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1、Shenzhen UniversityShenzhen Universityu 主讲：张文俊u 主讲：胡鹏彦第三章一阶微分方程解的存在定理第三章第三章一阶微分方程解的存在定理一阶微分方程解的存在定理授课教师：胡鹏彦授课对象：10本科第三章一阶微分方程解的存在定理 本章主要讨论一阶微分方程解的存在性定理、解的延拓和解对初值的连续性和可微性定理.第三章一阶微分方程解的存在定理3.1 解的存在唯一性定理 与逐步逼近法一、存在唯一性定理二、近似计算和误差估计第三章一阶微分方程解的存在定理3.1 解的存在唯一性解的存在唯一性一、存在唯一性定理 1. 导数已解出的一阶微分方程 讨论形如方程解的存在唯一性定
2、理, 这里 f (x, y)是矩形域上的连续函数.第三章一阶微分方程解的存在定理3.1 解的存在唯一性解的存在唯一性 函数 f (x, y)称为矩形域R上关于y满足利普利普希茨希茨(Lipschitz)条件条件, 若存在常数L0, 使得不等式对于所有(x, y1), (x, y2)R都成立, L称为利普希茨利普希茨常数常数.第三章一阶微分方程解的存在定理3.1 解的存在唯一性解的存在唯一性 定理1 如果 f (x, y)在矩形域R上关于y满足利普希茨条件, 则方程存在唯一解y (x), 其定义于区间| x x0|h上, 连续且满足初值条件这里第三章一阶微分方程解的存在定理3.1 解的存在唯一性
3、解的存在唯一性 定理1的证明采用皮卡(Picard)的逐步逼近法. 首先证明定理1等价于积分方程解的存在唯一性, 然后再证明积分方程存在唯一连续解.第三章一阶微分方程解的存在定理3.1 解的存在唯一性解的存在唯一性 皮卡(Picard)的逐步逼近法的主要思想: 任取一个连续函数0(x)代入积分方程右端的y, 得到函数则1(x)连续. 如果1(x) 0(x), 则0(x)就是积分方程的解. 否则, 将1(x)代入积分方程右端的y, 得到如果2(x) 1(x), 则1(x)就是积分方程的解. 否则,继续这个步骤. 一般地做函数第三章一阶微分方程解的存在定理3.1 解的存在唯一性解的存在唯一性这样,
4、 就得到连续函数列 0(x), 1(x), , n(x), .如果n1(x) n(x), 则n(x)就是积分方程的解. 如果不发生这种情况, 可以证明上面的函数序列有一个极限函数 (x), 即存在, 对(3.4)取极限可得第三章一阶微分方程解的存在定理3.1 解的存在唯一性解的存在唯一性 这说明 (x)是积分方程的解. 这种一步一步地求出方程的解的方法就称为逐步逼近法逐步逼近法. 由(3.4)确定的函数n(x)称为初值问题(3.1), (3.3)的第第n次近似解次近似解.第三章一阶微分方程解的存在定理3.1 解的存在唯一性解的存在唯一性 命题1 设 y (x)是方程的定义于区间x0 x x0
5、h上, 且满足初值条件的解, 则 y (x)也是积分方程的定义于x0 x x0 h上的连续解. 反之亦然.第三章一阶微分方程解的存在定理3.1 解的存在唯一性解的存在唯一性 现在取0(x) y0, 构造皮卡逐步逼近函数序列如下:第三章一阶微分方程解的存在定理3.1 解的存在唯一性解的存在唯一性 命题2 对于所有的n, (3.7)中的函数n(x)在x0 x x0 h上有定义、连续且满足不等式第三章一阶微分方程解的存在定理3.1 解的存在唯一性解的存在唯一性 命题3 函数序列n(x)在x0 x x0 h上是一致收敛的. 问题转化为证明级数在x0 x x0 h上一致收敛.第三章一阶微分方程解的存在定
6、理3.1 解的存在唯一性解的存在唯一性 可以证明由此可知对x0 x x0 h有第三章一阶微分方程解的存在定理3.1 解的存在唯一性解的存在唯一性 设则 (x)在x0 x x0 h上连续, 且满足第三章一阶微分方程解的存在定理3.1 解的存在唯一性解的存在唯一性 命题4 (x)是积分方程(3.5)的定义于x0 x x0 h上的连续解.在x0 x x0 h上一致收敛于第三章一阶微分方程解的存在定理3.1 解的存在唯一性解的存在唯一性 命题5 设 (x)是积分方程(3.5)的定义于x0 x x0 h上的另一个连续解, 则 (x) (x)(x0 x x0 h). 我们证明序列n(x)在x0 x x0
