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1、1.2.1 1.2.1 排列排列(2)(2)复习巩固复习巩固 从从n n个不同元素中，任取个不同元素中，任取m( )m( )个元素（个元素（m m个元素个元素不可重复取）不可重复取）按照一定的顺序排成一列按照一定的顺序排成一列，叫做，叫做从从n n个不同个不同元素中取出元素中取出m m个个元素的一个排列元素的一个排列. . 1、排列的定义：、排列的定义：2.2.排列数的定义：排列数的定义： 从从n n个不同元素中，任取个不同元素中，任取m( )m( )个元素的个元素的所有排所有排列的个数列的个数叫做从叫做从n n个元素中取出个元素中取出m m个元素的排列数个元素的排列数3.3.有关公式：有关公
2、式：（2）排列数公式）排列数公式:引例引例:甲甲,乙乙,丙等丙等7人站一排人站一排,求以下情况的不同排法求以下情况的不同排法:(10) 7人站成两排（前人站成两排（前3后后4），但其中甲必须在前排），但其中甲必须在前排,乙必须在后排乙必须在后排.(1)甲不站在排头也不站排尾甲不站在排头也不站排尾;(2)甲站在排头或乙站在排尾甲站在排头或乙站在排尾;(3)甲不站在排头甲不站在排头,乙不站在排尾乙不站在排尾;(6)甲甲,乙乙,丙丙3人按甲乙丙的顺序人按甲乙丙的顺序(可以不相邻可以不相邻);(7)甲在乙的左边甲在乙的左边;(8)甲甲,乙之间恰隔一人乙之间恰隔一人;(4)甲乙站在一起甲乙站在一起;(5
3、)甲乙不站在一起甲乙不站在一起;(9)甲甲,乙之间恰隔两人乙之间恰隔两人;解排列问题的常用技巧解排列问题的常用技巧 解排列问题，首先必须认真审题，明确解排列问题，首先必须认真审题，明确问题是否是排列问题，其次是抓住问题的本质问题是否是排列问题，其次是抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答，特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答，同时，还要注意讲究一些基本策略和方法技巧，同时，还要注意讲究一些基本策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解使一些看似复杂的问题迎刃而解. 总的原则总的原则合理分类和准确分步合理分类和准确分步 解排列问题，应按元素的性质进行分类，解排列问题，应按元
4、素的性质进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏确，分步层次清楚，不重不漏.常见的排队的三种题型：常见的排队的三种题型：某些元素某些元素不能不能在或在或必须必须排列在某一位置排列在某一位置优限法优限法；某些元素要求某些元素要求连排连排（即必须相邻）（即必须相邻）捆绑法捆绑法；某些元素要求某些元素要求分离分离（即不能相邻）（即不能相邻）插空法插空法 1 1对有约束条件的排列问题，应注意如下类型：对有约束条件的排列问题，应注意如下类型： 某些元素某些元素不能在不能在或必须排列或必须排列在在某一位置；某一位置；某些元素要求某
5、些元素要求连连排排（即必须相邻）；（即必须相邻）；某些元素要求某些元素要求分离分离（即不能相邻）；（即不能相邻）；2 2基本的解题方法：基本的解题方法：（）有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素（）有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优先法）；或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优先法）； 特殊元素特殊元素, ,特殊位置优先安排策略特殊位置优先安排策略方法总结方法总结（）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元（）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排
6、列，这种方法素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为称为“捆绑法捆绑法”；相邻问题捆绑处理的策略相邻问题捆绑处理的策略（）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些（）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法插空法”；不相邻问题不相邻问题插空处理的策略插空处理的策略评注评注 ：解答元素“在在”与“不在”某一位置问题常常常常使用使用“直接法直接法”或或“排除法排除法”，思路是：优先安置受限制的元素，然后再考虑一般对象的安置问题，常用方法如下： 1）从特殊元素出发，事件分类完成，用分类计数原理
7、2）从特殊位置出发，事件分步完成，用分步计数原理3）从“对立事件”出发，用减法知识要点：知识要点：（一）特殊元素的（一）特殊元素的“优先安排法优先安排法” 对于特殊元素的排列组合问题，一般应先考对于特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其它元素虑特殊元素，再考虑其它元素. 例例1 用用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重这五个数，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有复数字的三位数，其中偶数共有_个个 分析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必分析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必须是偶数，须是偶数， 又因为又因为0不能排首位，故不能排首位，故0就是其中的就是其中的“特殊特殊”
