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1、主要内容主要内容u连续小波变换的基本概念连续小波变换的基本概念u小波变换的性质小波变换的性质u小波分类和常见的小波小波分类和常见的小波u离散小波变换离散小波变换第第7章章 小波分析小波分析11.连续小波变换的时域定义连续小波变换的时域定义 核函数核函数，是窗函数，是窗函数的的时间时间平移平移b和尺度伸和尺度伸缩缩的的结结果果 where窗函数窗函数称称为为母小波母小波. 22. 小波变换的频域定义小波变换的频域定义 作作业业7-17-1 (1)证证明的因子明的因子 的作用是保的作用是保证证不同的尺度下，不同的尺度下，函数函数 与母小波的能量相同与母小波的能量相同 (2)证证明下面公式明下面公式
2、3解解释释小波小波变换变换可以理解可以理解为为用一用一组组分析分析宽宽度不断度不断变变化的基化的基函数函数对对信号信号s(t)进进行分析，行分析，这这一一变变化正好适化正好适应应了了对对信信号分析号分析时时在不同的在不同的频频率范率范围围需要不同的分辨率需要不同的分辨率这这一基一基本要求本要求其中的因子其中的因子 的作用是保的作用是保证证不同的尺度下，函数不同的尺度下，函数 与母小波的能量相同与母小波的能量相同参数参数b的作用是确定的作用是确定对对分析信号分析信号s(t)的的时间时间位置，即位置，即时间时间中心。中心。参数参数a 的作用是把基本小波的作用是把基本小波进进行伸行伸缩缩。43 尺度
3、因子尺度因子1) a 对小波函数的时域影响对小波函数的时域影响52) a 对分析小波的频域影响对分析小波的频域影响6尺度因子在小波尺度因子在小波变换变换中物理解中物理解释释(1)当用当用较较小的小的a对对信号作高信号作高频频分析分析时时，实际实际上是用高上是用高频频小波小波对对信号作信号作细细致致观观察；察；(2)当用当用较较大的大的a对对信号作低信号作低频频分析分析时时，实际实际上是用低上是用低频频小波小波对对信号作概貌信号作概貌观观察；察；7说说明：明： 在在时时域是域是有限支撑有限支撑的，的，则则和和s(t)作内作内积积后，将后，将保保证证小波小波变换变换 在在时时域也是域也是有限支撑有
4、限支撑的，从的，从而而实现实现所希望的所希望的时时域定位功能。域定位功能。 所反映的，所反映的，是在是在b附近的性附近的性质质 若若 具有具有带带通通特性，即在特性，即在频频域，域，围绕围绕着中心着中心频频率率是有限支撑的，是有限支撑的，则则和和的内的内积积，也将反映，也将反映在窗口中心在窗口中心频频率率处处的局部性的局部性质质，从而，从而实现实现所所期望的期望的频频率定位功能。率定位功能。信号信号s(t)的小波的小波变换变换是是a和和b的函数的函数。母小波可以是母小波可以是实实函数，也可以是复函数。函数，也可以是复函数。 84. 小波小波(基本小波、母小波基本小波、母小波)则则称称为为为连续
5、为连续小波，或母小波。小波，或母小波。 约约束条件的物理意束条件的物理意义义： 是必要条件而不是充分条件。是必要条件而不是充分条件。 约约束条件再加上有束条件再加上有限限时宽时宽特性特性(时时域域紧紧支撑支撑特性特性)，从而从而严严格地将的波形格地将的波形约约束束为为“一小段波一小段波” 。9容容许许条件：条件：母小波的特点：母小波的特点：容容许许条件的含条件的含义义：与上面的：与上面的约约束条件等价束条件等价(1) 小波具有波动性，小波具有波动性， 表明是波动的表明是波动的(2) 小波具有时、频域紧支撑，包络衰减快小波具有时、频域紧支撑，包络衰减快;(3)小波具有带通滤波器特性小波具有带通滤
