《2022版高中数学第一章推理与证明1.4数学归纳法课件北师大版选修22》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022版高中数学第一章推理与证明1.4数学归纳法课件北师大版选修22（87页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4数学归纳法数学归纳法的定义和证明步骤数学归纳法的定义和证明步骤【思考思考】数学归纳法可以证明哪些数学命题？数学归纳法可以证明哪些数学命题？提示：提示：数学归纳法可以证明某些与正整数数学归纳法可以证明某些与正整数n n有关的数学有关的数学命题命题. .【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析( (对的打对的打“”“”，错的打，错的打“”)”)(1)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n=1n=1时时结论成立结论成立. . ( () )(2)(2)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n=kn=k
2、到到n=k+1n=k+1时，项数都增加了一项时，项数都增加了一项. .( () )(3)(3)用数学归纳法证明等式：用数学归纳法证明等式：1+2+3+n1+2+3+n2 2= (n= (nN* *) )时，从时，从n=kn=k到到n=k+1n=k+1左边应添加的项为左边应添加的项为(k+1)(k+1)2 2.(.() )(4)(4)用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式“1+2+21+2+22 2+2+2n+2n+2=2=2n+3n+3-1”-1”，验证验证n=1n=1时，左边式子应为时，左边式子应为1+2+21+2+22 2+2+23 3. .( () )提示：提示：(1).(1).第一步
3、验证任意正整数第一步验证任意正整数n=nn=n0 0，不一定从，不一定从1 1开始开始. .(2).(2).项数不一定增加一项项数不一定增加一项. .例如例如a an n=1+2+=1+2+n+n+2n.+2n.(3).(3).从从n=kn=k到到n=k+1n=k+1左边应添加的项为左边应添加的项为1+2+1+2+ +(k+1)(k+1)2 2-1+2+-1+2+k+k2 2=(k=(k2 2+1)+(k+1)+(k2 2+2)+2)+(k+1)+(k+1)2 2. .(4).(4).代入代入n=1n=1验证即可验证即可. .2.2.在应用数学归纳法证明凸在应用数学归纳法证明凸n n边形的对角
4、线为边形的对角线为 n(n-3)n(n-3)条时，第一步检验条时，第一步检验n n等于等于( () )A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.0D.0【解析解析】选选C.C.边数最小的凸多边形是三角形边数最小的凸多边形是三角形. .3.3.用数学归纳法证明用数学归纳法证明1+a+a1+a+a2 2+a+an+1n+1= (a1= (a1，nnN+ +) )，在验证，在验证n=1n=1时，等式左边是时，等式左边是( () )A.1A.1B.1+aB.1+aC.1+a+aC.1+a+a2 2D.1+a+aD.1+a+a2 2+a+a3 3【解析解析】选选C.C.根据数学归纳法的步骤可知，当根据数学
5、归纳法的步骤可知，当n=1n=1时，时，等式的左边应为等式的左边应为1+a+a1+a+a2 2. .类型一用数学归纳法证明等式类型一用数学归纳法证明等式【典例典例】1.1.用数学归纳法证明用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(n+n)=2(n+1)(n+2)(n+n)=2n n13(2n-1)(n13(2n-1)(nN+ +) )，“从从k k到到k+1”k+1”左端增乘的代数式为左端增乘的代数式为_._.(2)(2)用数学归纳法证明当用数学归纳法证明当nnN+ +时时, , 【思维思维引引】1.1.观察可知等式左端是从观察可知等式左端是从n+1n+1开始的连续开始的连续的的n n个整数的积个
6、整数的积. .2.2.观察求证的等式，其左端为正负号间隔出现的观察求证的等式，其左端为正负号间隔出现的2n2n个个分式的和，并且分母是连续的正整数分式的和，并且分母是连续的正整数. .【解析解析】1.1.观察可知等式的左端是观察可知等式的左端是n n个和式的积，当个和式的积，当n=kn=k时为时为(k+1)(k+1)(k+2)(k+2)(k+k)(k+k)，那么当，那么当n=k+1n=k+1时，时，等式的左端应为等式的左端应为(k+1)+1(k+1)+1(k+1)+2(k+1)+2(k+1)(k+1)+(k+1)+(k+1)，和，和(k+1)(k+1)(k+2)(k+2)(k+k)(k+k)比