8、元素，应优先安排元素，应优先安排.按按0排在末尾和不排在排在末尾和不排在末尾分为两类；末尾分为两类；1)0排在末尾时，有排在末尾时，有 个；个；2)0不排在末尾时，先用偶数排个位，再排百位，不排在末尾时，先用偶数排个位，再排百位，最后排十位有最后排十位有 个；个；由分类计数原理，共有偶数由分类计数原理，共有偶数 30 个个.解题技巧分类讲解：解题技巧分类讲解：（1）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字可组成多少个无重复数字的五位偶数？的五位偶数？个位数为零：个位数为零：个位数为个位数为2或或4：所以所以练练 习习 1（2）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数可组成多少个无重复数字
9、且能被五整除的五位数？字且能被五整除的五位数？分类：后两位数字为分类：后两位数字为5或或0：个位数为个位数为0：个位数为个位数为5：（3）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数可组成多少个无重复数字且大于字且大于31250的五位数？的五位数？分类：分类：（4）31250是由是由0，1，2，3，4，5组成的无重组成的无重复数字的五位数中从小到大第几个数？复数字的五位数中从小到大第几个数？方法一：（排除法）方法一：（排除法）方法二：（直接法）方法二：（直接法） 例例2 用用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复这五个数，组成没有重复数字的三位数，其中数字的三位数，其中1不在个位的数共有不在个
10、位的数共有_种种.（二）总体淘汰法（二）总体淘汰法(间接法、排除法）间接法、排除法） 对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的减去，此时应注意既不能多减又不能少减. 分析：分析：五个数组成三位数的全排列有五个数组成三位数的全排列有 个，个，0排在首排在首位的有位的有 个个 ，1排在末尾的有排在末尾的有 ，减掉这两种不合，减掉这两种不合条件的排法数，再加回百位为条件的排法数，再加回百位为0同时个位为同时个位为1的排列数的排列数 （为什么？）（为什么？）故共有故共有 种种.（1）三个男生，四个女生排成一排，甲不）三个男生，四个女生排成一排，甲不在最左，乙不在最右，有几种不同方法？在最左
11、，乙不在最右，有几种不同方法？ （2）五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，）五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，乙不站第二个位置，那么不同的站法有乙不站第二个位置，那么不同的站法有_直接练练 习习 2 （3）0,1,2,3,4,5这六个数字可组成多少个无重复数这六个数字可组成多少个无重复数字且个位数字不是字且个位数字不是4的五位数？的五位数？（4）用）用间接法解间接法解“6个同学和个同学和2个老师排成一排照个老师排成一排照相，相， 2个老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站个老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？排尾，共有多少种不同的排法？”（三）相邻问题（三）
12、相邻问题捆绑法捆绑法 对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素相邻的元素“捆绑捆绑”在一起，看作一个在一起，看作一个“大大”的元的元（组），与其它元素排列，然后再对相邻的元素（组）（组），与其它元素排列，然后再对相邻的元素（组）内部进行排列内部进行排列.例例3 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相邻，分人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相邻，分别有多少种站法？别有多少种站法？分析：先将甲，乙，丙三人捆绑在一起看作一个元素，分析：先将甲，乙，丙三人捆绑在一起看作一个元素，与其余与其余4人共有人共有5个元素做全排列，有个元素做全排列，有 种排法，
13、然后种排法，然后对甲，乙，丙三人进行全排列对甲，乙，丙三人进行全排列.由分步计数原理可得：由分步计数原理可得： 种不同排法种不同排法.（1）三个男生，四个女生排成一排，男生、女生）三个男生，四个女生排成一排，男生、女生各站一起，有几种不同方法？各站一起，有几种不同方法？捆绑法：捆绑法：练练 习习 3（四）不相邻问题（四）不相邻问题插空法插空法 对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其它对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其它元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可之间及两端的空隙之间插入即可.例例4 7人站成一排照相
