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1、27.2.1 相似三角形的判定（第3课时） 1.1.掌握掌握“两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似相似”的判定方法的判定方法. .（重点）（重点）2.2.会应用三角形相似的方法进行有关的证明和计算会应用三角形相似的方法进行有关的证明和计算. .（难点）（难点）三角形相似的条件三角形相似的条件如图，已知如图，已知 ,A=A,A=A，在求证，在求证ABCABCABCABC的过程中，在的过程中，在ABAB上截取上截取AD=ABAD=AB，过，过点点D D作作BCBC的平行线交的平行线交ACAC于点于点E.E.（1 1）ADEADE与与ABC
2、ABC关系怎样？关系怎样？提示提示: :ADEABC.ADEABC.（2 2）ADEADE与与ABCABC关系怎样？为什么？关系怎样？为什么？提示提示: :全等全等. .理由如下：理由如下：又又 AD=ABAD=AB， AE=AC.AE=AC.A=A,ADEABC.A=A,ADEABC.（3 3）由（）由（1 1）（）（2 2）得）得ABC_ABC.ABC_ABC.【总结】【总结】如果两个三角形的如果两个三角形的_相等，并且相应相等，并且相应的的_相等相等, ,那么这两个三角形相似那么这两个三角形相似. .两组对应边的比两组对应边的比夹角夹角 （打（打“”“”或或“”）（1 1）两边的比对应相
3、等且有一个角对应相等的两个三角形相）两边的比对应相等且有一个角对应相等的两个三角形相似似. .（ ）（2 2）两腰的比对应相等且有一角相等的两个等腰三角形相似）两腰的比对应相等且有一角相等的两个等腰三角形相似. . （ ）（3 3）两边的比对应相等的两个直角三角形相似）两边的比对应相等的两个直角三角形相似. .（ ）知识点知识点 根据两组对应边及夹角判断两三角形相似根据两组对应边及夹角判断两三角形相似【例例】如图，在如图，在ABCABC中，点中，点D D，E E分别是分别是ABCABC的边的边ABAB，ACAC上上的点，且的点，且AD=CE=3AD=CE=3，AE=6AE=6，BD=15BD=
4、15，根据以上条件，你认为，根据以上条件，你认为B=AEDB=AED吗？为什么？吗？为什么？【思路点拨思路点拨】根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等判定根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等判定ADEACBADEACB，根据相似的性质得到结论，根据相似的性质得到结论. .【自主解答自主解答】B=AEDB=AED，理由如下：，理由如下： 且且A A为公共角，为公共角，ADEACBADEACB，B=AED.B=AED.【总结提升总结提升】利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等判断利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等判断三角形相似的两点注意三角形相似的两点注意1.1.角：相等的角必是两组对应边的
5、夹角角：相等的角必是两组对应边的夹角. .2.2.边：夹角的两边要注意对应，即长边与长边对应、短边与短边：夹角的两边要注意对应，即长边与长边对应、短边与短边对应边对应. .题组：题组：根据两组对应边及夹角判断两三角形相似根据两组对应边及夹角判断两三角形相似1.1.如图，四边形如图，四边形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC，BDBD相交于相交于O O，且将这个四边，且将这个四边形分成形分成，四个三角形若四个三角形若OAOC=OBODOAOC=OBOD，则下，则下列结论中一定正确的是（列结论中一定正确的是（ ）A.A.和和相似相似 B.B.和和相似相似C.C.和和相似相似 D.D.和和相似相
6、似【解析解析】选选B.OAOC=OBODB.OAOC=OBOD，AOB=CODAOB=COD，AOBCOD.AOBCOD.2.2.如图，用两根等长的钢条如图，用两根等长的钢条ACAC和和BDBD交叉构成一个卡钳，可以用交叉构成一个卡钳，可以用来测量工作内槽的宽度，设来测量工作内槽的宽度，设 =m=m，且量得，且量得CD=b,CD=b,则内糟则内糟的宽的宽ABAB等于（等于（ ）A.mb B.A.mb B.C. D.C. D.【解析解析】选选A. =m,COD=AOB,A. =m,COD=AOB,CODAOB, =m,CODAOB, =m,又又CD=bCD=b，AB=mb.AB=mb.3.3.下
7、列几组三角形中不相似的是（下列几组三角形中不相似的是（ ）A.ABCA.ABC中，中，C=90C=90，AC=6AC=6，AB=10AB=10，ABCABC中，中，C=90C=90，AC=16AC=16，BC=12BC=12B.ABCB.ABC中，中，AB=3AB=3，BC=2.6BC=2.6，B=48B=48，ABCABC中，中，AB=1.5AB=1.5，BC=1.3BC=1.3，B=48B=48C.ABCC.ABC中，中，A=118A=118，AB=ACAB=AC，DEFDEF中，中，D=118D=118，DE=DFDE=DFD.ABCD.ABC中，中，A=80A=80，AB=ACAB=A
8、C，ABCABC中，中，B=80B=80，AB=ACAB=AC【解析解析】选选D.D.选项选项A A，由，由C=90C=90，求得，求得BC=8BC=8，所以所以ACBC=68=BCACACBC=68=BCAC，这两个三角形相似；，这两个三角形相似；选项选项B B，因为，因为B=BB=B， 所以所以ABCABC ABCABC ；选项选项C C，ABCABC中中ABAB与与ACAC的夹角为的夹角为A A，DEFDEF中，中，DEDE与与DFDF的夹角的夹角为为D D，ABAC=DEDF=1ABAC=DEDF=1，同时同时A=DA=D，所以，所以ABCDEF.ABCDEF.故选故选D.D.4.4.