7、较会发现，比较会发现，左端增乘的代数式为左端增乘的代数式为 答案：答案：2(2k+1)2(2k+1)(2)(2)当当n=1n=1时时, ,左边左边= = 右边右边= = 左边左边= =右边右边, ,等式成立等式成立. .假设当假设当n=k(kn=k(kN+ +,k1),k1)时时, ,等式成立等式成立, ,即即 所以当所以当n=k+1n=k+1时时, ,等式成立等式成立. .由由可知可知, ,对一切对一切nnN+ +等式成立等式成立. .【内化内化悟悟】利用数学归纳法证明恒等式时应注意哪些问题？利用数学归纳法证明恒等式时应注意哪些问题？提示：提示：(1)(1)在证明过程中突出两个在证明过程中突
8、出两个“凑凑”字，即一字，即一“凑凑”假设，二假设，二“凑凑”结论，关键是在证明结论，关键是在证明n=k+1n=k+1时要用上时要用上n=kn=k时的假设，其次要明确时的假设，其次要明确n=k+1n=k+1时证明的目标，充分时证明的目标，充分考虑由考虑由n=kn=k到到n=k+1n=k+1时，命题形式之间的区别和联系，时，命题形式之间的区别和联系，化异为同化异为同. .中间的计算过程千万不能省略中间的计算过程千万不能省略. .(2)(2)注意注意“两个步骤、一个结论两个步骤、一个结论”一个也不能少，切勿一个也不能少，切勿忘记归纳结论忘记归纳结论. .【类题类题通通】数学归纳法证明题的三个关键点
9、数学归纳法证明题的三个关键点(1)(1)验证是基础：数学归纳法的原理表明，第一个步骤验证是基础：数学归纳法的原理表明，第一个步骤是要找一个数是要找一个数n n0 0，这个，这个n n0 0，就是我们要证明的命题对，就是我们要证明的命题对象对应的最小正整数，这个正整数并不一定都是象对应的最小正整数，这个正整数并不一定都是“1”1”，因此因此“找准起点，奠基要稳找准起点，奠基要稳”是第一个关键点是第一个关键点. .(2)(2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”k”到到“k+1”k+1”的过程中，要正确分析式子项数的变的过程中，要正确分析式
10、子项数的变化化. .关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n=kn=k到到n=k+1n=k+1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项. .(3)(3)利用假设是核心：在第二步证明利用假设是核心：在第二步证明n=k+1n=k+1成立时，一成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n=kn=k时命题成时命题成立立”作为条件来导出作为条件来导出“n=k+1n=k+1时命题成立时命题成立”，在书写，在书写f(k+1)f(k+1)时，一定要把包含时，一定要把包含f(k)f(k)的式子写出来，
11、尤其是的式子写出来，尤其是f(k)f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法纳假设的证明就不是数学归纳法. .【习练习练破破】用数学归纳法证明用数学归纳法证明1 12 2+3+32 2+5+52 2+(2n-1)+(2n-1)2 2= n(4n= n(4n2 2- -1)(n1)(nN+ +).).【证明证明】(1)(1)当当n=1n=1时，左边时，左边=1=12 2，右边右边= 1(41= 1(412 2-1)=1-1)=1，左边左边= =右边，等式成立右边，等式成立. .(2)(2)假设当假设当n=k(kn=k(
12、kN+ +,k1),k1)时时, ,等式成立等式成立, ,即即1 12 2+3+32 2+5+52 2+ +(2k-1)+(2k-1)2 2= k(4k= k(4k2 2-1),-1),则当则当n=k+1n=k+1时时, ,1 12 2+3+32 2+5+52 2+ +(2k-1)+(2k-1)2 2+(2k+1)+(2k+1)2 2= k(4k= k(4k2 2-1)+(2k+1)-1)+(2k+1)2 2= k(2k+1)(2k-1)+(2k+1)= k(2k+1)(2k-1)+(2k+1)2 2= (2k+1)k(2k-1)+3(2k+1)= (2k+1)k(2k-1)+3(2k+1)=
