名校学8幂函数

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1、学案学案8 幂幂 函函 数数 名师伴你行填填知学情填填知学情填填知学情填填知学情课内考点突破课内考点突破课内考点突破课内考点突破规规规规 律律律律 探探探探 究究究究考考考考 纲纲纲纲 解解解解 读读读读考考考考 向向向向 预预预预 测测测测名师伴你行返回目录返回目录 考考 纲纲 解解 读读幂函数幂函数(1)(1)了解幂函数的概念了解幂函数的概念. .(2)(2)结合函数结合函数y=x,y=xy=x,y=x2 2,y=x,y=x3 3,y= ,y= ,y= ,y= 的图象的图象, ,了解它们的变化情况了解它们的变化情况. .名师伴你行返回目录返回目录 1.高考以基础知识为主高考以基础知识为主,

2、考查幂函数的图象与性质考查幂函数的图象与性质,多以多以选择、填空题形式出现，也有与函数性质、二次函数、方选择、填空题形式出现，也有与函数性质、二次函数、方程、不等式结合的综合性较强的解答题程、不等式结合的综合性较强的解答题. 2.以常见的以常见的5种幂函数为载体种幂函数为载体,考查求值、单调性、奇考查求值、单调性、奇偶性、最值等问题是高考命题的出发点偶性、最值等问题是高考命题的出发点.考考 向向 预预 测测 名师伴你行返回目录返回目录 1.一般地一般地,形如形如 的函数称的函数称为幂函数为幂函数,其中其中为常数为常数.例如例如y=x,y=x2,y=x3, ,y= 等都是幂函数等都是幂函数,而而

3、y=2x2,y=x3+1等都不是幂等都不是幂函数函数.2.幂函数的性质幂函数的性质一般地一般地,当当0时时,幂函数幂函数y=x有下列性质有下列性质:(1)图象都通过点图象都通过点 .(2)在第一象限内在第一象限内,函数值随函数值随x的增大而的增大而 .y=x(R) (0,0),(1,1) 增大增大 名师伴你行(3)在第一象限内在第一象限内,1时时,图象是图象是 的的;01时时,图图 象是的象是的 .(4)在第一象限内在第一象限内,过过(1,1)点后点后,图象向图象向 无限伸展无限伸展.当当0时时,幂函数幂函数y=x有下列性质有下列性质:图象都通过点图象都通过点 ;在第一象限内在第一象限内,函数

4、值随函数值随x的增大而的增大而 ,图象是向图象是向 的的 ;在第一象限内在第一象限内,图象向上与图象向上与 轴无限地接近轴无限地接近,向右与向右与 轴无限地接近轴无限地接近;在第一象限内在第一象限内,过过(1,1)点后点后,|越大越大,图象下降的速度越图象下降的速度越 .返回目录返回目录 向下凸向下凸 向上凸向上凸 右上方右上方 (1,1) 减小减小 下凸下凸 y x 快快 名师伴你行3.形如形如f(x)= （其中（其中mN+,nZ）的幂函数的性质）的幂函数的性质(1)当当n为偶数时，为偶数时，f(x)为为 函数，图象关于函数，图象关于 对称对称.(2)当当m,n都为奇数时，都为奇数时，f(x

5、)为为 函数，图象关于函数，图象关于 对称对称.(3)当当m为偶数且为偶数且n为奇数时，为奇数时，f(x)是是 函数函数,图象图象 只在第一象限内只在第一象限内 .返回目录返回目录 非奇非偶非奇非偶 偶偶 y轴轴 奇奇 原点原点 名师伴你行返回目录返回目录 4.幂函数幂函数y=x,y=x2, y=x3,的的图象如图图象如图.5.幂函数幂函数y=x,y=x2, , , y=x3的的性质性质名师伴你行返回目录返回目录 y=xy=xy=xy=x2 2y=xy=x3 3定义域定义域R RR RR R0,+)0,+)(-,0)(-,0)(0,+)(0,+)值域值域R R0,+)0,+)R R0,+)0,