7、h上一致收敛于 (x).第三章一阶微分方程解的存在定理3.1 解的存在唯一性解的存在唯一性第三章一阶微分方程解的存在定理3.1 解的存在唯一性解的存在唯一性第三章一阶微分方程解的存在定理3.1 解的存在唯一性解的存在唯一性第三章一阶微分方程解的存在定理3.1 解的存在唯一性解的存在唯一性第三章一阶微分方程解的存在定理3.1 解的存在唯一性解的存在唯一性 注1 存在唯一性定理中数h的几何意义: 数h保证积分曲线依然含在矩形R中. 注2 常用函数 f (x, y)在R上有对y的连续偏导数代替利普希茨条件. 注3 当方程中P(x), Q(x)在区间, 上连续时, 定理1中的条件满足, 且由任一初值(
8、x0, y0), x0, 所确定的解在整个区间, 上都有定义.第三章一阶微分方程解的存在定理3.1 解的存在唯一性解的存在唯一性 2. 一阶隐方程F(x, y, y ) 0 定理2 如果在点(x0, y0, y0 )的某邻域中 (1) 对所有变元连续, 且存在连续偏导数; (2) F(x0, y0, y0 ) 0;则方程F(x, y, y ) 0存在唯一解满足初值条件 (3)第三章一阶微分方程解的存在定理3.1 解的存在唯一性解的存在唯一性二、近似计算和误差估计 微分方程第n次近似解n(x)和真解 (x)在区间| x x0|h上的误差估计式为第三章一阶微分方程解的存在定理3.1 解的存在唯一性
9、解的存在唯一性 例1 方程定义在矩形域 R: 1 x 1, 1 y 1上. 试用存在唯一性定理确定经过点(0, 0)的解的存在区间, 并求在此区间上与真解的误差不超过0.05的近似解的表达式.第三章一阶微分方程解的存在定理3.1 解的存在唯一性解的存在唯一性作业P883, 8, 9第三章一阶微分方程解的存在定理3.2 解 的 延 拓一、几个概念二、解的延拓定理第三章一阶微分方程解的存在定理3.2 解的延拓解的延拓一、几个概念 1. 局部利普希茨条件 称定义于区域G上的函数 f (x, y)关于y满足局部利普希茨条件局部利普希茨条件, 倘若对于区域G内的每一点P, 存在以P为中心的完全含于G内的
10、闭矩形R, f(x, y)在R上关于y满足利普希茨条件(对于不同的点, 矩形R的大小和常数L可能不同).第三章一阶微分方程解的存在定理3.2 解的延拓解的延拓 2. 延拓 设 f (x, y)定义在区域G上, y (x)是方程(3.1)定义在区间| x x0| h上的解. 取 x1 x0h, 以(x1, y1)为中心作小矩形使之连同其边界都含于区域G内. 由微分方程解的存在唯一性定理知存在h1 0, 使得方程在区间| x x1| h1上存在过点(x1, y1)的解 y (x), 有 (x1) (x1), 且在 x1 h1 x x1上, (x) (x), 则称 y (x)为解 y (x)向右方的
11、延拓延拓.第三章一阶微分方程解的存在定理3.2 解的延拓解的延拓 这样可以得到方程(3.1)的定义在区间 x0 h , x0 h h1上的解 方程不可延拓的解称为方程的饱和解饱和解. 注 饱和解的存在区间必是开区间.第三章一阶微分方程解的存在定理3.2 解的延拓解的延拓二、解的延拓定理 如果方程(3.1)右端的函数 f (x, y)在有界区域G中连续, 且关于 y 满足局部利普希茨条件, 那么方程(3.1)的通过G内任一点(x0, y0)的解 y (x)可以延拓, 直到点(x, (x)任意接近区域G的边界. 即若解y (x)只能延拓到区间 x0 x d上, 则当xd 时, (x, (x)趋于区
12、域G的边界.第三章一阶微分方程解的存在定理3.2 解的延拓解的延拓 推论 如果G是无界区域, 在上面解的延拓定理的条件下, 方程(3.1)的通过点 (x0, y0)的解 y (x)可以延拓. 以向x增大的方向的延拓来说有以下两种情形: (1) 解 y (x)可以延拓到区间x0, ); (2) 解 y (x)只可以延拓到区间x0, d ), 其中d 为有限数, 且当xd 时, 要么y (x)趋于无穷大, 要么点(x, (x)趋于区域G的边界.第三章一阶微分方程解的存在定理3.2 解的延拓解的延拓 例1 讨论方程的分别通过点(0, 0), (ln2, 3)的解的存在区间.第三章一阶微分方程解的存在