13、 (2k+1)(2k= (2k+1)(2k2 2+5k+3)+5k+3)= (2k+1)(k+1)(2k+3)= (2k+1)(k+1)(2k+3)= (k+1)(4k= (k+1)(4k2 2+8k+3)+8k+3)= (k+1)4(k+1)= (k+1)4(k+1)2 2-1,-1,即当即当n=k+1n=k+1时时, ,等式成立等式成立. .由由(1)(2)(1)(2)知知, ,对一切对一切xxN+ +等式成立等式成立. .类型二用数学归纳法证明不等式类型二用数学归纳法证明不等式【典例典例】用数学归纳法证明对一切用数学归纳法证明对一切nnN+ +， 【思维思维引引】观察所求证的不等式可知不
14、等号的左端观察所求证的不等式可知不等号的左端为为n n个分式的和，应用数学归纳法证明不等式时，第一个分式的和，应用数学归纳法证明不等式时，第一步验证步验证n=1n=1时不等式成立，第二步假设时不等式成立，第二步假设n=kn=k时，不等式时，不等式成立，然后证明成立，然后证明n=k+1n=k+1时不等式成立即可时不等式成立即可. .【规范解答规范解答】(1)(1)当当n=1n=1时时, ,左边左边=1,=1,右边右边= =1,= =1,不等式成立不等式成立. .(2)(2)假设当假设当n=k(kn=k(kN+ +,k1),k1)时时, ,不等式成立不等式成立, ,即即 则当则当n=k+1n=k+
15、1时时, ,要证要证 只需证只需证 所以当所以当n=k+1n=k+1时不等式成立时不等式成立. .由由(1)(2)(1)(2)知知, ,不等式对一切不等式对一切nnN+ +都成立都成立. .【内化内化悟悟】应用数学归纳法证明不等式，有哪些具体形式？应用数学归纳法证明不等式，有哪些具体形式？提示：提示：用数学归纳法证明与用数学归纳法证明与n(nn(nN+ +) )有关的不等式一有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式；二是给出般有两种具体形式：一是直接给出不等式；二是给出两个式子比较大小两个式子比较大小. .对第二类形式往往要先对对第二类形式往往要先对n n取前取前k k个个值的情况分
16、别验证比较，以免出现判断失误，最后猜值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个出从某个k k值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明，值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明，即先猜后证即先猜后证. .【类题类题通通】用数学归纳法证明不等式应注意的问题用数学归纳法证明不等式应注意的问题(1)(1)验证第一个验证第一个n n的值时，要注意的值时，要注意n n0 0不一定为不一定为1 1，若，若nknk(k(k为正整数为正整数) )，则，则n n0 0=k+1.=k+1.(2)(2)证明不等式的第二步中，从证明不等式的第二步中，从n=kn=k到到n=k+1n=k+1的推导过程的推导过程中，
17、一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设是数学归纳法，因为缺少归纳假设. .(3)(3)用数学归纳法证明不等式问题时，从用数学归纳法证明不等式问题时，从n=kn=k到到n=k+1n=k+1的的推证过程中，证明不等式的常用方法有比较法、分析推证过程中，证明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等，有时还要考虑与原不等式等法、综合法、放缩法等，有时还要考虑与原不等式等价的命题，运用放缩法时，要注意放缩的价的命题，运用放缩法时，要注意放缩的“度度”. .【习练习练破破】用数学归纳法证明用数学归纳法证明 【证明证明
18、】(1)(1)当当n=1n=1时，左边时，左边= = 不等式成立不等式成立. .(2)(2)假设当假设当n=k(kn=k(kN+ +,k1),k1)时时, ,不等式成立不等式成立, ,即即 则当则当n=k+1n=k+1时时, , 所以当所以当n=k+1n=k+1时时, ,不等式成立不等式成立. .由由(1)(2)(1)(2)知对于任意正整数知对于任意正整数n,n,不等式成立不等式成立. .【加练加练固固】 已知已知a0a0，b0b0，n1n1，nnN+ +，用数学归纳法证，用数学归纳法证明：明： . .【解析解析】(1)(1)当当n=2n=2时，左边时，左边= = ，右边，右边= = ，左边左