6、+)(-,0)(-,0)(0,+)(0,+)奇偶性奇偶性奇奇偶偶奇奇非奇非偶非奇非偶奇奇单调性单调性增增(-,0)(-,0)减减, ,(0,+)(0,+)增增增增增增(-,0)(-,0)减减, ,(0,+)(0,+)减减定点定点(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(1,1)(1,1)名师伴你行返回目录返回目录 考点考点考点考点1 1 比较大小比较大小比较大小比较大小 2010年高考全国卷年高考全国卷设设a=log32,b=ln2,c=5 ,则则( )A.abc B.bcaC.cab D.cba【分析分析】先换为同底的对数先换为同底的对数,再比较大小再比较大小. C 名师伴你行【解析解析】a

7、=log32= . 因为因为 , 所以所以 即即cab. 故应选故应选C.返回目录返回目录 化为同底数的对数是本题的关键化为同底数的对数是本题的关键.名师伴你行返回目录返回目录 比较下列各组数的大小比较下列各组数的大小:名师伴你行返回目录返回目录 【解析解析解析解析】 (1)函数函数y= 在在(0,+)上为减函数上为减函数,又又33.1 .(2) ,函数函数y= 在在(0,+)上为增函数上为增函数.又又 ,则则 ,从而从而 .名师伴你行(3) 函数函数 y= 在在(0,+)上为减函数上为减函数,又又 , 返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 考点考点考点考点2 2 幂函数的定义幂函数的

8、定义幂函数的定义幂函数的定义 当当x(0,+)时时,幂函数幂函数y=(m2-m-1)x-5m-3为减函数为减函数,则实则实数数m的值为的值为 ( )A.m=2 B.m=-1C.m=-1或或m=2 D.m 【分析分析分析分析】首先利用幂函数的定义首先利用幂函数的定义,确定确定m的范围的范围,其其次再依据幂函数的性质次再依据幂函数的性质,在第一象限是减函数在第一象限是减函数,确定指确定指数小于零数小于零.名师伴你行返回目录返回目录 【解析解析解析解析】 解法一解法一:依题意依题意y=(m2-m-1)x-5m-3是幂函数是幂函数,故故m2-m-1=1,解得解得m=2或或m=-1. 又又函数在函数在(

9、0,+)上是减函数上是减函数, -5m-3 , 故故m=-1舍去舍去,m=2.故应选故应选A. 解法二解法二:特值验证法特值验证法,验证当验证当m=-1,2时时,是否满足题意是否满足题意 即可即可. 当当m=2时时,函数化为函数化为y=x-13符合题意符合题意; 而当而当m=-1时时,y=x2不符合题意不符合题意,故排除故排除B,C,D.故应选故应选A.名师伴你行 解决此类问题的关键就是紧扣幂函数的定义解决此类问题的关键就是紧扣幂函数的定义,x的系数的系数必须为必须为1,指数是实数即可指数是实数即可,若有其他性质问题可依据幂函数若有其他性质问题可依据幂函数的图象与性质进一步求解的图象与性质进一

10、步求解.返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 已知函数已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,m为何值时为何值时,f(x):(1)是幂函数是幂函数;(2)是幂函数是幂函数,且是且是(0,+)上的增函数上的增函数;(3)是正比例函数是正比例函数;(4)是反比例函数是反比例函数;(5)是二次函数是二次函数.(1)因为因为f(x)是幂函数是幂函数,故故m2-m-1=1,即即m2-m-2=0,解得解得m=2或或m=-1.名师伴你行返回目录返回目录 (2)若若f(x)是幂函数且又是是幂函数且又是(0,+)上的增函数上的增函数, m2-m-1=1 -5m-30, (3)若若f(x)是正比例

11、函数是正比例函数,则则-5m-3=1,解得解得m=- ,此时此时m2-m-10,故故m=- .(4)若若f(x)是反比例函数是反比例函数,则则-5m-3=-1,m=- ,此时此时m2-m-10,故故m=- .则则m=-1.名师伴你行(5)若若f(x)是二次函数是二次函数,则则-5m-3=2,即即m=-1,此时此时m2-m-10,故故m=-1.综上所述综上所述,当当m=2或或m=-1时时,f(x)是幂函数是幂函数;当当m=-1时时,f(x)既是幂函数既是幂函数,又是又是(0,+)上的增函数上的增函数;当当m=- 时时,f(x)是正比例函数是正比例函数;当当m=- 时时,f(x)是反比例函数是反比

