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1、第二章第二章 点集简介点集简介1.1.度量空间，度量空间，n n维欧氏空间维欧氏空间2.2.聚点，内点，界点聚点，内点，界点3.3.开集，闭集，完备集开集，闭集，完备集4.4.直线上的开集，闭集，直线上的开集，闭集，完备集的构造完备集的构造引言引言引言引言第一章叙述了第一章叙述了第一章叙述了第一章叙述了集合的概念及其运算集合的概念及其运算集合的概念及其运算集合的概念及其运算，那里的集合只提到其中的元素，以及元素的那里的集合只提到其中的元素，以及元素的那里的集合只提到其中的元素，以及元素的那里的集合只提到其中的元素，以及元素的个数（有限，可数无限，不可数无限等等），个数（有限，可数无限，不可数无
2、限等等），个数（有限，可数无限，不可数无限等等），个数（有限，可数无限，不可数无限等等），没有涉及集合各个元素之间的着某种关系没有涉及集合各个元素之间的着某种关系没有涉及集合各个元素之间的着某种关系没有涉及集合各个元素之间的着某种关系，距离距离距离距离” ”、“ “实数之间可以引进四则运算实数之间可以引进四则运算实数之间可以引进四则运算实数之间可以引进四则运算” ”等。等。等。等。都都都都是集合内部的一种结构。是集合内部的一种结构。所谓所谓空间空间: :是一类具有某种结构的集合。是一类具有某种结构的集合。本章将研究一种特殊的集合本章将研究一种特殊的集合本章将研究一种特殊的集合本章将研究一种特殊
3、的集合- -空间中的点集空间中的点集空间中的点集空间中的点集例如：例如：例如：例如：实直线实直线实直线实直线RR构成一维空间、构成一维空间、构成一维空间、构成一维空间、“ “任意两点间有任意两点间有任意两点间有任意两点间有是其中的结构。本章着重研究是其中的结构。本章着重研究是其中的结构。本章着重研究是其中的结构。本章着重研究n n维欧氏空间维欧氏空间维欧氏空间维欧氏空间。1. 度量空间，度量空间，n维欧氏空间维欧氏空间都有唯一确定都有唯一确定都有唯一确定都有唯一确定的实数的实数的实数的实数且且且且满满足足足足1 12 2称称称称为为x x与与与与y y的距离的距离的距离的距离 。 两点间距离定
4、义两点间距离定义条条 件件结结论论设设x x是任意一个非空集合，是任意一个非空集合，是任意一个非空集合，是任意一个非空集合，唯一确定的唯一确定的唯一确定的唯一确定的实实数数数数d(x,yd(x,y) )与之与之与之与之对应对应且且且且满满足足足足2 2（三点不等式）（三点不等式）（三点不等式）（三点不等式）都有都有都有都有1 1（非负性）（非负性）（非负性）（非负性）称称称称d(x,yd(x,y) )是是是是x,yx,y之间距离。称之间距离。称之间距离。称之间距离。称 ( (X,dX,d) )为度为度为度为度量量量量空间（或距离空间）空间（或距离空间）空间（或距离空间）空间（或距离空间） 度量
5、空间定义度量空间定义条条 件件 结结论论X X间间，称，称，称，称为为( (X,dX,d) )的的的的子空子空子空子空间间。设设设设X X是度量空间，则是度量空间，则是度量空间，则是度量空间，则X X中度量中度量中度量中度量d d具有对称性具有对称性具有对称性具有对称性 定义：定义：定义：定义： 如果如果如果如果( (X,dX,d) )是度量空间，是度量空间，是度量空间，是度量空间，Y Y是是是是X X的一个的一个的一个的一个非空子集，则非空子集，则非空子集，则非空子集，则( (Y,dY,d) )也构成一个度量空也构成一个度量空也构成一个度量空也构成一个度量空事实上，在定义事实上，在定义事实上
6、，在定义事实上，在定义1 1中，令中，令中，令中，令z=xz=x，再由，再由，再由，再由1 1）有）有）有）有d(x,y)d(x,x)+d(y,xd(x,y)d(x,x)+d(y,x)=)=d(y,xd(y,x) )由由由由x,yx,y次序是任意的次序是任意的次序是任意的次序是任意的, ,知知知知d(y,xd(y,x) ) d(x,yd(x,y) )所以所以所以所以, , d(y,xd(y,x) ) = =d(x,yd(x,y). ).设设设设X X是度量空间，则是度量空间，则是度量空间，则是度量空间，则X X中度量中度量中度量中度量d d具有对称性具有对称性具有对称性具有对称性已知：已知：已
7、知：已知：( (X , dX , d) ) 是度量空间是度量空间是度量空间是度量空间 , , 求求求求证证：由由由由1)1)可知，可知，可知，可知， 证明：证明：证明：证明：在三点不等式中在三点不等式中在三点不等式中在三点不等式中, ,取取取取有有有有由于由于由于由于x x和和和和y y的次序是任意的，同理可的次序是任意的，同理可的次序是任意的，同理可的次序是任意的，同理可证证, ,即即即即下面我下面我下面我下面我们举们举一些度量空一些度量空一些度量空一些度量空间间的例子。的例子。的例子。的例子。欧氏空间欧氏空间欧氏空间欧氏空间规规定距离定距离定距离定距离例例例例1 1对对中任意两点中任意两点
