集合概念与符号PPT课件

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1、集合论11. 集合概念与符号w集合(直观描述)w集合相等和子集合w子集的表示方式和全集w常用数学符号和常用集合记号2起源w集合论(Set Theory)是现代数学的基础它的起源可追溯到16世纪末，主要是对数集进行卓有成效的研究但集合论实际发展是由 19世纪 70年代德国数学家康托尔(G . Cantor) 在无穷序列和分析的有关课题的理论研究中创立的康托尔对具有任意特性的无穷集合进入了深入的探讨，提出了关于基数、序数、超穷数和良序集等理论，奠定了集合论的深厚基础因此，康托尔被誉为集合论的创始人但随着集合论的发展，以及它与数学哲学密切联系所作的讨论，在本世纪初，出现了许多似是而非、自相矛盾的悖论

2、，如著名的罗素(B . A . W . Russell)悖论，有力冲击了或者说动摇了集合论的发展3w由此原发许多数学家哲学家为克服这些矛盾而建立了各种公理化集合论体系，其中尤以本世纪初、中期的ZFS(E . Zermelo, A . Fraenkel, T . Skolem)和NBG(Von Neurnann, P . Bernavs, K . Gdel)公理化体系最为流行. 到 20世纪 60年代，P . L . Cohen发明了强制方法而得到了关于连续统与选择公理的独立性成果，尔后的研究结果推陈出新，大量涌现在同一时代，美国数学家 L . A.Zadeh提出了Fuzzy集理论, 以及 20

3、世纪80年代波兰数学家Z . Pawlak发表了Rough集理论，这两种理论区别于以往的集合论，是一种新的模糊集理论，受到了学术界的重视和青睐，取得了喜人成果还有多位著名学者也为集合论的发展作出了重要贡献4w集合论在计算机科学、人工智能领域、逻辑学及语言学等方面都有着重要的应用对子从事计算机科学的工作者来说，集合论是不可缺少的理论知识，熟悉和掌握它是十分必要的5集合(直观描述)w具有某种属性的对象总体(通常用大写字母表示，如A,B等)，这些对象称为其元素 (通常用小写字母表示，如x,y等).wx是A的元素记为: xA (读作x属于A)wx不是A的元素记为: xA (读作x不属于A)w集合的基

4、本特性是，对于给定的集合A，任何对象x, xA与xA中有且只有一个成立.6举例w小于10的正奇数集合A=1, 3, 5, 7, 9w表面看起来不相干的元素所构成的集合a, 2, Fred, New Jersegw集合B=x | x是小于10的正奇数 w上例中集合A=B7集合相等和子集合w集合相等集合相等：如果两个集合A和B有同样的元素组成，就说集合A和B相等，记作A= B或B=A.w子集合: 如果集合B的元素都是集合A的元素，B叫做A的子集合(简称子集). 记作BA (读作B包含于A)，或AB (读作A包含B).w命题： A= B当且仅当AB且AB.8子集的表示方式和全集w设A是一个集合,其子

6、所有可能的组合，看它们是否具有某种性质。为了考虑集合元素所有可能的组合，我们构造一个新集合，它以S的所有子集作为它的元素。11幂集合w定义6 已知集合S, S的幂集合是集合S所有子集的集合，用P(S)表示。w例集合0, 1, 2的幂集合是P(0,1,2=,0,1,2,0,1,0,2,1,2,0,1,2。w空集的幂集合是什么？集合的幂集合是什么？12幂集合w空集的幂集合是什么？集合的幂集合是什么？wP()=P()=,w如果一个集合有n个元素，那么它的幂集合有2n个元素。132. 笛卡尔积w定义7 有序n元组（a1,a2,an)是以a1为第一个元素，a2为第2个元素，an为第n个元素的有序组。w

7、2元组特称为有序偶。w集合A和B的笛卡尔积C=AB表示所有有序偶(a,b)的集合, 其中aA, bB. 也就是AB=(a,b) | aA且 bB14笛卡尔积w例令A为某大学所有学生的集合，B表示该大学开设的所有课程的集合。A和B的笛卡儿积AB是什么？w解：笛卡儿积AB由形为(a, b)的所有有序偶组成，其中a是学生，而b是该校开的一门课。集合AB可以用来表示该校学生选课的所有可能情况。15笛卡尔积w例 A=1,2, B=a, b, c, AB=?w上例中AB是否等于BA16笛卡尔积w定义9 集合A1, A2,An的笛卡儿积用A1A2An表示，这是有序n元组(a1,a2,an)的集合，其中对于