12、例函数;当当m=-1时时,f(x)是二次函数是二次函数.返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 考点考点考点考点3 3 幂函数的图象幂函数的图象幂函数的图象幂函数的图象 【分析分析分析分析】先根据幂函数先根据幂函数先根据幂函数先根据幂函数f(x)f(x)和和和和g(x)g(x)分别过点分别过点分别过点分别过点(2,2)(2,2)和和和和(-2, )(-2, )求得求得求得求得f(x)f(x)和和和和g(x)g(x)的解析式的解析式的解析式的解析式, ,然后根据然后根据然后根据然后根据h(x)h(x)的定的定的定的定义求得义求得义求得义求得h(x)h(x)的解析式的解析式的解析式的解析式,

13、 ,最后借助函数最后借助函数最后借助函数最后借助函数h(x)h(x)的图象求解的图象求解的图象求解的图象求解. .若点若点( ,2)在幂函数在幂函数f(x)的图象上的图象上,点点(-2, )在在幂函幂函 f(x),f(x)g(x) g(x),f(x)g(x),试求函数试求函数h(x)的最大值以及单调区间的最大值以及单调区间.数数g(x)的图象上的图象上, 定义定义h(x)= 名师伴你行【解析解析解析解析】 (1)设设f(x)=x,点点( ,2)在在f(x)的图象上的图象上, （ ）=2, 即即f(x)=x2；又设又设g(x)=x,点（点（-2， ）在）在g(x)的象上，的象上， (-2)= ,

14、 =-2.即即g(x)=x-2.返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 在同一坐标系中在同一坐标系中,作出作出f(x)=x2与与g(x)=x-2的图象的图象,如图如图所示所示. x-2, x1.根据图象可知函数根据图象可知函数h(x)的最大值等于的最大值等于1,单调递增区间单调递增区间是是(-,-1)和和(0,1);递减区间是递减区间是(-1,0)和和(1,+).则有则有h(x)= 名师伴你行利用函数图象可以很直观判断函数的最值和单调区间利用函数图象可以很直观判断函数的最值和单调区间.返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 若上题中的点若上题中的点( ,2)改为改为(2,8),探求

15、探求h(x)的单调的单调性及奇偶性性及奇偶性.【解析解析】设设f(x)=x,过点过点(2,8),=3,f(x)=x3.由上题知由上题知,g(x)=x-2.在同一平面直角坐标系在同一平面直角坐标系中画出中画出y=f(x)与与y=g(x)的图象的图象,如图如图,名师伴你行返回目录返回目录 从图中及从图中及h(x)的定义可知的定义可知 x-2,x1 x3,x1,且在定义域且在定义域(-,1)上上h(x)为增函数为增函数,在在1,+)上上h(x)为为减函数减函数.又又h(-2)=(-2)3=-8,h(2)=2-2= ,h(-2)h(2),且且h(-2)-h(2),h(x)为非奇非偶函数为非奇非偶函数.

16、h(x)= 名师伴你行返回目录返回目录 考点考点考点考点4 4 幂函数的性质幂函数的性质幂函数的性质幂函数的性质 已知幂函数已知幂函数f(x)= (mZ)为偶函数为偶函数,且在区间且在区间(0,+)上是单调减函数上是单调减函数.(1)求函数求函数f(x);(2)讨论讨论F(x)= 的奇偶性的奇偶性.【分析分析分析分析】 先求先求m,然后根据奇偶性的定义判断然后根据奇偶性的定义判断.名师伴你行【解析解析解析解析】 (1)f(x)是偶函数是偶函数,m2-2m-3应为偶数应为偶数,又又f(x)在在(0,+)上是单调减函数上是单调减函数,m2-2m-30,即即-1m3.又又mZ,m=0,1,2.当当m

17、=0或或2时时,m2-2m-3=-3不是偶数不是偶数,舍去舍去;当当m=1时时,m2-2m-3=-4,m=1,即即f(x)=x-4.返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 (2)F(x)= -bx3,F(-x)= +bx3.当当a0,b0时时,F(x)为非奇非偶函数为非奇非偶函数;当当a=0,b0时时,F(x)为奇函数为奇函数;当当a0,b=0时时,F(x)为偶函数为偶函数;当当a=0,b=0时时,F(x)既是奇函数既是奇函数,又是偶函数又是偶函数.名师伴你行 本题考查了偶函数的定义、幂函数的图象以及分类本题考查了偶函数的定义、幂函数的图象以及分类讨论的思想讨论的思想.利用偶函数及幂函数