9、如图所示，如图所示，BDBD平分平分ABCABC，且，且AB=4AB=4，BC=6BC=6，则当，则当BD=_BD=_时，时，ABDDBC.ABDDBC.【解析解析】ABD=DBCABD=DBC，当，当 即即BD=2 BD=2 时，时，ABDDBC.ABDDBC.答案答案: :2 25.5.如图，若如图，若ADAC=AEABADAC=AEAB，则，则ADEADE与与ABC_.ABC_.【解析解析】ADADAC=AEAC=AEABAB， 又又DAE=BACDAE=BAC，ADEABC.ADEABC.答案答案: :相似相似6.6.如图，已知如图，已知DAB=CAEDAB=CAE，ABAE=ADAC
10、.ABAE=ADAC.求证：求证：B=D .B=D .【证明证明】DAB=CAEDAB=CAE，DAB+BAE=CAE+BAEDAB+BAE=CAE+BAE，即即DAE=BACDAE=BAC，又，又ABABAE = ADAE = ADACAC， ABCADE.ABCADE.B=D.B=D.7.7.已知：如图在正方形已知：如图在正方形ABCDABCD中，中，P P是是BCBC上的点，且上的点，且BP=3PCBP=3PC，Q Q是是CDCD的中点的中点. .求证：求证：ADQQCP.ADQQCP.【证明证明】在正方形在正方形ABCDABCD中，中，Q Q是是CDCD的中点，的中点， =2=2， =
11、3=3， =4=4，又又BC=2DQBC=2DQ， =2=2，在在ADQADQ和和QCPQCP中，中， ，C=D=90C=D=90，ADQQCP.ADQQCP.8.8.如图，点如图，点C C，D D在线段在线段ABAB上，且上，且PCDPCD是等边三角形是等边三角形. .(1)(1)当当ACAC，CDCD，DBDB满足怎样的关系时，满足怎样的关系时，ACPPDB.ACPPDB.(2)(2)当当PDBACPPDBACP时，试求时，试求APBAPB的度数的度数. .【解析解析】(1)PCD(1)PCD为等边三角形，为等边三角形，PC=CD=PD,PCD=PDC=CPD=60PC=CD=PD,PCD
12、=PDC=CPD=60，PCA=PDB=120.PCA=PDB=120.当当 时时,ACPPDB,ACPPDB， ，CDCD2 2=AC=ACDB.DB.(2)ACPPDB(2)ACPPDB， BPD=ABPD=A，APC+BPD=APC+A=PCD=60APC+BPD=APC+A=PCD=60，APB=(APC+BPD)+CPD=60+60=120.APB=(APC+BPD)+CPD=60+60=120.9.9.如图在平面直角坐标系中，如图在平面直角坐标系中，A A点坐标为（点坐标为（8 8，0 0），），B B点坐标为点坐标为（0 0，6 6），），C C是线段是线段ABAB的中点的中点.
13、 .请问在请问在x x轴上是否存在一点轴上是否存在一点P P，使，使得以得以P P，A A，C C为顶点的三角形与为顶点的三角形与AOBAOB相似？若存在，求出相似？若存在，求出P P点点坐标；若不存在，说明理由坐标；若不存在，说明理由. .【解析解析】存在这样的存在这样的P P点点. .理由如下：理由如下：AOB=90AOB=90，OA=8OA=8，OB=6OB=6，AB=10.AB=10.CC是线段是线段ABAB的中点，的中点，AC=5.AC=5.如果如果P P与与B B对应，那么对应，那么PACBAO,PACBAO,PABA=ACAO,PABA=ACAO,AP=AP=OP=OA-AP=OP=OA-AP=P( ,0).P( ,0).如果如果P P与与O O对应，那么对应，那么PACOAB,PACOAB,PAOA=ACAB,PAOA=ACAB,PA=4,OP=OA-AP=4,PA=4,OP=OA-AP=4,P(4,0).P(4,0).【想一想错在哪？想一想错在哪？】如图如图ABCABC中，点中，点D,ED,E分别分别是是AB,ACAB,AC上的点，上的点，ABAB7.87.8，ADAD3 3，ACAC6 6，CECE2.12.1，试判断，试判断ADEADE与与ABCABC是否会相似是否会相似. .提示提示: :弄错了相似三角形的对应边弄错了相似三角形的对应边. .
