《8.6多元函数的极值与最值》由会员分享，可在线阅读，更多相关《8.6多元函数的极值与最值（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、8.6 多元函数极值与最值多元函数极值与最值一、多元函数的极值与最值一、多元函数的极值与最值二、条件极值二、条件极值2021/6/161一、无条件极值一、无条件极值2021/6/162且两个一阶偏导数都存在且两个一阶偏导数都存在,则必有则必有注注1：注注2：因此，函数的极值点从这两类点中去寻找。因此，函数的极值点从这两类点中去寻找。解：解：得驻点得驻点(0,0)2021/6/163解：解：解：解：得驻点得驻点(0,0)2021/6/164定理：定理：(极值的充分条件极值的充分条件)注注1： 此定理是对驻点的极值性进行判别，对一阶偏导此定理是对驻点的极值性进行判别，对一阶偏导不存在的点需要用定义
2、去进行判断。不存在的点需要用定义去进行判断。注注2：给出判断极值点的步骤：给出判断极值点的步骤：2021/6/165解：解：(1)(2)(3)2021/6/166二、二元函数的最值二、二元函数的最值注注1：注注2：若区域若区域D为有界闭域，为有界闭域，先求出先求出f(x,y)在在D内内的全部驻点的全部驻点的函数值的函数值,一阶偏导数不存在点的函数值一阶偏导数不存在点的函数值, 以及区域以及区域D边界上驻点的函数值，边界上驻点的函数值， 再比较大小，再比较大小， 其中最大者为最大值，其中最大者为最大值，最小者为最小值。最小者为最小值。若区域若区域D为有界开区域，为有界开区域，一般原则：一般原则：
3、若若f(x,y)在驻点处取得极大或极小值，在驻点处取得极大或极小值， 且驻点唯一，且驻点唯一，则该驻点必为最大值或最小值。则该驻点必为最大值或最小值。2021/6/167 例：某企业生产两种商品的产量分别为例：某企业生产两种商品的产量分别为x、y单位单位,利润函数为：利润函数为：L=64x-2x2+4xy-4y2+32y-14，求最大利润。，求最大利润。解：由极值的必要条件解：由极值的必要条件解：由极值的必要条件解：由极值的必要条件解得唯一驻点解得唯一驻点解得唯一驻点解得唯一驻点(40,24).(40,24).由由由由可知可知,唯一驻点唯一驻点(40,24)为极大值点为极大值点,亦即最大值点。
4、亦即最大值点。最大值为：最大值为：最大值为：最大值为：L L(40,24)=1650(40,24)=1650答：两产品产量分别为答：两产品产量分别为答：两产品产量分别为答：两产品产量分别为4040单位和单位和单位和单位和2424单位时单位时单位时单位时, ,利润最大利润最大利润最大利润最大, ,最大利润为最大利润为最大利润为最大利润为16501650单位。单位。单位。单位。2021/6/168解：由解：由解：由解：由得驻点得驻点得驻点得驻点(0,0),(2,0).(0,0),(2,0).计算驻点处的函数值得计算驻点处的函数值得计算驻点处的函数值得计算驻点处的函数值得计算函数值得计算函数值得计算
5、函数值得计算函数值得2021/6/169三、条件极值三、条件极值无条件极值：无条件极值：无条件极值：无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外对自变量除了限制在定义域内外对自变量除了限制在定义域内外对自变量除了限制在定义域内外, ,再无其他再无其他再无其他再无其他限制条件限制条件限制条件限制条件. .条件极值条件极值条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值。：对自变量有附加条件的极值。引例：引例：小王有小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带计算机磁盘和录音磁带,设他购买设他购买x张磁盘张磁盘, y盒录音磁带盒录音磁带达到最佳效果达到
6、最佳效果,效果函数为效果函数为U(x,y)=lnx+lny。设每张磁盘。设每张磁盘8元元,每盒磁带每盒磁带10元元,问他如何分配这问他如何分配这200元以达到最佳效元以达到最佳效果。果。问题的实质：问题的实质：求求U(x,y)=lnx+lny在条件在条件8x+10y=200下的极下的极值点。值点。目标函数目标函数约束条件约束条件2021/6/1610条件极值问题：条件极值问题：求求z=f(x,y)在限制条件在限制条件 (x,y)=0下的极值。下的极值。求解方法：求解方法：1、将条件、将条件 (x,y)=0代入目标函数代入目标函数z=f(x,y)内内,再对其求无条件再对其求无条件极值。极值。（此
7、时（此时 (x,y)=0 容易表示为容易表示为y=y(x)）2 2、拉格朗日乘数法：、拉格朗日乘数法：具体步骤：具体步骤：1)、构造拉格朗日函数：、构造拉格朗日函数：2)、求解方程组：、求解方程组：3)、判别、判别(x,y)是否为极值点是否为极值点.一般根据实际问题得结论一般根据实际问题得结论.-代入法代入法2021/6/1611例：例：某企业生产两种不同型号的机器，当生产量分别为某企业生产两种不同型号的机器，当生产量分别为如果两种如果两种机器共生产机器共生产8台，问：各生产多少可使总成本最少？台，问：各生产多少可使总成本最少？解：解：解：解：则则问题本身存在最小值问题本身存在最小值.所以当两种机器各生产所以当两种机器各生产5台和台和3台时总成本最少。台时总成本最少。2021/6/1612例：将正数例：将正数12分成三个正数分成三个正数x、y、z之和之和,并使并使S=xyz 最大。最大。解：解：解：解：则则2021/6/16132021/6/1614作业：作业：16(2)(6)(7), 17(2), 21, 22, 232021/6/1615练习2021/6/1616练习解答2021/6/1617练习解答2021/6/1618练习解答2021/6/1619练习解答2021/6/1620 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！
