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1、1.4 1.4 最大公因式最大公因式一、定义一、定义定义定义1 1 设设 若若 满足满足(1) 即即 是是 与与的一个公因式的一个公因式；(2) 若若 且且 ，则 则称则称 为为 的的一个最大公因式一个最大公因式 例例1 1 求求 与与 的最大公因式的最大公因式是是 与与 的的一个最大公因式。一个最大公因式。(2) 与与 的最大公因式的最大公因式? 任意非零常数任意非零常数d都是都是 与与 的一个最大公因式。的一个最大公因式。(3) 与与0的最大公因式？的最大公因式？是是 与与 的一个最大公因式。的一个最大公因式。特别地，特别地，0 0是是0 0与与0 0的最大公因式。的最大公因式。注：注：设
2、设 是是 与与 的最大公因式，的最大公因式，存在存在 ，使得，使得根据定义有根据定义有 且且 . .因此，因此，最大公因式最大公因式在相伴意义下是唯一在相伴意义下是唯一的。的。最大公因式最大公因式不是唯一不是唯一的。的。 与与 的首项系数为的首项系数为1 1的最大公因式的最大公因式是唯一确定的，记作是唯一确定的，记作二、最大公因式的存在性及表示法二、最大公因式的存在性及表示法引理引理1 1 若等式若等式 成立，成立，则则 与与 有相同的公因式；有相同的公因式； 与与 有相同最大公因式，有相同最大公因式，因此，因此，定理定理1 1 对任意对任意 则在则在中存在中存在 与与 的一个最大公因式的一个
3、最大公因式且且 可表成可表成 的一个组合，即的一个组合，即存在存在 使得使得若若 有一为有一为0 0，如，如 ，则则 考虑一般情形：考虑一般情形： 用用 除除 得：得： 其中其中 或或 . . 若若 ，用，用 除除 ，得：，得： 证：证：就是就是 的一个最大公因式且的一个最大公因式且 其中其中 或或 若若 ，用，用 除除 ，得，得 如此辗转下去，显然，所得余式的次数不断降低，如此辗转下去，显然，所得余式的次数不断降低，因此，有限次后，必然有余式为因此，有限次后，必然有余式为0 0设设 即即 于是我们有一串等式于是我们有一串等式 从而有从而有再由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去再由上面倒
4、数第二个式子开始往回迭代，逐个消去再并项就得到再并项就得到说明说明说明说明: : : : 定理定理1 1中用来求最大公因式的方法，通常称为中用来求最大公因式的方法，通常称为辗转相除法辗转相除法辗转相除法：对辗转相除法：对 作辗转相除时，作辗转相除时，最最后一个不等后一个不等0的余式的余式是是 的一个最大的一个最大公因式。公因式。 定理定理1 1中最大公因式中最大公因式 中的中的 不唯一。不唯一。 设设 若满足若满足 则则 未必是未必是 的最大公因式。的最大公因式。如：如： 但但0 0不是不是 的最大公因式。的最大公因式。命题命题1 1 是是 的最大公因式的最大公因式 使得使得例例2 2求求 ，
5、并求并求 使使 解解: : 且由且由 得得 最大公因式与数域扩大的关系最大公因式与数域扩大的关系命题命题2 2 最大公因式与数域扩大无关。最大公因式与数域扩大无关。即，设即，设 是数域且是数域且则则 在在 中的首中的首1 1最大公因式与最大公因式与在在 中的首中的首1 1最大公因式一致。最大公因式一致。原因：辗转相除法的本质是带余除法，而带余原因：辗转相除法的本质是带余除法，而带余除法与数域扩大无关。除法与数域扩大无关。三、互素三、互素1 1、定义、定义定义定义2 2 若若 则称则称 是是互素的。互素的。互素互素 除去零次多项式外无除去零次多项式外无说明说明: : 由定义，由定义，其它公因式其
6、它公因式 2 2、互素的判定与性质互素的判定与性质定理定理2 2 设设 则则 互素互素 存在存在 使得使得定理定理3 若若 且且 则则推论推论1 如果如果 而且而且则则定理定理4 在在 中，若中，若 且且 则则四、多个多项式的最大公因式四、多个多项式的最大公因式若若 满足满足: : 定义定义3 3 设设i) 则称则称 为为 的一个的一个ii)若若则则 最大公因式最大公因式注：注： 表示首表示首1 1最大公因式最大公因式 ，使，使 的最大公因式一定存在的最大公因式一定存在互素互素 使使附附: : 最小公倍式最小公倍式设设 ，若，若 i) ii) 对对 的任一公倍式的任一公倍式 ，都有，都有则称则称 为为 的的最小公倍式最小公倍式 注注: : 的首项系数为的首项系数为1的最小公倍式记作的最小公倍式记作: :
