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1、第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率1.3 条件概率与事件的独立性条件概率与事件的独立性 2021/3/101授课：XXX问题的提出：问题的提出： 1) 10个人按次序从个人按次序从10张奖券里每个人抽一张奖券里每个人抽一张，其中张，其中3张有奖。张有奖。 问：第问：第1个人中奖的概率为多少？个人中奖的概率为多少？ 第第2个人中奖的概率为多少？个人中奖的概率为多少？ 2) 10个人按次序从个人按次序从10张奖券里每个人抽一张奖券里每个人抽一张，其中张，其中3张有奖。张有奖。 问：问：已知已知第第1个人没中奖，个人没中奖， 第第2个人中奖的概率为多少？个人中奖的概率为多少？ 1.3.1 条
2、件概率条件概率22 3479108615一个袋子中装有一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的个大小、形状完全相同的球球 ，将球编号为，将球编号为110 ，从中任取一球。，从中任取一球。A=球的编号为偶数球的编号为偶数AB=球的编号是大于球的编号是大于5的偶数的偶数已知取到的球的编号为偶数，问它的编号大于已知取到的球的编号为偶数，问它的编号大于的概率是多少？的概率是多少？B=球的编号大于球的编号大于3 在解决许多概率问题时，往往需要在在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息有某些附加信息(条件条件)下求事件的概率下求事件的概率.如在事件如在事件A发生的条件下求事件发生的条件下求事件B发生
3、的发生的概率，并将此概率记作概率，并将此概率记作P(B|A).4定义定义: 设、设、B是随机试验的两个随机事件，是随机试验的两个随机事件，且且P(A)0，则称，则称为已知事件为已知事件A发生的条件下，事件发生的条件下，事件B发生的条发生的条件概率。件概率。条件概率条件概率P(B|A)= P(AB)P(A)5条件概率满足概率的三条公理条件概率满足概率的三条公理.由此得：由此得： P(A B|C) = P(A|C) + P(B|C) P(AB|C)； P(A |B) = 1 P(A|B)； 若若 A 与与 B 互不相容，则互不相容，则P(A B|C) = P(A|C) + P(B|C) 。 条件概
4、率是概率条件概率是概率6 1) 缩减样本空间缩减样本空间： 将将 缩减为缩减为 A=A. 2) 用定义用定义： P(B|A) = 条件概率条件概率 P(P(B B| |A A) ) 的计算的计算P(AB)P(A)7 10个产品中有个产品中有7个正品、个正品、3个次品，从中个次品，从中 不放回地抽取两个，不放回地抽取两个， 已知第一个取到次已知第一个取到次 品，求第二个又取到次品的概率品，求第二个又取到次品的概率.解：解：设设 A = 第一个取到次品第一个取到次品， B = 第二个取到次品第二个取到次品，例例 1) 缩减样本空间缩减样本空间： 取出一个次品后，剩下的取出一个次品后，剩下的9个产品
5、中个产品中有有7个正品、个正品、2个次品，则再取一次时取到次品的概率个次品，则再取一次时取到次品的概率为为: P(B|A)= 2982) 用定义用定义： 因为因为P(A)= ，P(AB)= = ，所，所以以31032109115P(B|A)= = P(AB)P(A)299例例1-9 某种元件用满某种元件用满60006000小时未坏的概率为小时未坏的概率为3/4,3/4,用满用满1000010000小小时未坏的概率为时未坏的概率为1/2,1/2,现有一个此种元件现有一个此种元件, ,已经用过已经用过60006000小时未小时未坏，问它能用到坏，问它能用到1000010000小时的概率。小时的概率
6、。 解解: 设设A=用满用满10000小时未坏小时未坏，B=用满用满6000小时未坏小时未坏，则有，则有P(B)=3/4, P(A)=1/2, P(AB)=P(A)=1/2.10推广到推广到n个事件的情况，例如对于事件个事件的情况，例如对于事件A、B、C，如果，如果P(A)0 ，P(AB)0，则有，则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)1.3.2 乘法公式乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A),设设A，B为任意事件，为任意事件，若若P(A)0 P(AB)=P(B)P(A|B)若若P(B)011乘法公式主要用于求几个事件同时发生的概率乘法公式主要用于求几个事件同时发生的概率.