19、边- -右边右边= 0= 0，不等式成立，不等式成立. .(2)(2)假设当假设当n=k(kn=k(kN+ +，k1)k1)时，不等式成立，即时，不等式成立，即 ，因为，因为a0a0，b0b0，k1k1，kkN+ +，所以，所以(a(ak+1k+1+b+bk+1k+1)-(a)-(ak kb+abb+abk k)=(a-b)(a)=(a-b)(ak k-b-bk k)0)0，于是，于是a ak+1k+1+b+bk+1k+1aak kb+abb+abk k. .当当n=k+1n=k+1时，时， = = = = ，所以当所以当n=k+1n=k+1时，不等式也成立时，不等式也成立. .由由(1)(1
20、)和和(2)(2)知，对于知，对于a0a0，b0b0，n1n1，nnN+ +，不等式，不等式 恒成立恒成立. .类型三归纳类型三归纳- -猜想猜想- -证明证明角度角度1 1数学归纳法的综合应用数学归纳法的综合应用【典例典例】设设nnN+ +，f(n)=3f(n)=3n n+7+7n n-2.-2.(1)(1)求求f(1)f(1)，f(2)f(2)，f(3)f(3)的值的值. .(2)(2)证明：对任意正整数证明：对任意正整数n n，f(n)f(n)是是8 8的倍数的倍数. .【思维思维引引】(1)(1)根据题设条件将根据题设条件将1 1，2 2，3 3代入代入f(n)f(n)求求值值. .(
21、2)(2)先证明先证明n=1n=1时时f(1)f(1)是是8 8的倍数，再假设当的倍数，再假设当n=kn=k时命题时命题成立，用数学归纳法证明结论成立，用数学归纳法证明结论. .【解析解析】(1)f(1)=3(1)f(1)=31 1+7+71 1-2=8-2=8，f(2)=3f(2)=32 2+7+72 2-2=56-2=56，f(3)=3f(3)=33 3+7+73 3-2=368.-2=368.(2)(2)当当n=1n=1时，时，f(1)=8f(1)=8是是8 8的倍数，命题成立的倍数，命题成立. .假设当假设当n=kn=k时命题成立，即时命题成立，即f(k)=3f(k)=3k k+7+7
22、k k-2-2是是8 8的倍数，的倍数，当当n=k+1n=k+1时，时，f(k+1)=3f(k+1)=3k+1k+1+7+7k+1k+1-2=3(3-2=3(3k k+7+7k k-2)+4(7-2)+4(7k k+1)+1)，因为因为7 7k k+1+1是偶数，所以是偶数，所以4(74(7k k+1)+1)是是8 8的倍数，的倍数，又由归纳假设知又由归纳假设知3(33(3k k+7+7k k-2)-2)是是8 8的倍数，的倍数，所以所以f(k+1)f(k+1)是是8 8的倍数，即当的倍数，即当n=k+1n=k+1时，命题也成立时，命题也成立. .根据根据知命题对任意知命题对任意nnN+ +成
23、立成立. .【素养素养探探】用数学归纳法证明等式、不等式等问题体现了逻辑用数学归纳法证明等式、不等式等问题体现了逻辑推理的核心素养推理的核心素养. .设设n3n3，nnN+ +，在集合，在集合11，2 2，nn的所有元素个的所有元素个数为数为2 2的子集中，把每个子集中较大元素的和记为的子集中，把每个子集中较大元素的和记为a a，较小元素的和记为较小元素的和记为b.b.(1)(1)当当n=3n=3时，求时，求a a，b b的值的值. .(2)(2)求证：对任意的求证：对任意的n3n3，nnN+ +， 为定值为定值. .【解析解析】(1)(1)当当n=3n=3时，集合时，集合11，2 2，33的
24、所有元素个数的所有元素个数为为2 2的子集为的子集为11，22，11，33，22，33，所以所以a=2+3+3=8a=2+3+3=8，b=1+1+2=4.b=1+1+2=4.(2)(2)当当n=3n=3时，由时，由(1)(1)可得可得a=8a=8，b=4b=4， = = ；假设当假设当n=kn=k时，时， = = ，则当，则当n=k+1n=k+1时，时，a=a=a+(k+1)ka+(k+1)k，b=b+(1+2+b=b+(1+2+k)=b+ k(1+k)+k)=b+ k(1+k)，由由a=2ba=2b，得，得a=2b+k(1+k)=2ba=2b+k(1+k)=2b，即当，即当n=k+1n=k+
25、1时，时， . .由由可知对任意的可知对任意的n3n3，nnN+ +， 为定值为定值 . .角度角度2 2求数列通项公式求数列通项公式【典例典例】已知数列已知数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，其中，其中a an n= = 且且a a1 1= .= .(1)(1)求求a a2 2，a a3 3. .(2)(2)猜想数列猜想数列aan n 的通项公式，并证明的通项公式，并证明. .【思维思维引引】(1)(1)由由a a1 1= = 和和a an n= = 如何求如何求a a2 2？提示：提示：令令n=2n=2，可得，可得a a2 2= = = = ，代入解方，代入解方程可得程