13、定理3.2 解的延拓解的延拓 例2 讨论方程满足条件 y(1) 0的解的存在区间.第三章一阶微分方程解的存在定理3.3 解对初值的连续性 和可微性一、解关于初值的对称性二、解对初值的连续依赖性三、解对初值的可微性第三章一阶微分方程解的存在定理3.2 解对初值的连续和可微性解对初值的连续和可微性一、解关于初值的对称性 解关于初值的对称性定理 设方程(3.1)的满足初值条件 y(x0) y0的解是唯一的, 记为 y (x, x0, y0), 则在此表达式中,(x, y)与(x0, y0)可以调换其相对位置, 即在解的存在范围内成立着关系式 y0 (x0, x, y). 证明思路: 利用解的唯一性证
14、明.第三章一阶微分方程解的存在定理3.2 解对初值的连续和可微性解对初值的连续和可微性二、解对初值的连续依赖性 1. 不同解之间的关系 引理 如果函数 f (x, y)于区域D内连续, 且关于y满足利普希茨条件(利普希茨常数为L), 则对于方程(3.1)的任意两个解(x)及(x), 在它们公共存在的区间内成立着不等式其中x0为所考虑区间内的点.第三章一阶微分方程解的存在定理3.2 解对初值的连续和可微性解对初值的连续和可微性第三章一阶微分方程解的存在定理3.2 解对初值的连续和可微性解对初值的连续和可微性 2. 解对初值的连续依赖性 解对初值的连续依赖定理 假设 f (x, y)于区域 G内连
15、续且关于 y满足局部利普希茨条件, 对(x0, y0)G, 设 y (x, x0, y0)是方程(3.1)的满足初值条件 y(x0) y0的解, 它于区间a x b上有定义(a x0 b), 那么, 对任意给定的 0, 必能找到正数 (, a, b), 使得当第三章一阶微分方程解的存在定理3.2 解对初值的连续和可微性解对初值的连续和可微性时, 方程(3.1)的满足初值条件的解在区间axb上也有定义, 并且第三章一阶微分方程解的存在定理3.2 解对初值的连续和可微性解对初值的连续和可微性 解对初值的连续依赖定理的证明 用S表示曲线段 y (x, x0, y0) (x)(axb),则S是Oxy平
16、面上的有界闭集. 可以证明 (1) 存在有界闭域D: SDG, 在D上f关于y满足利普希茨条件; 由有限覆盖定理, 存在有个圆覆盖S, 且f在每个圆上满足利普希茨条件, 记这有限个圆构成的区域的边界到S的距离为 0, 取 min, /2, L为有限个圆上的利普希茨常数的最大值. D为以S上点为心, 为半径闭圆的全体构成的集合.第三章一阶微分方程解的存在定理3.2 解对初值的连续和可微性解对初值的连续和可微性 (2) 存在 (, a, b)( ), 只要满足则解必在区间a x b上有定义;第三章一阶微分方程解的存在定理3.2 解对初值的连续和可微性解对初值的连续和可微性第三章一阶微分方程解的存在
17、定理3.2 解对初值的连续和可微性解对初值的连续和可微性 (3) 当时就有 注 解 (x, x0, y0)时自变量和初值(x0, y0)的三元连续函数.第三章一阶微分方程解的存在定理3.2 解对初值的连续和可微性解对初值的连续和可微性 解对初值的连续性定理 若 f (x, y)在区域 G内连续, 且关于 y满足局部利普希茨条件, 则方程(3.1)的解 y (x, x0, y0)作为x, x0, y0的函数在其存在范围内是连续的.第三章一阶微分方程解的存在定理3.2 解对初值的连续和可微性解对初值的连续和可微性 解对初值的连续性定理 对任一(x0, y0)G, 由解的存在唯一性定理及延拓定理,
18、存在 (x0, y0), (x0, y0), 使得有饱和解定义在区间上 (x0, y0) x (x0, y0). 令第三章一阶微分方程解的存在定理3.2 解对初值的连续和可微性解对初值的连续和可微性 3. 解对初值和参数的连续依赖性 解对初值和参数的连续依赖定理 设 f (x, y, )在 D内连续, 且在 D内关于 y一致地满足局部利普希茨条件, 对(x0, y0, 0)G, y (x, x0, y0, 0)是方程(3.1)通过点(x0, y0)的解,在区间a x b上有定义, 其中a x0 b, 那么, 对任意给定的 0, 可以找到正数 (, a, b), 使得当第三章一阶微分方程解的存在
