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1、阅读下面的资料，在数学中，有理数的定义为：形如的数（p，q为互质的整数，且p0）叫做有理数，当p=1，q为任意整数时，有理数就是指所有的整数，如：=-2等，当p1时，由p，q互质可知，有理数就是指所有的分数，如，等，综上所述，有理数就是整数和分数的统称。请用上述材料中所涉及的知识证明下面的问题：直角边长分别为3和1的直角三角形的斜边长是不是有理数？有理数范围是否满足实际生活的需要呢？你知道吗？把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形1111可能是整数吗？可能是分数吗？数怎么又不够用了！数怎么又不够用了！a2=2，1a24，得到得到1a2， a一定不是整数；一定不是整数；因为因为
2、a2=2，所以所以a一定不是分数。一定不是分数。 在等式在等式a 2=2中，中，a既不是整既不是整 数，也不是分数，那么一定不数，也不是分数，那么一定不是有理数是有理数。111CBAbb是有理数吗？2.B，C是一个生活小区的两个路口，BC长为2千米，A处是一个花园，从A到B，C两路口的距离都是2千米，现要从花园到生活小区修一条最短的路，这条路的长可能是整数吗？可能是分数吗？说明理由。解：这条路的长既不是整数也不是解：这条路的长既不是整数也不是分数，因为这个数的平方等于分数，因为这个数的平方等于3。1.是一个什么样的数呢？是一个什么样的数呢？边长a面积s1a2 1S41.4a1.5 1.96s2
3、.25 1.41a1.42 1.9881s2.0164 1.414a1.415 1.999396s2.0022251.4142a1.4143 1.99996164s2.00024449=1.41421356思考：思考：分数化成小数，最终此小数的形式有几种情况？分数化成小数，最终此小数的形式有几种情况？结论：分数只能化成有限小数或无限循环小数结论：分数只能化成有限小数或无限循环小数.即任何有限小数或无限循环小数都是有理数即任何有限小数或无限循环小数都是有理数. .像像0.5858858885888850.585885888588885，1.414213561.41421356，2.2360679
4、2.2360679等这些数的小数位数等这些数的小数位数都是无限的都是无限的, ,但是又不是循环的但是又不是循环的, ,是是无限不循环小数无限不循环小数. .故无限不循环小数叫无理数故无限不循环小数叫无理数.(.(圆周率圆周率=3=3.1415926514159265也是一个也是一个无限不循环小数无限不循环小数, ,故故是无理数是无理数) )分一分分一分到目前为止我们所学过的数可以分为几类？到目前为止我们所学过的数可以分为几类？按小数的形式来分按小数的形式来分有理数：有限小数或无限循环小数有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数无理数：无限不循环小数数数整数整数分数分数辨一辨辨一辨例
5、例1 1 填空填空3.14159,-5.232332，12334567891011( (由相继的正整数组成由相继的正整数组成).).有理数集合有理数集合无理数集合无理数集合3.14159,3.14159,-5.232332-5.2323321233456789101112334567891011(1)(1)有限小数是有理数有限小数是有理数; ; （ ）(2)(2)无限小数都是无理数无限小数都是无理数; ; （ ）(3)(3)无理数都是无限小数无理数都是无限小数; ; （ ）(4)(4)有理数是有限小数有理数是有限小数. . （ ） 例例2 2 判断题判断题？1.1.无理数是无限不循环小数，有理
6、数是有无理数是无限不循环小数，有理数是有 限小数或无限循环小数限小数或无限循环小数. .2.2.任何一个有理数都可以化成分数任何一个有理数都可以化成分数 形形式（式（ p，q 为整数且互质），而无理数不能为整数且互质），而无理数不能. .强强 调调以下各正方形的边长是无理数的是（以下各正方形的边长是无理数的是（ ）A.A.面积为面积为2525的正方形；的正方形； B.B.面积为面积为 的正方形；的正方形；C.C.面积为面积为8 8的正方形；的正方形； D.D.面积为面积为1.441.44的正方形的正方形. . C C例例3 3 用16个边长为1的小正方形拼成了如图的网格，任意连接两个格点，就得
7、到一条线段， 试分别画出一条长度 是有理数的线段和一条长度是无理数的线段ABGCDEF公元前公元前500年，古希腊的毕达哥拉年，古希腊的毕达哥拉斯斯(Pythagoras)学派认为学派认为“宇宙间的宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比，一切现象都能归结为整数或整数之比，即都可用有理数来描述。即都可用有理数来描述。这学派的成员希伯索斯这学派的成员希伯索斯(Hippasus)发现边长为发现边长为1的正方形的对的正方形的对角线的长不能有理数来表示，这就动角线的长不能有理数来表示，这就动摇了毕达哥拉斯学派的信条，引起了摇了毕达哥拉斯学派的信条，引起了信徒们的恐慌，他在逃回家的路上，信徒们的恐慌，他
8、在逃回家的路上，遭到毕氏成员的追捕，被投入大海。遭到毕氏成员的追捕，被投入大海。献身科学，执着追求献身科学，执着追求是谁最早使用符号是谁最早使用符号表示圆周率表示圆周率? ?无理数无理数表示圆周率表示圆周率. .是从什么时候开始用是从什么时候开始用表示圆周率的呢？为什么用字母呢表示圆周率的呢？为什么用字母呢 ？你知道吗？你知道吗？ 16001600年英国的威廉年英国的威廉. .奥托兰特奥托兰特（WillianWillian OughtredOughtred）首先使首先使用用 表示圆周率，他的理由是，因为表示圆周率，他的理由是，因为是是希腊文圆周的第一个希腊文圆周的第一个字母，奥托兰特用它表示圆
9、周长，而字母，奥托兰特用它表示圆周长，而是希腊文直径的第一个字是希腊文直径的第一个字母，奥托兰特用它表示直径，根据圆周率母，奥托兰特用它表示直径，根据圆周率= = ， 理解为圆理解为圆周率周率, ,但在推求圆周率的过程中但在推求圆周率的过程中, ,人们常选用直径为人们常选用直径为1 1的圆的圆, ,即设即设=1,=1,于是就等于于是就等于了了. . 1706 1706年英国的数学家威廉年英国的数学家威廉. .琼斯琼斯( (WillianJones,16751749),16751749)首首先改用先改用表示圆周率表示圆周率, ,后来被数学家们所接受后来被数学家们所接受, ,一直沿用至今一直沿用至今. . 1.通过拼图活动，感受有理数又不够用了。通过拼图活动，感受有理数又不够用了。2.感受数不够用了，会确定一个数是有理数或感受数不够用了，会确定一个数是有理数或是无理数是无理数。3.本节课用到基本方法：动手、操作、观察、本节课用到基本方法：动手、操作、观察、思考，猜想验证，推理，归纳等过程，获取数思考，猜想验证，推理，归纳等过程，获取数学知识。学知识。