26、可得a a2 2. .(2)(2)猜想出数列猜想出数列aan n 的通项公式后，如何证明其正确性的通项公式后，如何证明其正确性？提示：提示：用数学归纳法分三步证明用数学归纳法分三步证明. .【解析解析】(1)a(1)a2 2= = 则则a a2 2= = 类似地求得类似地求得a a3 3= = (2)(2)由由 猜得猜得:a:an n= = 证明证明:当当n=1n=1时时, ,由由(1)(1)可知等式成立可知等式成立; ;假设当假设当n=kn=k时猜想成立时猜想成立, ,即即a ak k= = 那么那么, ,当当n=k+1n=k+1时时, ,由题设由题设a an n= = 得得 所以所以S S
27、k k=k(2k-1)a=k(2k-1)ak k=k(2k-1) =k(2k-1) S Sk+1k+1=(k+1)(2k+1)a=(k+1)(2k+1)ak+1k+1, ,a ak+1k+1=S=Sk+1k+1-S-Sk k=(k+1)(2k+1)a=(k+1)(2k+1)ak+1k+1- - 因此因此,k(2k+3)a,k(2k+3)ak+1k+1= = 这就证明了当这就证明了当n=k+1n=k+1时命题成立时命题成立. .由由可知命题对任何可知命题对任何nnN+ +都成立都成立. .【类题类题通通】1.“1.“归纳归纳猜想猜想证明证明”的一般环节的一般环节2.“2.“归纳归纳猜想猜想证明证
28、明”的主要题型的主要题型(1)(1)已知数列的递推公式，求通项或前已知数列的递推公式，求通项或前n n项和项和. .(2)(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在使命题成立的参数值是否存在. .(3)(3)给出一些简单的命题给出一些简单的命题(n=1(n=1，2 2，3 3，)，猜想并证，猜想并证明对任意正整数明对任意正整数n n都成立的一般性命题都成立的一般性命题. .【习练习练破破】某数列的第一项为某数列的第一项为1 1，并且对所有的自然数，并且对所有的自然数n2n2，数，数列的前列的前n n项之积为项之积为n
29、 n2 2. .(1)(1)写出这个数列的前五项写出这个数列的前五项. .(2)(2)写出这个数列的通项公式并加以证明写出这个数列的通项公式并加以证明. .【解析解析】(1)(1)已知已知a a1 1=1=1，由题意，得，由题意，得a a1 1aa2 2=2=22 2，所以，所以a a2 2=2=22 2. .因为因为a a1 1aa2 2aa3 3=3=32 2，所以，所以a a3 3= .= .同理，可得同理，可得a a4 4= = ，a a5 5= .= .因此该数列的前五项为因此该数列的前五项为1 1，4 4， . .(2)(2)观察这个数列的前五项，猜测数列的通项公式应为观察这个数列
30、的前五项，猜测数列的通项公式应为a an n= = 下面用数学归纳法证明当下面用数学归纳法证明当n2n2时，时，a an n= .= .当当n=2n=2时，时，a a2 2= =2= =22 2，等式成立，等式成立. .假设当假设当n=k(k2)n=k(k2)时，结论成立，即时，结论成立，即a ak k= .= .因为因为a a1 1a a2 2a ak-1k-1=(k-1)=(k-1)2 2，a a1 1a a2 2a ak-1k-1a ak ka ak+1k+1=(k+1)=(k+1)2 2，所以，所以a ak+1k+1= = . .所以当所以当n=k+1n=k+1时，结论也成立时，结论也
31、成立. .根据根据和和，可知当，可知当n2n2时，这个数列的通项公式是时，这个数列的通项公式是a an n= .= .所以所以a an n= = 【加练【加练固】固】1.1.已知数列已知数列aan n ，其中，其中a a2 2=6=6且且 n(nn(nN+ +).).(1)(1)求求a a1 1，a a3 3，a a4 4. .(2)(2)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式. .【解题指南解题指南】把把a a1 1,a,a3 3,a,a4 4分别求出分别求出, ,观察其规律得出观察其规律得出aan n 的通项公式的通项公式, ,然后用数学归纳法证明然后用数学归纳法证明. .【解析解析
