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1、4.6一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系弗朗索瓦弗朗索瓦韦达韦达（15401603）国籍：法国国籍：法国职业：数学家职业：数学家主要成就：第一个引进系统的代主要成就：第一个引进系统的代数符号，使用字母来表示已知数、数符号，使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。理论研究的重大进步。发现了方程根与系数之间的关系，发现了方程根与系数之间的关系，即即“韦达定理韦达定理”。欧洲欧洲“代数学之父代数学之父”【数学活数学活动】填表，观察、猜想填表，观察、猜想 方程 x1, , x2 x1+ x2 x1. x2 x2-2x+1=0
2、x2+3x-10=0x2+5x +4=0问问题题：说说一一说说，你你发发现现方方程程的的两两根根和和、两两根根积积与与方程的系数方程的系数有什么关系？有什么关系？ 方程 x1, , x2 x1+ x2 x1. x2 x2-2x+1=0 1,121x2+3x-10=02,-5-3-10x2+5x +4=0-1,-4-54【数学活数学活动】填表，观察、猜想填表，观察、猜想问问题题：说说一一说说，你你发发现现方方程程的的两两根根和和、两两根根积积与与方程的系数方程的系数有什么关系？有什么关系？2类比探究比探究问题2方程（方程（x- -x1）（）（x- -x2）=0（x1、x2为已知数）的两根是什么？
3、已知数）的两根是什么？x 2（x1+x2） xx1x2=0将方程化将方程化为x 2+px+q=0的形式，你能的形式，你能看出看出x1，x2与与p，q 之之间的关系的关系吗？归纳如果方程二次项系数不为如果方程二次项系数不为1 1呢呢? ?已知：一元二次方程已知：一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 x1 , x2 求证：求证：推导: 如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 x1 , x2 ，那么：，那么：这就是一元二次方程一元二次方程根与系数的关系根与系数的关系，也叫，也叫韦达定理韦达定理。例例根据一元二次方程的根与系数的关系，根据一元二次方程的根与系数的关系，求下
4、列方程两个根求下列方程两个根x1，x2 的和与的和与积：（1）x 2 - 6x - 15 = 0（2）3x 2 + 7x - 9 = 0（3）5x - 1 = 4x 2 3运用性质，巩固练习运用性质，巩固练习x1 + x2 = 6x1 x2 = -15x1 + x2 =x1 x2 = -3x1 + x2 =x1 x2 =4.完成学案练习例2:关于x的方程的一个根是,求它的另一个根和的值.已知关于已知关于x的方程的方程x2(k+1)x+3k=0的一个根是的一个根是2,求它的另一个根及求它的另一个根及k的值。的值。解：解： 设方程的另一个根为设方程的另一个根为x1.把把x=2代入方程，得代入方程，
5、得4-2(k+1)+3k=0解这方程，得解这方程，得k=-2由根与系数关系，得由根与系数关系，得2x13k， 即即2x16x13答：方程的另一个根是答：方程的另一个根是3, k的值是的值是2。求方程中的待定系数求方程中的待定系数解法二：解法二：设方程的另一个根为设方程的另一个根为x1.由根与系数的关系，得由根与系数的关系，得x12=k+12x1=3k解这方程组，得解这方程组，得x1=3k=2答：方程的另一个根是答：方程的另一个根是3,k的值是的值是2。【例例】已知关于已知关于x的方程的方程x2(k+1)x+3k=0的一的一个根是个根是2,求它的另一个根及求它的另一个根及k的值。的值。求方程中的待定系数求方程中的待定系数设设x1，x2是方程是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，的两个实数根，且且x12+x22=4，求，求k的值。的值。解：解：由方程有两个实数根，得由方程有两个实数根，得即即-8k+40由根与系数的关系得由根与系数的关系得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4由由X12+x22=4，得，得2k2-8k+44 解得解得k1=0,k2=4经检验，经检验，k2=4不合题意，舍去。不合题意，舍去。k=0