7、.一批零件共有一批零件共有100100个，其中个，其中1010个不合格品。从中一个不合格品。从中一个一个不返回取出，求第三次才取出不合格品的个一个不返回取出，求第三次才取出不合格品的概率概率. .解：解：记记 Ai=第第i 次取出的是不合格品次取出的是不合格品 Bi=第第i 次取出的是合格品次取出的是合格品, 目的是求概率目的是求概率 P(B1B2A3) 用乘法公式用乘法公式 P(B1B2A3)=P(B1)P(B2|B1) P(A3|B1B2) = 乘法公式的应用乘法公式的应用121.3.3 事件的独立性事件的独立性 一、两事件独立一、两事件独立 定义定义4： 设设A、B是两事件，是两事件，P
8、(A) 0,若若 P(B)P(B|A) (1-5)则称事件则称事件A与与B相互相互独立独立。式式(1-5)等价于：等价于： P(AB)P(A)P(B)13 事件的独立性事件的独立性 直观说法直观说法：对于两事件，若其中任何一个事件的发对于两事件，若其中任何一个事件的发生与否生与否不影响不影响另一个事件发生的概率，则这两个事另一个事件发生的概率，则这两个事件是件是相互独立的相互独立的. P( (B|A) = ) = P(B) ) P( (AB)/)/P(A) = ) = P(B) ) P( (AB) ) = = P(A) )P(B) ) 定理定理2 若事件若事件A与与B独立，则独立，则 A与与B
9、独立独立、A与与B独立独立、A与与B 独立独立.1415若事件若事件 A 与与 B 相互独立相互独立16 以上公式还可以推广到有限个事件的情形以上公式还可以推广到有限个事件的情形:17分析分析1：分析分析2： 例例1-13 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，A=A=抽到抽到KK，B=B=抽到的是黑色的牌抽到的是黑色的牌 ，问事件，问事件A,BA,B是否独立？是否独立？18 实际应用中，往往根据经验来判断实际应用中，往往根据经验来判断两个事件两个事件 的独立性：例如的独立性：例如 返回抽样返回抽样、甲乙两人独立工作甲乙两人独立工作、重复试验重复试验等等. .
10、事件独立性的判断事件独立性的判断19两事件相互独立两事件相互独立两事件互斥两事件互斥例如例如由此可见两事件相互由此可见两事件相互独立独立，但两事件不，但两事件不互斥互斥. .两事件相互独立与两事件互斥两事件相互独立与两事件互斥二者之间没二者之间没有必然联系有必然联系20由此可见两事件由此可见两事件互斥互斥但但不独立不独立. .故故21多个事件的两两独立多个事件的两两独立例如：对于例如：对于A、B、C三个事件，若满足：三个事件，若满足： P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C) 则称则称A、B、C 两两独立两两独立.定义定义5 设设 A1, ,
11、A2 , An是是n n个事件，个事件，若其中任意两个事件之间均相互独立，若其中任意两个事件之间均相互独立，则称这则称这n n个事件个事件两两独立两两独立。22练习：练习： 甲、乙两射手独立地向某一目标各甲、乙两射手独立地向某一目标各射击一次射击一次, 命中率分别为命中率分别为 0.7 , 0.8 . 求求(1) 甲乙都命中的概率甲乙都命中的概率;(2) 甲命中甲命中 , 乙没有命中的概率乙没有命中的概率 ; (3) 甲、乙恰有一人命中的概率甲、乙恰有一人命中的概率 ; (4) 至少有一人命中的概率至少有一人命中的概率 .23 甲、乙两射手独立地向某一目标各射击一甲、乙两射手独立地向某一目标各
12、射击一次次, 命中率分别为命中率分别为 0.7 , 0.8 . 求求(1) 甲乙都命中的概率甲乙都命中的概率;(2) 甲命中甲命中 , 乙没有命中的概率乙没有命中的概率 ; 24 甲、乙两射手独立地向某一目标各射击一甲、乙两射手独立地向某一目标各射击一次次, 命中率分别为命中率分别为 0.7 , 0.8 . 求求(3) 甲、乙恰有一人命中的概率甲、乙恰有一人命中的概率 ; (4) 至少有一人命中的概率至少有一人命中的概率 .25(4) 至少有一人命中的概率至少有一人命中的概率 .26掷一枚硬币，正面向上的概率为？掷一枚硬币，正面向上的概率为？一枚硬币掷次，恰有一次正面向上的一枚硬币掷次，恰有一