32、】(1)(1)由由a a2 2=6, =6, 解得解得a a1 1=1,a=1,a3 3=15,a=15,a4 4=28.=28.(2)(2)结合结合(1)(1)知知a a1 1=1,a=1,a2 2=6,a=6,a3 3=15,a=15,a4 4=28,=28,由此猜想由此猜想a an n=n(2n-1).=n(2n-1).下面用数学归纳法加以证明下面用数学归纳法加以证明: :当当n=1n=1时时,a,a1 1=1(21-1)=1,=1(21-1)=1,结论成立结论成立. .当当n=2n=2时时,a,a2 2=2(22-1)=6,=2(22-1)=6,结论成立结论成立. .假设假设n=k(k
33、2,kNn=k(k2,kN+ +) )时时, ,结论成立结论成立, ,即即a ak k=k(2k-1),=k(2k-1),则则n=kn=k时时, ,有有 所以所以(k-1)a(k-1)ak+1k+1=(k+1)a=(k+1)ak k-(k+1)-(k+1)=(k+1)=(k+1)k(2k-1)-(k+1)=(k+1)k(2k-1)-(k+1)=(k+1)(2k(2k2 2-k-1)-k-1)=(k+1)(2k+1)(k-1)(k-10),=(k+1)(2k+1)(k-1)(k-10),所以所以a ak+1k+1=(k+1)2(k+1)-1,=(k+1)2(k+1)-1,即当即当n=k+1n=k
34、+1时时, ,结论成立结论成立. .由由可知可知, ,数列数列aan n 的通项公式为的通项公式为a an n=n(2n-1)(n=n(2n-1)(nN+ +).).2.2.设数列设数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，并且满足，并且满足2S2Sn n = =a an n2 2 +n+n，a an n 0. 0.猜想猜想aan n 的通项公式，并用数学归纳法加以证的通项公式，并用数学归纳法加以证明明. .【解析解析】分别令分别令n=1,2,3,n=1,2,3,得得 因为因为a an n0,0,所以所以a a1 1=1,a=1,a2 2=2,a=2,a3 3=3,=3,猜想猜想
35、:a:an n=n,=n,由由2S2Sn n= = +n,+n,可知可知, ,当当n2n2时时2S2Sn-1n-1= = + (n-1),+ (n-1),-得得2a2an n = = - + 1,- + 1,即即 = 2a= 2an n + -1,+ -1,当当n=2n=2时时, , =2a=2a2 2+1+12 2-1,-1,因为因为a a2 20,0,所以所以a a2 2=2.=2.假设当假设当n=k(k2)n=k(k2)时时,a,ak k=k,=k,那么当那么当n=k+1n=k+1时时, =2a, =2ak+1k+1+ + -1=2a -1=2ak+1k+1+k+k2 2-1-1aak+
36、1k+1-(k+1)a-(k+1)ak+1k+1+(k-1)=0,+(k-1)=0,因为因为a ak+1k+10,k2,0,k2,所以所以a ak+1k+1+(k-1)0,+(k-1)0,所以所以a ak+1k+1=k+1,=k+1,即当即当n=n=k+1k+1时也成立时也成立. .所以所以a an n=n(n2),=n(n2),显然显然n=1n=1时时, ,也成立也成立, ,故对于一切故对于一切nnN+ +, ,均有均有a an n=n.=n.3.3.设数列设数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，满足，满足S Sn n=2na=2nan+1n+1-3n-3n2 2-4n-4
37、n，nnN+ +，且，且S S3 3=15.=15.(1)(1)求求a a1 1，a a2 2，a a3 3的值的值. .(2)(2)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式. .【解析解析】(1)(1)由已知由已知 解得解得a a1 1=3=3，a a2 2=5=5，a a3 3=7.=7.(2)(2)因为因为S Sn n=2na=2nan+1n+1-3n-3n2 2-4n-4n，所以当所以当n2n2时，时，S Sn-1n-1=2(n-1)a=2(n-1)an n-3(n-1)-3(n-1)2 2-4(n-1).-4(n-1).-并整理得并整理得a an+1n+1= .= .由由(1)(1)猜想猜想a an n=2n+1=2n+1，下面用数学归纳法证明，下面用数学归纳法证明. .当当n=1n=1时，时，a a1 1=2+1=3=2+1=3，命题成立；，命题成立；假设当假设当n=kn=k时，时，a ak k=2k+1=2k+1命题成立命题成立. .则当则当n=k+1n=k+1时，时，a ak+1k+1= = = =2k+3=2(k+1)+1= =2k+3=2(k+1)+1，即当即当n=k+1n=k+1时，结论成立时，结论成立. .综上，综上， nnN+ +，a an n=2n+1.=2n+1.