6、波器特性, 可理解为一个可理解为一个带通滤波器的冲激响应带通滤波器的冲激响应又是紧支撑的又是紧支撑的(4)小波小波 和一般的窗函数一样，满足和一般的窗函数一样，满足101) 定义定义经伸缩、平移构成小波基函数。即：经伸缩、平移构成小波基函数。即：5. 小波基小波基2) 窗口中心窗口中心时窗中心时窗中心频窗中心频窗中心为为 之时窗中心之时窗中心为为 之频窗中心之频窗中心113) 窗口宽度窗口宽度频窗宽度频窗宽度时窗宽度时窗宽度为为 之频窗宽度之频窗宽度4) 窗口面积窗口面积为为 之频窗宽度之频窗宽度窗口面积与窗口面积与 a，b无关，只由小波母函数决定无关，只由小波母函数决定12时窗中心时窗中心频
7、窗宽度频窗宽度时窗宽度时窗宽度频窗中心频窗中心13(5) . 窗口特性窗口特性ii) 时窗宽度和频窗宽度分别随时窗宽度和频窗宽度分别随a和和1/a发生变化；发生变化；) 窗口面积不变；窗口面积不变；iv)是具有恒品质因数带通滤波器频域传递函数；是具有恒品质因数带通滤波器频域传递函数；是具有恒品质因数带通滤波器的冲激响应是具有恒品质因数带通滤波器的冲激响应v) 时、频窗口具有自适应变化特性。时、频窗口具有自适应变化特性。i) 时窗和频窗中心分别随时窗和频窗中心分别随a和和1/a成正比例变化；成正比例变化；14(a)小波变换的基函数和时频网格小波变换的基函数和时频网格 6. 小波变换与短时小波变换
8、与短时Fourier变换的比较变换的比较 f(b)tf(b)t(a)短时短时Fourier变换的基函数和时频网格变换的基函数和时频网格 15(a)短时短时Fourier变换等效滤波器带宽变换等效滤波器带宽(b) 小波变换等效滤波器带宽小波变换等效滤波器带宽频域频域等分辨等分辨是短时是短时Fourier变换所固有的特性变换所固有的特性多分辨多分辨是小波变换的一种固有特性是小波变换的一种固有特性167. 小波变换的物理意义小波变换的物理意义 与小波函数与小波函数小波变换就是通过信号小波变换就是通过信号的不同尺度变换和时移作内积或比较，得到的不同尺度变换和时移作内积或比较，得到相应的频率分量，来对信
9、号进行分解。相应的频率分量，来对信号进行分解。内内积积反映了信号反映了信号与与的相似程度的相似程度 17主要内容主要内容u连续小波变换的基本概念连续小波变换的基本概念u小波变换的性质小波变换的性质u小波分类和常见的小波小波分类和常见的小波u离散小波变换离散小波变换181 线性叠加性线性叠加性 where2 时移不变性时移不变性193 尺度伸缩性尺度伸缩性 当信号在当信号在时间轴时间轴上按上按a和和b两个两个轴轴上同上同时时作相同比例的伸作相同比例的伸缩缩，但是小波，但是小波变换变换的波形不的波形不变变，这这是小波是小波变换变换的的优优点之一。点之一。 作伸作伸缩时缩时，其小波，其小波变换变换在
10、在204 Parseval定理定理 where该性质说明了信号时域内积与小波域内积满足关系该性质说明了信号时域内积与小波域内积满足关系 215 信号域与小波域的能量对应性信号域与小波域的能量对应性 令令g(t)=s(t),再利用上述性质即可得证再利用上述性质即可得证小波变换的幅度平方在尺度小波变换的幅度平方在尺度位移平面上的加权积位移平面上的加权积分，等于信号在时域的总能量。分，等于信号在时域的总能量。小波变换的幅度平方，可以看成是信号能量时频分小波变换的幅度平方，可以看成是信号能量时频分布的一种表示形式。布的一种表示形式。Fourier变换中的变换中的Parseval定理表明，信号时域中的定