14、，要求甲，乙，丙三人不相邻，人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，分别有多少种站法？分别有多少种站法？分析：可先让其余分析：可先让其余4人站好，共有人站好，共有 种排法，再在种排法，再在这这4人之间及两端的人之间及两端的5个个“空隙空隙”中选三个位置让甲、中选三个位置让甲、乙、丙插入，则有乙、丙插入，则有 种方法，这样共有种方法，这样共有 种不种不同的排法同的排法.1三个男生，四个女生排成一排，男生之间、三个男生，四个女生排成一排，男生之间、女生之间不相邻，有几种不同排法？女生之间不相邻，有几种不同排法？插空法：插空法：2如果有两个男生、四个女生排成一排，要如果有两个男生、四个女生排成一排
15、，要 求男求男生之间不相邻，有几种不同排法？生之间不相邻，有几种不同排法？插空法：插空法：练练 习习 4例例5 有有4名男生，名男生，3名女生名女生.3名女生高矮互不等，名女生高矮互不等，将将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？排列，有多少种排法？（五）顺序固定问题用（五）顺序固定问题用“除法除法” 对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总将这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数的排列数除以这几个元素的全排列数
16、.所以共有所以共有 种种. 分析：先在分析：先在7个位置上作全排列，有个位置上作全排列，有 种排法种排法.其中其中3个女生因要求个女生因要求“从矮到高从矮到高”排，只有一种顺序故排，只有一种顺序故 只只对应一种排法，对应一种排法，本题也可以这样考虑：本题也可以这样考虑：对应于先将没有限制对应于先将没有限制条件的其他元素进行排列，有条件的其他元素进行排列，有 种方法；种方法；再将有限制条件（顺序要求）的元素进行排再将有限制条件（顺序要求）的元素进行排列，只有一种方法；列，只有一种方法；故，总的排列方法数为：故，总的排列方法数为：（1） 五人排队，甲在乙前面的排法有几种？五人排队，甲在乙前面的排法
17、有几种？练练 习习 5(2) 三个男生，四个女生排成一排，其中甲、乙、丙三三个男生，四个女生排成一排，其中甲、乙、丙三人的顺序不变，有几种不同排法？人的顺序不变，有几种不同排法？分析：若不考虑限制条件，则有分析：若不考虑限制条件，则有 种排法，而甲，种排法，而甲，乙之间排法有乙之间排法有 种，故甲在乙前面的排法只有一种种，故甲在乙前面的排法只有一种符合条件，故符合条件，故符合条件的排法有符合条件的排法有 种种.（六）分排问题用（六）分排问题用“直排法直排法” 把把n个元素排成若干排的问题，若没有其他个元素排成若干排的问题，若没有其他的特殊要求，可采用统一排成一排的方法来处理的特殊要求，可采用统
18、一排成一排的方法来处理.例例6 七人坐两排座位，第一排坐七人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐人，第二排坐4人，则有多少种不同的坐法？人，则有多少种不同的坐法？ 分析：分析：7个人，可以在前后排随意就坐，再无个人，可以在前后排随意就坐，再无其他限制条件，故两排可看作一排处理，所以其他限制条件，故两排可看作一排处理，所以不同的坐法有不同的坐法有 种种.（1）三个男生，四个女生排成两排，前排三人、）三个男生，四个女生排成两排，前排三人、后排四人，有几种不同排法？后排四人，有几种不同排法？或：七个人可以在前后两排随意就坐，再无其他或：七个人可以在前后两排随意就坐，再无其他条件，条件，所以所以两排可看
19、作一排来处理两排可看作一排来处理不同的坐法有不同的坐法有 种种（2）八个人排成两排，有几种不同排法？八个人排成两排，有几种不同排法？练练 习习 6（七）实验法（七）实验法 题中附加条件增多，直接解决困难时，用实验题中附加条件增多，直接解决困难时，用实验逐步寻求规律有时也是行之有效的方法逐步寻求规律有时也是行之有效的方法. 例例7 将数字将数字1，2，3，4填入标号为填入标号为1，2，3，4的四个方格内，每个方格填的四个方格内，每个方格填1个，则每个方格的标号个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有与所填的数字均不相同的填法种数有_种种分析：此题考查排列的定义，由于附加条件较多，解法
20、较为困难，分析：此题考查排列的定义，由于附加条件较多，解法较为困难，可用实验法逐步解决可用实验法逐步解决.第一方格内可填第一方格内可填2或或3或或4.如填如填2，则第二方格中内可填，则第二方格中内可填1或或3或或4.若第二方格内填若第二方格内填1，则第三方格只能填，则第三方格只能填4，第四方格应填，第四方格应填3.若第二方格内填若第二方格内填3，则第三方格只能填，则第三方格只能填4，第四方格应填，第四方格应填1.同理，若第二方格内填同理，若第二方格内填4，则第三方格只能填，则第三方格只能填1，第四方格应填，第四方格应填3.因而，第一格填因而，第一格填2有有3种方法种方法.不难得到，当第一格填不
21、难得到，当第一格填3或或4时也各有时也各有3种，所以共有种，所以共有9种种.（八）住店法（八）住店法解决解决“允许重复排列问题允许重复排列问题”要注意区分两类元素：要注意区分两类元素： 一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作的元素看作“客客”，能重复的元素看作，能重复的元素看作“店店”，再利，再利用乘法原理直接求解用乘法原理直接求解.分析：因同一学生可以同时夺得分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作重复排列，将七名学生看作7家家“店店”，五项冠军看，五项冠军看作作5名名“客客”，每个，每
