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1、第六章第六章 非线性微分方程非线性微分方程6.1 6.1 自治系统与非自治系统自治系统与非自治系统6.2 6.2 稳定性的基本概念稳定性的基本概念6.3 6.3 判定稳定性的判定稳定性的 Liapanov Liapanov 函数法函数法6.4 6.4 由线性近似系统判定稳定性由线性近似系统判定稳定性为什么要研究微分方程的定性理论为什么要研究微分方程的定性理论? 由于大多数微分方程,即使是低阶线性方程,它的解一般也难以求得对于非线性微分方程(组),除了极少数特殊情况之外,要想用衽初等方法去求解,往往是不可能的.这就迫使人们去寻找其它的研究途径,本章4.3节中所介绍的幂级数解法就是途径之一,另一种
2、重要的途径是利用数值计算方法通过计算机去求其近似解,这是一种很实用的方法,我们将在后续课程中专门学习.本节即将介绍的重要方法,就是不通过求解而直接从微分方程的系数去研究其解的主要特征和性态,这就是所谓的定性分析方法定性分析方法.这种方法在利于人们掌握解的最终趋势,了解全部解的分布特征和相互关系.在理论分析和实际应用中,定性分析法和数值计算法两者若能相互结合、相辅相成。将会产生更好的效果。限于篇幅，本节我们主要介绍定性分析方法中稳定性理念的初步知识，而且局限于对自治系统进行讲解。6. 1 自治系统与非自治系统(6. 1)(6. 2) 把t理解为时间,x理解为相空间内动点的坐标, 那末(6.1)确
3、定了一个向量场(速度场), (6.2)确定一个定常场.(6.1)称为非自治系统非自治系统,(6.2)称为自治系统自治系统,6.1.1 非自治系统与自治系统的主要区别非自治系统与自治系统的主要区别自治系统不论是在相空间还是增广相空间,轨线匀不相交. 而非自治系统在增广相空间积分曲线不相交,但在相空间轨线可能相交.定义6.1 若存在使则点称为系统(6.2)的一个平衡位置, 也称为此系统的一个奇点. 轨线只可能与奇点无限接近, 但不可能通过奇点, 否则与解的唯一性相矛盾. 对于一给定的自治系统来说, 奇点或平衡位置是人们关心的重要问题, 在奇点附近轨线的分布情况是多种多样的, 这也是对自治系统进行研
4、究的重要内容之一,本书对此不作进一步讨论,有兴趣的同学可参考常微分方程教材,我们在此主要讨论奇点的的稳定性.6.1.2 相平面、相轨线与相图相平面、相轨线与相图 我们把平面xoy称为(6.3)的相平面,而把(6.3)的解在平面上的轨迹称为(6.3)的轨线轨线或相轨线相轨线.轨线族在相平面上的图像称为(6.3)的相图相图.(a)(b)6.2 稳定性的基本概念稳定性的基本概念定义6.2 设是系统(5.2)适合初值条件的解(1) 若使得只要对一切恒有则称系统(5.2)的零解是稳定的;(2) 若 1) 是稳定的;2) 使得只要就有则称系统(6.2)的零解是渐近稳定的; 区域称为吸引域;如果吸引域是全空
5、间,则称稳定的.是全局渐近(3) 若 是不稳定的;都但则称与使例如, 微分方程满足初值条件的解为6.3 判定稳定性的判定稳定性的Liapunov函数法函数法定义6.3 设若 且当时,则称函数在上是常正(常负)的;若函数且当时,则称在上是常正(常负)的;常常正或常负的函数统称为常号函数;定正或定负的函数统称为定号函数. 若且在的任意领域内均既有使的点, 也有使的点的点, 则称函数在上是变号的.定理定理6.1 (稳定性的Liapunov判别法) 设有定义在上的定正(定负)函数表示沿系统(6.2)的轨线的全导数(1) 若在上是常负(常正)的,则是稳定的;(2) 若在上是定负(定正)的,则是渐近稳定的
6、;(3) 若在上是定正(定负)的,则是不稳定的;用来判定稳定性的这种函数称为Liapunov函数,也称为函数.内除附注附注1 若定正(定负),则常负(常正), 但集合是渐近稳定的.外不含有系统(6.2)的整条轨线,附注附注2 若在的邻域内是变号函数,而定号,则是不稳定的.例5.2 讨论系统(6.5)的零解的稳定性.6.4 由线性近似系统判定稳定性由线性近似系统判定稳定性称系统(6.11)的线性近似系统为(6.10)设为(6.10)的解, 利用TayLor公式 可将(6.10)化为(6.12) 定理定理 6.2 (1) 若矩阵A的全部特征值都具有负实部,则系统(6.10)的零解是渐近稳定的; (2) 若矩阵A的全部特征值中至少有一个具有正实部,则系统(6.10)的零解是不稳定的. 定理定理 6.3 (Hurwitz准则) 实系数 n 次代数方程的所有根具有负实部(包括负实根)的充分必要条件是:其中当时,例6.5 判定系统零解的稳定性.
