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1、复合函数的求导法则复合函数的求导法则全微分形式不变性全微分形式不变性小结小结 思考题思考题 作业作业第四节第四节 多元复合函数的多元复合函数的 求导法则求导法则第八章第八章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用1一、一、复合函数的求导复合函数的求导法则法则(链导法则链导法则)证证1. 中间变量为中间变量为一元函数一元函数的情形的情形.定理定理且且其导数可用下列公式计算其导数可用下列公式计算:多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则具有连续偏导数具有连续偏导数,2 可微可微由于函数由于函数有有连续偏导数连续偏导数多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则3复合函数的复合函数的中间变
2、量多于两个中间变量多于两个的情况的情况.定理推广定理推广导数导数变量树图变量树图 三个中间变量三个中间变量称为称为全导数全导数全导数全导数( ( ( (又称又称又称又称链导公式链导公式链导公式链导公式).).).).多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则4项数项数问问:每一项每一项中间变量中间变量函数对函数对中间变量中间变量的偏导数的偏导数该中间变量对其该中间变量对其指定自变量指定自变量的偏导数的偏导数(或导数或导数).的个数的个数.函数对某自变量的偏导数之结构函数对某自变量的偏导数之结构多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则5例例 设设 求求这是幂指函数的导数这是幂指函数的导数,
3、但用但用全导数公式全导数公式较简便较简便.法二法二 yuvx解解 法一法一可用可用取对数求导法取对数求导法计算计算.多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则6多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则复合函数为复合函数为则则复合函数复合函数偏导数存在偏导数存在,且可用下列公式计算且可用下列公式计算 两个中间变量两个中间变量 两个自变量两个自变量具有连续偏导数具有连续偏导数,2.的情形的情形.7 变量树图变量树图uv多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则8解解多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则例例 9中间变量多于两个的情形中间变量多于两个的情形类似地再推广类似地再推广,复合
4、函数复合函数在对应点在对应点的两的两个个偏导数存在偏导数存在, 且可用下列公式计算且可用下列公式计算:三个中间变量两个自变量三个中间变量两个自变量多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则10例例 设设解解自己画变量树自己画变量树 求求多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则11只有一个中间变量只有一个中间变量即即两者的区别两者的区别区区别别类类似似多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则3.的情形的情形.把复合函数把复合函数中的中的y看作不变而对看作不变而对x的偏导数的偏导数把把中的中的u及及y看作不变看作不变而对而对x的偏导数的偏导数12解解 zuxyxy变量树图变量树图例例多元
5、复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则13 例例 设设 f具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数, 变量树图变量树图ursxt或记或记 u对中间变量对中间变量 r,s 的的偏导数偏导数 注注从而也是从而也是自变量自变量x, t 的复合函数的复合函数. 解解都是都是x, t 的函数的函数, 对抽象函数在求偏导数时对抽象函数在求偏导数时, 一定要设中间变量一定要设中间变量.多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则14ursxt变量树图变量树图 设设 f具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数, 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则15ursxt变量树图变量树图 设设 f具有二阶连续偏导数具
6、有二阶连续偏导数, 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则16多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则解解具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数, 且且满足满足2003年考研数学三年考研数学三, 8分分故故17由由例例解解现将现将把下列表达式转换为把下列表达式转换为极坐标系极坐标系中的形式中的形式:设设 的所有的所有二阶偏导数连续二阶偏导数连续,函数函数换成极坐标换成极坐标的函数的函数:及及 以及函数以及函数对对 的偏导数的偏导数来表达来表达.多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则18复合而成复合而成.ruxy(1)及及多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则19得得ruxy
7、多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则20(2)ruxy设设 的所有的所有二阶偏导数连续二阶偏导数连续多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则21同理可得同理可得(自己练自己练)多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则22两式相加两式相加,得得:多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则23多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则例例假设流体中一质点的运动速度为假设流体中一质点的运动速度为其中其中由于质点随流体运动由于质点随流体运动,故其位置故其位置也随时间也随时间t 而变化而变化.试求质点运动的加速度试求质点运动的加速度答案答案时变加速度时变加速度位变加速度位变加速度24
8、 已知已知f(t)可微可微,证明证明 满足方满足方程程提示提示t, y 为中间变量为中间变量, x, y 为自变量为自变量.引入中间变量引入中间变量,则则多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则25二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性具有连续偏导数具有连续偏导数, 则有则有全微分全微分则有全微分则有全微分全全微微分分形形式式不不变变性性的的实实质质多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则26解解例例 通过全微分求所有一阶偏导数通过全微分求所有一阶偏导数,比链比链导法则求偏导数有时会显得灵活方便导法则求偏导数有时会显得灵活方便.多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则271994
9、年研究生考题年研究生考题,计算计算,3分分答案：答案：多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则281989年研究生考题年研究生考题,计算计算,5分分 解解多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则291990年研究生考题年研究生考题,计算计算,5分分 解解 设设多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则有有连续的二阶导数连续的二阶导数,301992年研究生考题年研究生考题,计算计算,5分分 解解 设设多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则连续的二阶导数连续的二阶导数,31求求在点在点(1,1)处可微处可微, ,且且设函数设函数解解2001年考研数学一年考研数学一, 6分分多元复合
10、函数的求导法则多元复合函数的求导法则由题设由题设32多元复合函数求导法则多元复合函数求导法则 (链导法则链导法则)全微分形式不变性全微分形式不变性(理解其实质理解其实质)多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则三、小结三、小结(大体分三种情况大体分三种情况)求抽象函数的二阶偏导数特别注意混合偏导求抽象函数的二阶偏导数特别注意混合偏导33思考题思考题多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则正确的是正确的是( ).34思考题解答思考题解答令令则则两边对两边对t求导求导,得得多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则35作业作业习题习题8-48-4(30(30页页) ) 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.(1)(2) 9. 10. 11. 12.(4) 13.多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则36