22、个“客客”有有7种住宿法，由乘法原种住宿法，由乘法原理得理得 种种.注：对此类问题，常有疑惑，为什么不是注：对此类问题，常有疑惑，为什么不是 呢？呢？例例8 七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有人获得，获得冠军的可能的种数有_用分步计数原理看，用分步计数原理看，5是步骤数，自然是指数是步骤数，自然是指数.(九九) 对应法对应法例例9 在在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场比赛失败要退出比赛），最后产生一名冠军，问要比赛失败要退出比赛），最后产生一名冠军，问要举行几场？举行几场？ 分析：
23、要产生一名冠军，需要淘汰掉冠军以外的分析：要产生一名冠军，需要淘汰掉冠军以外的所有选手，即要淘汰所有选手，即要淘汰99名选手，淘汰一名选手需要名选手，淘汰一名选手需要进行一场比赛，所以淘汰进行一场比赛，所以淘汰99名选手就需要名选手就需要99场比赛场比赛.（十）特征分析（十）特征分析 研究有约束条件的排数问题，须要紧扣题目所研究有约束条件的排数问题，须要紧扣题目所提供的数字特征，结构特征，进行推理，分析求解提供的数字特征，结构特征，进行推理，分析求解. 例例10 由由1，2，3，4，5，6六个数字可以组成多少六个数字可以组成多少个无重复且是个无重复且是6的倍数的五位数？的倍数的五位数？分析数字
24、特征：分析数字特征：6的倍数既是的倍数既是2的倍数又是的倍数又是3的倍数的倍数.其中其中3的的倍数又满足倍数又满足“各个数位上的数字之和是各个数位上的数字之和是3的倍数的倍数”的特征的特征.把把6分成分成4组，（组，（3），（），（6），（），（1，5），（），（2，4），每组的），每组的数字和都是数字和都是3的倍数的倍数.因此可分成两类讨论；因此可分成两类讨论；第一类：由第一类：由1，2，4，5，6作数码；首先从作数码；首先从2，4，6中任选中任选一个作个位数字有一个作个位数字有 ，然后其余四个数在其他数位上全排，然后其余四个数在其他数位上全排列有列有 ，所以，所以第二类：由第二类：由1，2
25、，3，4，5作数码作数码.依上法有依上法有（1）三个男生，四个女生排成一排，甲不能）三个男生，四个女生排成一排，甲不能在中间，也不在两头，有几种不同方法？在中间，也不在两头，有几种不同方法？（2）三个男生，四个女生排成一排，甲只能）三个男生，四个女生排成一排，甲只能在中间或两头，有几种不同排法？在中间或两头，有几种不同排法？找位置：找位置：找位置：找位置：练练 习习 7基本的解题方法：基本的解题方法：（1）定位问题优限法：所谓）定位问题优限法：所谓“优限法优限法”，即有，即有限制条件的元素（或位置）在解题时优先考虑限制条件的元素（或位置）在解题时优先考虑（2）相邻元素捆绑法：在解决对于某几个元
26、素）相邻元素捆绑法：在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为要求相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个一个“大大”元素，与其他元素排列后，再考虑元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列相邻元素的内部排列（3）相离问题插空法：不相邻问题是指要求某些）相离问题插空法：不相邻问题是指要求某些 元素不能相邻，由其他元素将它隔开，此类问题元素不能相邻，由其他元素将它隔开，此类问题 可以先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的可以先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的 元素插到它们的间隙及两端位置元素插到它们的间隙及两端位置小结（6） 在处理排列问题时，一般可采用直接和间在处理
27、排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维形式接两种思维形式.（5）复杂问题）复杂问题“排除法排除法”(间接法间接法)：对于一些比：对于一些比较复杂的问题的求解，用排除法可能更简单，较复杂的问题的求解，用排除法可能更简单，只要将不合要求的一一排除即可，但使用排除只要将不合要求的一一排除即可，但使用排除法时同样要注意法时同样要注意“分类分类”或或“分步分步”，要不重不漏，要不重不漏（4）顺序固定问题用）顺序固定问题用“除法除法”：对于某几个元素：对于某几个元素 顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其 他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以他元素一同进行排
28、列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数这几个元素的全排列数 5名同学排成一排照相，有多少种排法？名同学排成一排照相，有多少种排法？1、甲必须站在队伍中间，有多少种排法；、甲必须站在队伍中间，有多少种排法；2、甲、乙必须相邻，有多少种排法；、甲、乙必须相邻，有多少种排法；3、甲、乙不能相邻，有多少种排法；、甲、乙不能相邻，有多少种排法；4、甲不在两头，有多少种排法；、甲不在两头，有多少种排法；5、甲在乙的前面，有多少种排法；、甲在乙的前面，有多少种排法；6、甲、乙都不在排头和排尾，有多少种排法；、甲、乙都不在排头和排尾，有多少种排法；7、甲不在排头，乙不在排尾，有多少种排法、甲不在排头，乙不在排尾，有多少种排法.作业作业
