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1、3.3 3.3 向量组的秩向量组的秩 如上图，向量组 1,2,3线性相关(共面)，但其部分组1线性无关，且部分组1，2也线性无关（不共线）。这两个部分组都是线性无关，但是有区别： 1添上3后得到的部分组1,3仍然线性无关；而部分组1，2添上3后得到的部分组1,2,3线性相关。由此启发我们给出如下的定义：定义定义3.3.1 3.3.1 向量组1,2, ,m的部分组称为是一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，但是从这个向量组的其余向量（如果还有的话）中任取一一个个添进去，得到的新的部分组都线性相关。容易看出此定义与下述定义等价：容易看出此定义与下述定义等价：定义定义3.3.1 3.3
2、.1 如果向量组1,2, ,m的满足条件部分组线性无关;(1)线性表出, (2)的任一向量均可由的一个极大线性无关组。 是向量组 则称 显然，一个线性无关的向量组的极大线性无关组就是向量组本身。 例例3.3.1 3.3.1 求向量组 1=(1,-1,0)，2=(0,1,2)，3=(2,-3,-2)的极大线性无关组。 解 由于1,2线性无关，线性无关，3= 21-2, 所以1,2是该向量组的一个极大线性无关组。显然1,3与2,3也是这个向量组的极大线性无关组。 从这个例子可以看出，一个线性相关的非零向量组，它的极大线性无关组不是唯一的。那么，同一个向量组的不同的极大线性无关组所含向量的个数是否相
3、同? 先来观察在二维平面上，如果向量组1, 2, 3可以由向量组1,2线性表出，那么能得出什么结论？1.设1,2不共线，如果1, 2, 3可以由1,2线性表出（即在1,2 所在的平面），则1, 2, 3一定共面。其图如下：2.设1,2共线，如果1, 2, 3可以由1,2线性表出，则1, 2, 3一定共线，当然也共面。其图如下：由此可以看出，不论1,2是否共线，只要1, 2, 3可以由1,2 线性表出，那么1, 2, 3一定共面（线性相关）。推广上述例子可以得到如下的定理：定理 3.3.1 3.3.1 如果向量组1,2, ,m中的每一个向量均可由向量组 1, 2, , r线性表出，并且mr，那么
4、向量组1,2, ,m线性相关。 证 设设 由条件 以这两个向量组的向量为行向量(m+r) n矩阵C, 然后对矩阵C作做初等行变换，得到 于是R(C)=R(C1)。设A是由1,2, ,m 构成的矩阵，则R(A)R(C) =R(C1)rm，由定理3.2.3, 向量组1,2, ,m线性相关。 证毕。 推论推论 如果向量组1,2, ,m中的每一个向量均可由向量组 1, 2, , r线性表出，并且1,2, ,m线性无关，那么mr。 定理定理 3.3.2 3.3.2 一个向量组中任意两个极大线性无关组所含向量的个数相等。证 设向量组1,2, ,m的两个极大线性无关组分别为 要证s=r。 由于 为极大线性无
5、关组，可由其线性表出，又 所以 线性无关，由定理 3.3.23.3.2的推论,rs； 同理可证,sr,于是,s=r。定义定义.3.3.2.3.3.2 向量组1,2, ,m的极大线性无关组中所含向量的个数称为这个向量组的秩，记为 R1,2, ,m全由零向量组成的向量组的秩规定为零。 由向量组秩的定义，一个向量组线性无关的充要条件是该向量组的秩等于向量组中所含向量的个数；Question:任意一个非零向量组1,2, ,m是否必定存在一个极大线性无关组？回答是肯定的。对于向量组1,2, ,m ，我们可用如下方法求它的极大线性无关组： 首先取向量1,如果10，可保留1 ；其次取向量 2 ，如果 1 与
6、2 对应分量成比例删去2，否则保留 2，不妨设 1、 2 线性无关；接着再取向量 3，若1 2 3线性相关，删去 3若它们线性无关，则保留下来；接下去取向量4，如此这般一直进行下去，直到把向量组中所有向量考察一遍，即可得到该向量组的一个极大线性无关组.这个方法称为逐个“扩充法”。 例例3.3.2 3.3.2 设向量组1=(0,0,-1,1), 2= (1,1,-1,0), 3=(2,2,-1,-1)4=(-1,-1,0, 0),求它的一个极大线性无关组及该向量组的秩。 解解 由于10，保留1;又2k1,即1与2线性无关，保留2；因3=22-1,所以1,2, 3线性相关，删去3；最后考察 4,显