19、定理3.2 解对初值的连续和可微性解对初值的连续和可微性时, 方程(3.1)的通过点的解在区间axb上也有定义, 并且第三章一阶微分方程解的存在定理3.2 解对初值的连续和可微性解对初值的连续和可微性 解对初值和参数的连续性定理 设 f (x, y, )在 D内连续, 且在 D内关于 y一致地满足局部利普希茨条件, 则方程(3.1)的解 y (x, x0, y0, )作为x, x0, y0, 的函数在其存在范围内是连续的.第三章一阶微分方程解的存在定理3.2 解对初值的连续和可微性解对初值的连续和可微性三、解对初值的可微性 解对初值的可微性定理 若函数 f (x, y)以及都在区域G内连续,
20、则方程(3.1)的解 y (x, x0, y0, )作为x, x0, y0的函数在其存在范围内连续可微.第三章一阶微分方程解的存在定理3.2 解对初值的连续和可微性解对初值的连续和可微性 解对初值的可微性定理的证明 利用微分方程与积分方程解的等价性, 由偏导数的定义, 将差商与一个微分方程的初值问题联系起来, 通过求初值问题的解得到所需微分方程解对初值的可微性, 而对于自变量的可微性由微分方程与积分方程解的等价性直接通过求解对自变量的偏导数可得.第三章一阶微分方程解的存在定理3.2 解对初值的连续和可微性解对初值的连续和可微性 设由初值(x0, y0)和(x0 x0, y0)所确定的解分别为第
21、三章一阶微分方程解的存在定理3.2 解对初值的连续和可微性解对初值的连续和可微性第三章一阶微分方程解的存在定理3.2 解对初值的连续和可微性解对初值的连续和可微性第三章一阶微分方程解的存在定理3.2 解对初值的连续和可微性解对初值的连续和可微性由解对初值和参数的连续性定理可知存在, 且由第三章一阶微分方程解的存在定理3.2 解对初值的连续和可微性解对初值的连续和可微性第三章一阶微分方程解的存在定理3.2 解对初值的连续和可微性解对初值的连续和可微性是初值问题的解, 易知第三章一阶微分方程解的存在定理3.2 解对初值的连续和可微性解对初值的连续和可微性 设由初值(x0, y0)和(x0, y0
22、y0)所确定的解分别为第三章一阶微分方程解的存在定理3.2 解对初值的连续和可微性解对初值的连续和可微性第三章一阶微分方程解的存在定理3.2 解对初值的连续和可微性解对初值的连续和可微性第三章一阶微分方程解的存在定理3.2 解对初值的连续和可微性解对初值的连续和可微性第三章一阶微分方程解的存在定理3.2 解对初值的连续和可微性解对初值的连续和可微性解对自变量x的可微性由直接计算可得, 事实上第三章一阶微分方程解的存在定理3.2 解对初值的连续和可微性解对初值的连续和可微性作业 P1033第三章一阶微分方程解的存在定理3.4 奇 解一、包络和奇解二、克莱罗微分方程第三章一阶微分方程解的存在定理3
23、.4 奇奇 解解一、包络和奇解 1. 包络 包络 设给定单参数曲线族其中c为参数, (x, y, c)是x, y, c的连续可微函数. 曲线族(3.23)的包络包络是指这样的曲线, 它本身并不包含在曲线族中, 但过这曲线的每一点都有曲线族(3.23)中的一条曲线和它在这点相切.第三章一阶微分方程解的存在定理3.4 奇奇 解解 单参数曲线族与直线第三章一阶微分方程解的存在定理3.4 奇奇 解解 c-判别曲线 曲线族(3.23)的包络包含在由下列方程组消去c而得到的曲线中. 此曲线称为(3.23)的c-判别判别曲线曲线.第三章一阶微分方程解的存在定理3.4 奇奇 解解 2. 奇解 奇解 微分方程的
24、某个解称为奇解奇解, 如果在这个解的每一点上至少还有另外一个解存在. 注1 奇解上每一点唯一性不成立. 注2 一阶微分方程的通解的包络一定是奇解;反之, 微分方程的奇解也是微分方程通解的包络.第三章一阶微分方程解的存在定理3.4 奇奇 解解 奇解求法 由奇解的定义, 奇解可由求通解的包络而得到. p-判别曲线 方程的奇解包含在由方程组消去p而得到的曲线中, 这里F(x, y, p)是x, y, p的连续可微函数. (3.35)称为(3.34)的p-判别曲线判别曲线.第三章一阶微分方程解的存在定理3.4 奇奇 解解二、克莱罗微分方程 形如的方程称为克莱罗克莱罗(Clairaut)微分方程微分方程, 这里 f ( p)是p的连续可微函数.第三章一阶微分方程解的存在定理3.5 数 值 解一、欧拉方法二、龙格-库塔方法第三章一阶微分方程解的存在定理3.5 数数 值值 解解一、欧拉方法第三章一阶微分方程解的存在定理3.5 数数 值值 解解第三章一阶微分方程解的存在定理3.5 数数 值值 解解二、龙格-库塔方法