8、中任意两点中任意两点2 2 由柯西不等式由柯西不等式由柯西不等式由柯西不等式得到得到得到得到 证明：证明：证明：证明：由度量空间定义可知由度量空间定义可知由度量空间定义可知由度量空间定义可知 1 1 显然成立。显然成立。显然成立。显然成立。_ 代入上式代入上式代入上式代入上式 两两两两边边开方得开方得开方得开方得 令令令令= =d(x,z)+d(y,zd(x,z)+d(y,z) )所以，所以，所以，所以， 即即即即是度量空是度量空是度量空是度量空间间。距离的另两种表示法距离的另两种表示法距离的另两种表示法距离的另两种表示法 称称称称为为n n维维欧氏空欧氏空欧氏空欧氏空间间. .d d 称称称
9、称为为欧几里得距离欧几里得距离欧几里得距离欧几里得距离。1 12 2邻域及其基本性质邻域及其基本性质1 1 邻邻域定域定域定域定义义：的点的全体，即集合的点的全体，即集合的点的全体，即集合的点的全体，即集合中所有和定点中所有和定点中所有和定点中所有和定点之距离小于定数之距离小于定数之距离小于定数之距离小于定数称称称称为为点点点点的的的的邻邻域域域域。 记作记作记作记作称称称称为为邻邻域的中心域的中心域的中心域的中心，称称称称为为邻邻域的半径域的半径域的半径域的半径。其中其中其中其中2 2 邻邻域的基本性域的基本性域的基本性域的基本性质质： 显显然成立然成立然成立然成立。 （1 1）和和和和存在
10、存在存在存在3 3(p),(p),使得使得使得使得对于对于对于对于（2 2）取取取取 则则使使使使证证 明：明：明：明：设设设设对对于于于于存在存在存在存在证证明：明：明：明： 则则则则U(Q)=U(Q,U(Q)=U(Q,1 1) )（3 3）因为因为因为因为QQ取取取取 1 1:0:01 1 d(P,Qd(P,Q) )U(P)U(P)P QQQ 11使使使使由由由由有有有有取取取取证毕证毕。（4 4）时时，和和和和当当当当存在存在存在存在证明：证明：证明：证明：则则则则PQPQ 中几个基本概念中几个基本概念中几个基本概念中几个基本概念定定定定义义：记为记为或或或或1 1 收敛收敛收敛收敛为为
11、中一点列，中一点列，中一点列，中一点列，设设设设如果当如果当如果当如果当时时有有有有则则称点列称点列称点列称点列收收收收敛敛于于于于有有有有邻邻域域域域语语言言言言使使使使 有有有有的任意的任意的任意的任意邻邻域域域域对于对于对于对于语言语言语言语言一个非空点集一个非空点集一个非空点集一个非空点集E E的的的的直径直径直径直径定定定定义为义为2 2 点集间距离点集间距离点集间距离点集间距离定义：定义：定义：定义：两个非空点集两个非空点集两个非空点集两个非空点集A,BA,B的的的的距离距离距离距离为为为为3 3 点集间直径点集间直径点集间直径点集间直径定义：定义：定义：定义：ABd(A,Bd(A
12、,B) )(E)E E例如例如例如例如 则则设设E E为为中一点集中一点集中一点集中一点集 , , E E有界有界有界有界, ,4 4 有界集有界集有界集有界集下面三个说法等价下面三个说法等价下面三个说法等价下面三个说法等价EKKX XY Y=（1 1）开区）开区）开区）开区间间定定定定义义：称称称称为为一一一一 个个个个( (n n维维) )开区开区开区开区间间。称称称称为为一个一个一个一个( (n)n)维维闭闭区区区区间间( (或左开右或左开右或左开右或左开右闭闭区区区区间间) )。 （2 2）闭区间定义：）闭区间定义：）闭区间定义：）闭区间定义：5 5 区间区间区间区间点集点集点集点集点
13、集点集点集点集称称称称为为区区区区间间I I的第的第的第的第i i个个个个“ “边长边长” ”。称称称称为为区区区区间间I I的的的的“ “体体体体积积” ”。记记作作作作（3 3）区间的定义：）区间的定义：）区间的定义：）区间的定义：区间的区间的区间的区间的“ “边长边长边长边长” ”：区间的区间的区间的区间的“ “体积体积体积体积” ”：开区间开区间开区间开区间, ,闭区间统称为区间闭区间统称为区间闭区间统称为区间闭区间统称为区间。记作。记作。记作。记作 . .在在在在RR1 1,R,R2 2,R,R3 3中中中中,| ,| I I | |分别表为区间分别表为区间分别表为区间分别表为区间长
14、度，矩形面积，立体体积长度，矩形面积，立体体积长度，矩形面积，立体体积长度，矩形面积，立体体积 则则d d是是是是例例例例2 2 记记设设定定定定义义上的距离。上的距离。上的距离。上的距离。2 2 对固定的对固定的对固定的对固定的n n, ,和和和和都是都是都是都是证明：证明：证明：证明： 1 1 显然成立。显然成立。显然成立。显然成立。 中元素，中元素，中元素，中元素，故故故故对对固定的固定的固定的固定的 n n ，有柯西不等式，有柯西不等式，有柯西不等式，有柯西不等式不等式右端，不等式右端，不等式右端，不等式右端，再令左端再令左端再令左端再令左端即得即得即得即得得，得，得，得， 令令令令令令令令代入上式代入上式代入上式代入上式 两两两两边边开方开方开方开方 所以所以所以所以即即即即是度量空是度量空是度量空是度量空间间。