11、理表明，信号时域中的能量等于频域中的能量能量等于频域中的能量小波变换中的小波变换中的Parseval定理要复杂一些，它不但要定理要复杂一些，它不但要有常数加权，还必须满足容许条件。有常数加权，还必须满足容许条件。 226 微分特性微分特性 7 两个信号卷积的小波变换两个信号卷积的小波变换 表示对变量表示对变量b作卷积作卷积 238 逆小波变换逆小波变换 where是容许条件。是容许条件。9 重构方程重构方程 目的：目的：(a, b)平面上不是所有的二维函数平面上不是所有的二维函数W(a, b)对应于函对应于函数数s(t)的小波变换的充分必要条件是满足下述的重构方程的小波变换的充分必要条件是满足
12、下述的重构方程where重构核重构核24主要内容主要内容u连续小波变换的基本概念连续小波变换的基本概念u小波变换的性质小波变换的性质u小波分类和常见的小波小波分类和常见的小波u离散小波变换离散小波变换251 小波的分类小波的分类 经典小波经典小波正交和双正交小波正交和双正交小波 261) Haar小波小波2. 常见的经典小波常见的经典小波11-1(a)11-12(b)11-12(c)优点：优点：Haar小波在时域是紧支撑的，小波在时域是紧支撑的， (0,1)非零，且小波仅非零，且小波仅取取1和和-1。Haar小波变换的计算复杂度较低；小波变换的计算复杂度较低； Haar小波是正交小波；小波是正
13、交小波；Haar小波是对称的，可去除相位失真非常有效小波是对称的，可去除相位失真非常有效缺点：缺点：Haar小波是不连续小波小波是不连续小波272) Morlet 小波小波a)时域波形b）频谱28是为了确保允许条件是为了确保允许条件 成立成立 应用：复信号分解，提取相位信息等。应用：复信号分解，提取相位信息等。特点：特点：包络都是高斯函数包络都是高斯函数不是正交小波，也不是双正交小波不是正交小波，也不是双正交小波.是对称小波是对称小波实信号分解实信号分解293)Maar小波（墨西哥草帽小波）小波（墨西哥草帽小波）特点：特点：时、频域局域性好时、频域局域性好具有二阶零点具有二阶零点视觉信息加工，
14、边缘检测。视觉信息加工，边缘检测。 应用应用:不是正交小波，也不是双正交小波不是正交小波，也不是双正交小波.304) DOG 小波（高斯差分小波）小波（高斯差分小波）特点：特点： 在在=0 处有二阶零点，频域局域性好。处有二阶零点，频域局域性好。313. 正交小波正交小波1) Daubechies小波小波的Fourier变换，在法国学者法国学者Daubechies Ingrid构造的，构造的，简简称称为为db小波小波在在Matlab7.0中，中，dbN表示表示N阶阶db小波，其取小波，其取值值通通常常为为2至至45。N=1的的db1即即Haar小波小波处处具有具有N阶阶零点零点具有具有紧紧支撑
15、特性。支撑特性。dbN小波函数的小波函数的 在在db小波是非小波是非对对称的，相称的，相应应的的滤滤波器波器组组属于共属于共轭镜轭镜像像滤滤波器波器组组。 32在在Matlab中，中，coifN表示表示N阶阶Coiflets小波，是紧小波，是紧支撑正交、双正交小波，也是接近对称的小波。支撑正交、双正交小波，也是接近对称的小波。具有具有db小波的全部特点小波的全部特点2).对称小波对称小波对称小波是对对称小波是对db小波作改进后得到的，简称小波作改进后得到的，简称symN，N=2,45，对应的滤波器接近于具有线性相位。对应的滤波器接近于具有线性相位。小波函数小波函数接近对称，接近对称，3)Coi
