 从从a+ba+b个球中有放回地恣意取一个个球中有放回地恣意取一个, , 直到直到获得得白球白球为止止. .设
75、 Ai= Ai= 第第i i次次获得白球得白球,i=1,2, ,i=1,2, ,显然然又又设 B= B=取出的黑球数恰好是取出的黑球数恰好是kk那么那么 B= B=前前k k次取到黑球次取到黑球, , 第第k+1k+1次取到白球次取到白球 第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回 由于是有放回抽由于是有放回抽样, , 故每次取到白球或黑球是相故每次取到白球或黑球是相互独立的，那么：互独立的，那么：第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回二、可靠性问题二、可靠性问题可靠度 指系统能正常任务的概率.假设系统中各元件能否正常任务是相互独立的
76、1.串联络统 12n第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回2.并联络统12n第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回例1.39 一个混联络统 如下图,由5个元件组成,每个元件可靠度为p,求系统可靠度13245第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回三、三、n重贝努里实验重贝努里实验1.反复独立实验 假设一个实验在一样条件下可反复进展n次,各次实验中每个结果出现的概率坚持不变,且每次实验的结果相互独立,那么称这n次实验为n重独立实验. 特别地,当实验只需两个结果,即事件 出现或 出现,其概率分别为 那么称
77、这样的n重独立实验为n重贝努里实验.如:抛掷硬币,察看正面与反面;有放回地抽查产品,察看正品与次品;射击时中与不中.第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回2.2.二项概率公式二项概率公式第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回例1.40 设一批产品数量很大,其中一级品率为0.3.现从中抽取5件 样品.求: (1)5个样品中恰有2个一极品的概率; (2)5个样品中至少有2个一极品的概率.第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回例1.41 从一个工厂的产品中进展反复抽样检查,共取200件.检查结果其中有4件
78、次品.问该厂废品率0.005能否可信?解:这是一个200重的贝努里实验.无妨假定废品率为0.005,那么200件产品中恰抽到4件次品的概率为: 这阐明,在200件产品中抽到4件次品的概率0.015(小概率),属于小概率事件,而它竟然发生了.我们以为,废品率为0.005不可信.第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回例1.42 设每次射击打中目的的概率为0.001,假设射击5000 次,试求打中目的的概率. 这阐明,虽然小概率事件在一次实验中几乎不能够发生,而在多次反复实验下,却很容易发生.第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回第一章小结第一章小结1.计算概率的常用公式:第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回2.概率为零的事件未必是不能够事件,概率为1的事件也未必是必然事件.第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回3.相互独立与互不相容的区别与联络第一章第一章 随机事件及随机事件的概率随机事件及随机事件的概率返回返回