13、次正面向上的概率为？概率为？1.3.4 伯奴利概型伯奴利概型27 若试验若试验E1的任一结果与的任一结果与试验试验E2的任一结果的任一结果都是相互独立的事件，则称这两个都是相互独立的事件，则称这两个试验试验相互独相互独立立，或称或称独立试验独立试验. .试验的独立性试验的独立性28 伯努利试验伯努利试验： 若某种试验只有两个结果若某种试验只有两个结果 ( (成功、失败；成功、失败； 黑球、白球；正面、反面黑球、白球；正面、反面) )， 则称这种试验为伯努利试验则称这种试验为伯努利试验. . 在伯努利试验中，一般记事件在伯努利试验中，一般记事件A发生的概率为发生的概率为p. n 重伯努利试验重伯
14、努利试验： n次独立重复的伯努利试验次独立重复的伯努利试验. .n 重伯努利重伯努利试验试验29伯努利概型伯努利概型随机试验满足随机试验满足(1)在相同条件下进行在相同条件下进行n次重复试验次重复试验;(2)每次试验只有两种可能结果每次试验只有两种可能结果, A发生或发生或A不发生不发生;(3)在每次试验中在每次试验中, A发生的概率均一样发生的概率均一样, 即即P(A)=P;(4)各次试验结果是相互独立的各次试验结果是相互独立的.30在在n 重伯努利试验中，记事件重伯努利试验中，记事件A发生的发生的次数为次数为X.X 的可能取值为：的可能取值为： 0，1，n.事件事件A发生发生 k 次的概率
15、为：次的概率为：n 重伯努利重伯努利试验成功的次数试验成功的次数31定理定理 在伯努利概型中在伯努利概型中,若一次试验时事件若一次试验时事件A发生发生的概率为的概率为P(0P1), 则则n重独立试验中事件重独立试验中事件A恰好恰好发生发生K次的概率为次的概率为其中其中,事件事件A发生了发生了k次次共作共作n次试验次试验A发生的概率发生的概率A不发生的概率不发生的概率3233且两两互不相容且两两互不相容.34例例 一张考卷上有一张考卷上有5 5道单项选择题，某学生靠猜测至少能答对道单项选择题，某学生靠猜测至少能答对4 4道题的概率是多少？道题的概率是多少？那么答那么答5 5道题相当于做道题相当于
16、做5 5重伯努利试验。重伯努利试验。解：每答一道题相当于做一次伯努利试验，解：每答一道题相当于做一次伯努利试验，设事件设事件A A表示答对单项选择题表示答对单项选择题”，则，则P(A)= P(A)= 14设设X X表示该学生靠猜测答对的题数，则表示该学生靠猜测答对的题数，则P(“P(“至少能答对至少能答对4 4道题道题”) )=P(X=4)+P(X=5)=P(X=4)+P(X=5)35例例袋中有袋中有3 3个白球，个白球，2 2个红球，有放回地取球个红球，有放回地取球4 4 次，每次次，每次一个，求其中恰有一个，求其中恰有2 2个白球的概率个白球的概率解法一：解法一：古典概型古典概型设设B 表
17、示表示4个球中恰有个球中恰有2个白球，则个白球，则所以所以36解法二：解法二：每取一个球看作是做了每取一个球看作是做了一次伯努利试验一次伯努利试验，记，记取得白球为事件取得白球为事件 A A，且且有放回地取有放回地取4 4个球可看成做了个球可看成做了4 4重伯奴利试验重伯奴利试验, ,则其中则其中恰有两个球表明事件恰有两个球表明事件A A发生了两次。设发生了两次。设X X表示事件表示事件A A发生的发生的次数，则有次数，则有 37解：设需配置解：设需配置 n n 枚导弹，因为导弹各自独立发射，所以可以枚导弹，因为导弹各自独立发射，所以可以看作看作n n重伯努利试验。设重伯努利试验。设A A=导弹命中目标导弹命中目标 ， B B=命中目标命中目标 ，设设X X表示命中目标的导弹枚数，且表示命中目标的导弹枚数，且P P( (A A)=0.6)=0.6，从而有，从而有例例1616 某导弹的命中率是某导弹的命中率是0.60.6，问欲以，问欲以99%99%的把握命中目标，至的把握命中目标，至少需要配置几枚导弹？少需要配置几枚导弹？所以至少要配置所以至少要配置6 6枚导弹才能达到要求。枚导弹才能达到要求。38 素材和资料部分来自素材和资料部分来自网络，如有帮助请下载网络，如有帮助请下载!2021/3/1039