7、然1, 2 4线性无关，保留4, 。于是1, 2 4就是该向量组的一个极大线性无关组，且向量组的秩等于3。! ! 例例3.3.3 3.3.3 设向量组1,2, ,m的秩为r，试证1,2, ,m中任意r个线性无关的向量均为该向量组的一个极大线性无关组。证 设 是该向量组中任意r个线性无关的向量，只需证明 1，线性表出即可。事实上，若存在该向量组中某一个向量 2, ,m中任意一向量,可由(1i0m)使 线性无关,由逐个扩充R1,2, ,mr+1, 矛盾。 因此,对于任意i,(1im)为向量组 1,2, ,m的一向量组 线性相关。由定理,3.2.2, i可由 线性表出，即 个极大线性无关组。 3.3
8、.2 3.3.2 向量组的等价向量组的等价定义定义3.3.3 3.3.3 设向量组若向量组()中的每一个向量可由向量组（）线性表出，同时向量组（）中的每一个向量可由向量组()线性表出，亦即它们可以互相线性表出，则称向量组()与向量组（）等价。 ()：；()：， 等价向量组具有如下性质： （1 1） 自反性自反性 任何一个向量组都与它自身等价； （2 2） 对称性对称性 若向量组()与向量组（）等价，则向量组（）也与向量组()等价； （3 3） 传递性传递性 若向量组()与向量组（）等价，向量组（）也与向量组()等价，则向量组（）也与向量组()等价。（4）向量组都与它的任一极大线性无关组等价；定
9、理3.3.3 3.3.3 若向量组（）：可由向量组（）：线性表出,且向量组（）的秩为p ，向量组（）的秩为q，则 pq。证 设向量组（）和（）的极大线性无关组分别为 （）： （）： 因为向量组（）可由（）线性表出，向量组（）可由（）线性表出,而已知向量组（）可由（）线性表出，所以向量组（）可由（）线性表出.由定理3.3.1的推论， pq ，证毕。 推论1 任何两个等价的向量组的秩相等。推论2 任何两个线性无关的等价向量组所含向量的个数相同；例3.3.4 3.3.4 证明n维向量组1,2, ,n线性无关的充要条件是n维基本单位向量组1, 2, , n,可由1,2, ,n线性表出。 证 必要性 设
10、1,2, ,n线性无关。对任一 i (1in)，1,2, ,n, ,i为n+1个n维向量组成的向量组，必然线性相关，而1,2, ,n线性无关，由定理3.2.2, i可由1,2, ,n线性表出.由i的任意性，1, 2, , n可由1,2, ,n线性表出。充分性 已知向量组1, 2, , n可由1,2, ,n线性表出，由定理3.3.3, R1, 2, , nR1,2, ,n 。而R1, 2, , n=n，R1,2, ,n n 。于是R1,2, ,n =n。故。故1,2, ,n线性无关。 ! ! 定理3.3.4 3.3.4 矩阵A的秩等于它的行向量组的秩，也等于它的列向量组的秩。 证 先证明矩阵A的
11、秩等于它的行向量组的秩。 设 且 若r=m，则1,2, ,n线性无关，由定理3.2.3的推论1，R(A)=m。若rm，则向量组1,2, ,n的任一极大线性无关组中只含有r个向量，不妨设为1,2, ,r。那么矩阵A的前r行中必有一个r阶子式不等于零。由于向量组1,2, ,n中任意r+1个向量线性相关，则矩阵A中所以的r+1阶子式都等于零。因此R(A)=r。 注意到即知矩阵A的秩等于它的列向量组的秩。证毕。R(A)=R(AT)=矩阵AT的行秩=A的列秩, 根据向量组等价的性质，怎样求已知向量组的极大无关组？ 再请初等变换闪亮登场！例3.3.5 3.3.5 求向量组的秩及它的一个极大线性无关组.解 以向量1,2, 3,4为列组成矩阵A对其进行初等行变换，则 =所以R1,2, 3,4,=R(A)=R(B)=3。由B容易看出， 1,2, 4为向量组的一个极大线性无关组。 !例3.3.6 3.3.6 设A是mk矩阵, ,B是ks矩阵，则 证 设A的列向量组为A1,A2, ,Ak，矩阵B=(bij)ks，矩阵C=AB的列向量组为 C1,C2, ,Cs , ,则即C的列向量组可由A的列向量组线性表出，由定理3.3.3及3.3.4知, 故又