8、i=1,2,n，aiAi。w什么是笛卡儿积ABC，其中A=0,1,B=1,2,C=0,1,2?17笛卡尔积w什么是笛卡儿积ABC，其中A=0,1,B=1,2,C=0,1,2?w解：ABC=(0,1,0),(01,1),(0,1,2),(0,2,0),(0,2,1),(0,2,2),(1,1,0),(1,1,1),(1,1,2),(1,2,0),(1,2,1),(1,2,2)183. 集合运算w集合的并w集合的交w集合的差运算和余(补)运算w集合运算的性质19集合的并w集合A和B的并是由A或B的所有元素组成的集合, 记为AB, 也就是AB=x | xA或xBw集合并运算的性质：交换律 A B=

9、B A结合律A (B C)= (A B) C20集合的交w集合A和B的交是由所有A和B的公共元素组成的集合, 记为A B, 也就是A B=x | xA且xBw集合交运算的性质：交换律 A B= B A结合律A (B C)= (A B) C21集合的差运算和余(补)运算w集合的差运算：由集合A中不在集合B中的元素所组成的集合叫做集合A与集合B的差，记作A-B, 也就是A-B=xA | xBw设全集为U，集合AU, U-A叫做A关于U的补集，当U是公认的时候，简称为A的补集，记为22集合相等23集合相等的证明w可以考虑用成员表来证明集合相等。我们考虑一个元素可能属于的集合的每一种组合，并证明在同样

10、的集合组合中的元素属于等式两边的集合。用1表示元素数属于一个集合，用0表示元素不属于一个集合。24集合相等的证明w例用成员表证明A(BC)=(A B) (AC)25集合的计算机表示w无序存储。缺点：做集合的并集、交集和差集等运算会浪费时间，因为这些运算需要大量元素检索26集合的计算机表示w利用全集元素的一个任意排序存放元素以表示集合。假定全集U是有限的，首先为U的元素任意规定一个顺序，例如a1,a2,an。于是可以用长度为n的位串表示U的子集A：如果ai属于A，则位串中第i位是1；如果ai不属于A，则位串中第i位是0。27集合的计算机表示w例令U=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，

11、而且U的元素从小到大排序，即ai=i。表示U中所有奇数的子集、所有偶数的子集和不超过5的整数的子集的位串分别是什么？w解：U中所有奇数的子集即1,3,5,7,9的位串，第1，3，5，7，9位为1，其他位位0，即10101 0101028集合的计算机表示w例集合1,2,3,4,5和1,3,5,7,9的位串分别是11111 00000和10101 01010，用位串求出它们的并集和交集。w解：这两个集合的并集合的位串是11111 00000 10101 01010 = 11111 01010，表示集合1,2,3,4,5,7,9这两个集合的交集的位串是11111 00000 10101 01010

12、10101 00000，表示集合1,3,5296. 集合的势w等势的概念w自然数和有限集w可数集w幂集w不可数集30等势的概念w如何说清有限集: 自然数的构造w数数的澄清和推广-等势: 如果两个集合A和B之间存在双射,就说A与B是对等的或等势的.记做AB.w等势的性质: 1. 自返性: AA; 2. 对称性: ABBA; 3. 传递性: AB, BCAC.31自然数和有限集w自然数: 0:=, 1:=递归定义: n+1:=0,1,n自然数集: N=0,1, N+ =1,2,w有限集: 如果集合A与某个自然数对等，就说A是有限集. 约定: 空集是有限集w两个不同自然数是不对等的. 自然数可以看成

13、是有限集势的代表32可数集(I)w无限集: 不是有限集的集合叫做无限集w可数集: 与自然数集N等势的集合叫做可数集w命题1. 有理数集Q=m/n | mZ, nN+是可数的w证明：利用高度h=|m|+nw命题2. 可数集的子集是有限的或可数的33可数集(II)w命题3. 有限多个或可数多个可数集的并集仍然是可数的w证明: 次对角排列法.w事实1. 任何无限集都有可数子集w事实2.设A是无限集, B可数集,则ABBw说明: 有些数学书或文章中把有限或可数集一起叫做至多可数的(at most countable) 或可列的(enumeratable),甚至就叫可数的34不可数集w不可数集: 不对等于N的无限集叫做不可数的w连续统势: 与P(N)对等的集合叫做具有连续统的势w事实3. F=f: N0,1与P(N)等势w事实4. X=AP(N) | kN, nk, nA是可数的w事实5. 在二进制中1=0.11.(1循环)35

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