16、flets小波小波具有具有db小波的全部特点小波的全部特点其尺度函数其尺度函数在在处具有处具有2N-1阶零点，阶零点，在在处具有处具有2N阶零点阶零点 33主要内容主要内容u连续小波变换的基本概念连续小波变换的基本概念u小波变换的性质小波变换的性质u小波分类和常见的小波小波分类和常见的小波u离散小波变换离散小波变换34但寻找具有光滑性、对称性、局域性的离但寻找具有光滑性、对称性、局域性的离散正交基困难散正交基困难 ，于是发展出非正交的，于是发展出非正交的 DWT 理论理论框架理论。框架理论。CWT 的冗余性不适合图像压缩、数值计算。的冗余性不适合图像压缩、数值计算。1. 引言引言从不可列的具有
17、相关性的函数空间中抽取可从不可列的具有相关性的函数空间中抽取可列个函数来构造函数空间中的一个基，理想列个函数来构造函数空间中的一个基，理想的情况下构成一个正交基。的情况下构成一个正交基。研究将参数研究将参数a，b按一定的方法离散，但要保按一定的方法离散，但要保证用离散后的小波及函数对信号展开后，信证用离散后的小波及函数对信号展开后，信息不丢失。息不丢失。352. 尺度和位移离散化的方法尺度和位移离散化的方法方法方法1：满足：满足Nyquist采样定理的离散方法采样定理的离散方法Where Ts为采样间隔为采样间隔特例：特例：a0=2 Ts=1方法方法2：方法方法1中的中的Ts=0，即仅仅对尺度
18、，即仅仅对尺度a离散，对平离散，对平移因子不离散移因子不离散363. 离散小波变换之正变换离散小波变换之正变换1) 后，连续相空间非均匀分布的离后，连续相空间非均匀分布的离散相空间。散相空间。2) 当当 时，时，375. 小波框架小波框架，时，称为小波框架；当时，称为小波框架；当等价地，小波框架在频域中是指，满足等价地，小波框架在频域中是指，满足的函数族。的函数族。是小波函数，函数族是小波函数，函数族满足满足 时，该框架又称为紧小波框架。时，该框架又称为紧小波框架。1)定义定义382)性质性质满足容许性条件。满足容许性条件。的对偶函数的对偶函数小波框架小波框架也构成一个框架。也构成一个框架。5
19、. 信号重构和逆变换信号重构和逆变换，则离散小波变换的逆变换为：，则离散小波变换的逆变换为：1)where特例：特例：A=B=1是正交基是正交基39 若若,则则2)3)40where信号的离散小波展开信号的离散小波展开信号的信号的Fourier级数展开级数展开where416. 重构核方程重构核方程彼此相关，彼此相关， 可由可由 求出。求出。是框架，不正交，有冗余度是框架，不正交，有冗余度 。where称为重建核称为重建核42小波框架的应用，使小波框架的应用，使CWT的冗余度的冗余度降低降低，信号信号WT的计算量、存储量的计算量、存储量降低降低。小波框架仍有冗余度，插值可使小波框架仍有冗余度，
20、插值可使CWT的的冗余性与冗余性与DWT的经济性之间进行折中。的经济性之间进行折中。 小波框架可满足工程上对小波基函数光滑小波框架可满足工程上对小波基函数光滑性、对称性、局域性的要求。性、对称性、局域性的要求。小结小结437.二进小波变换二进小波变换DWT 无时移共变性，限制了它在信号奇异性检无时移共变性，限制了它在信号奇异性检 测、图像信号处理等方面的应用。测、图像信号处理等方面的应用。1) 二进小波定义二进小波定义连续变化的小波为二进小波。连续变化的小波为二进小波。研究方法：框架理论研究方法：框架理论2) 二进小波变换二进小波变换则则 s(t) 之二进之二进WT 为为443) 二进逆变换二进逆变换之对偶框架，其上、下界为之对偶框架，其上、下界为where45 (5)具有冗余性；具有冗余性；4)二进制小波变换的性质二进制小波变换的性质(1)线性变换；线性变换；(2)构成一个框架；构成一个框架；(3)也是容许性小波；也是容许性小波；(4)具有平移不变性：具有平移不变性：46