18、在区间利用偶函数及幂函数在区间(0,+)上是减上是减函数函数,结合结合m的取值范围的取值范围,解出解出m值值,从而求出从而求出f(x).在第在第(2)问中问中,当不能准确判断当不能准确判断F(-x)与与F(x)是否相等时是否相等时,自然想到自然想到对对a,b进行分类讨论进行分类讨论.名师伴你行已知函数已知函数f(x)= .(1)求求f(x)的单调区间的单调区间; (2)比较比较f(-)与与f(- )的大小的大小.(1)(1)解法一解法一解法一解法一:f(x)=其图象可由幂函数其图象可由幂函数y=x-2向左平向左平移移2个单位个单位 , 再向上平移再向上平移 1 个单个单位而得到位而得到 ,如图

19、如图 , 所以该函数在所以该函数在(-2,+)上是减函数上是减函数 , 在在(-,-2)上是增函数上是增函数.返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 解法二解法二解法二解法二:f(x)= =1+(x+2)-2,设设x10,y=f(x)在在(-,-2)上上是增函数是增函数,即增区间为即增区间为(-,-2);当当x1,x2(-2,+)时时,f(x2)-f(x1)0,y=f(x)在在(-2,+)上上是减函数是减函数,即减区间为即减区间为(-2,+).(2)图象关于直线图象关于直线x=-2对称对称,又又-2-(-)=-2f(- ).名师伴你行返回目录返回目录 1.1.幂函数的图象一定会出现在第一

20、象限内幂函数的图象一定会出现在第一象限内幂函数的图象一定会出现在第一象限内幂函数的图象一定会出现在第一象限内, ,一定不一定不一定不一定不会出现在第四象限内会出现在第四象限内会出现在第四象限内会出现在第四象限内, , 至于是否出现在第二、三象限至于是否出现在第二、三象限至于是否出现在第二、三象限至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内出现在两个象限内出现在两个象限内出现在两个象限内 ；如果幂函数的图象与坐标轴相

21、交，；如果幂函数的图象与坐标轴相交，；如果幂函数的图象与坐标轴相交，；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点则交点一定是原点则交点一定是原点则交点一定是原点. . 2. 2.幂函数的定义域的求法可分幂函数的定义域的求法可分幂函数的定义域的求法可分幂函数的定义域的求法可分5 5种情况种情况种情况种情况, ,即即即即 为零为零为零为零; ; 为正整数为正整数为正整数为正整数; ; 为负整数为负整数为负整数为负整数; ; 为正分数为正分数为正分数为正分数; ; 为为为为负分数负分数负分数负分数. .名师伴你行返回目录返回目录 3.3.作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、作幂函数的图象要联

22、系函数的定义域、值域、作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，只要作出幂函数在第一象限内的单调性、奇偶性等，只要作出幂函数在第一象限内的单调性、奇偶性等，只要作出幂函数在第一象限内的单调性、奇偶性等，只要作出幂函数在第一象限内的图象，然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义域图象，然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义域图象，然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义域图象，然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义域内完整的图象内完整的图象内完整的图象内完整的图象. . 4. 4.利用幂函数的图象和性质可处理比较大小、判利用幂函数的图象和性质可处理比较大小、判利用幂函数的图象和性质可处理比较大小、判利用幂函数的图象和性质可处理比较大小、判断复合函数的单调性及幂函数在实际问题中的应用等断复合函数的单调性及幂函数在实际问题中的应用等断复合函数的单调性及幂函数在实际问题中的应用等断复合函数的单调性及幂函数在实际问题中的应用等类型的题类型的题类型的题类型的题. .进一步培养学生的数形结合、分类讨论等的进一步培养学生的数形结合、分类讨论等的进一步培养学生的数形结合、分类讨论等的进一步培养学生的数形结合、分类讨论等的数学思想和方法数学思想和方法数学思想和方法数学思想和方法. .名师伴你行名师伴你行