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1、概率论与数理统计信息学院概率统计考试要求概率统计考试要求 期末考试总评成绩由平时成绩和期末成期末考试总评成绩由平时成绩和期末成绩组成，比例为绩组成，比例为3：7；其中的平时成绩；其中的平时成绩由上课考勤、作业和期中考试组成。由上课考勤、作业和期中考试组成。二、二、 随机现象随机现象 四、四、 小结小结 一、一、 概率论的诞生及应用概率论的诞生及应用三、三、 随机试验随机试验第一节第一节 随机试验随机试验第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念 1654年年,一个名叫一个名叫梅累的骑士就梅累的骑士就“两个赌徒约两个赌徒约定赌若干局定赌若干局, 且谁先赢且谁先赢 c 局便算赢家局便算赢家,
2、若在一赌徒若在一赌徒胜胜 a 局局 ( ac ),另一赌徒胜另一赌徒胜b局局(bc)时便终止赌博时便终止赌博,问应如何分赌本问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡为题求教于帕斯卡, 帕斯卡与帕斯卡与费马通信讨论这一问题费马通信讨论这一问题, 于于1654 年共同建立了概年共同建立了概率论的第一个基本概念率论的第一个基本概念数学期望数学期望.一、概率论的诞生及应用一、概率论的诞生及应用1. 概率论的诞生概率论的诞生2. 概率论的应用概率论的应用 概率论是数学的一个分支概率论是数学的一个分支，它研究随机现象它研究随机现象的数量规律的数量规律， 概率论的应用几乎遍及所有的科学概率论的应用几乎遍及所有的科
3、学领域领域，例如天气预报例如天气预报、 地震预报地震预报、产品的抽样调产品的抽样调查查，在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干扰性扰性、分辨率等等分辨率等等.在一定条件下必然发生在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象的现象称为确定性现象. . “太阳不会从西边升起太阳不会从西边升起”,1.确定性现象确定性现象 “同性电荷必然互斥同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处水从高处流向低处”,实例实例自然界所观察到的现象自然界所观察到的现象: 确定性现象确定性现象 随机现象随机现象二、随机现象二、随机现象 在一定条件下可能出现也可能不出现在一定条件下可能出现也可
4、能不出现的现象的现象称为随机现象称为随机现象.实例实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反两面出现的情况正反两面出现的情况.2. 随机现象随机现象 “函数在间断点处不存在导数函数在间断点处不存在导数” 等等.结果有可能结果有可能出现正面出现正面也可能也可能出现反面出现反面.确定性现象的特征确定性现象的特征 条件完全决定结果条件完全决定结果结果有可能为结果有可能为:1, 2, 3, 4, 5 或或 6. 实例实例3 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观观 察出现的点数察出现的点数. 实例实例2 用同一门炮向同用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多一目标发射同一种炮
5、弹多 发发 , 观察弹落点的情况观察弹落点的情况.结果结果: 弹落点会各不相同弹落点会各不相同.实例实例4 从一批含有正品从一批含有正品和次品的产品中任意抽取和次品的产品中任意抽取一个产品一个产品.其结果可能为其结果可能为: 正品正品 、次品次品.实例实例5 过马路交叉口时过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的交通可能遇上各种颜色的交通指挥灯指挥灯.实例实例6 出生的婴儿可出生的婴儿可能是能是男男,也可能是也可能是女女.实例实例7 明天的天气可明天的天气可能是能是晴晴 , 也可能是也可能是多云多云或或雨雨.随机现象的特征随机现象的特征概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科概率论就是研究随机现象
6、规律性的一门数学学科.条件不能完全决定结果条件不能完全决定结果2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然偶然性性, 但在大量试验或观察中但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具有这种结果的出现具有一定的统计一定的统计规律性规律性 , 概率论就是研究随机现象这概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科种本质规律的一门数学学科.随机现象是通过随机试验来研究的随机现象是通过随机试验来研究的.问题问题 什么是随机试验什么是随机试验?如何来研究随机现象如何来研究随机现象?说明说明1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联随机现象揭示了条件和结果之间的非确
7、定性联系系 , 其数量关系无法用函数加以描述其数量关系无法用函数加以描述. 1. 可以在相同的条件下重复地进行可以在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不止一个,并且能事并且能事先明确试验的所有可能结果先明确试验的所有可能结果; 3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现会出现. 在概率论中在概率论中,把具有以下三个特征的试验称把具有以下三个特征的试验称为为随机试验随机试验.定义定义三、随机试验三、随机试验说明说明 1. 随机试验简称为试验随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语是一个广泛的术语.它包它包括各种各样的科
8、学实验括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行的也包括对客观事物进行的 “调查调查”、“观察观察”或或 “测量测量” 等等.实例实例 “抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币,观观察字面察字面,花面出现的情况花面出现的情况”.分析分析 2. 随机试验通常用随机试验通常用 E 来表示来表示.(1) 试验可以在试验可以在相同的条件下重复地进行相同的条件下重复地进行;1. 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数.2. 从一批产品中从一批产品中,依次任选三件依次任选三件,记记 录出现正品与次品的件数录出现正品与次品的件数.同理可知下列试验都为随机试验同理可知下列试验都为随机试验.(2) 试验的所
9、有可能结果试验的所有可能结果:字面字面、花面花面;(3) 进行一次进行一次试验之前不能试验之前不能确定哪一个结果会出现确定哪一个结果会出现. 故为随机试验故为随机试验.3. 记录某公共汽车站记录某公共汽车站某日上午某时刻的等某日上午某时刻的等车人数车人数.4. 考察某地区考察某地区 10 月月份的平均气温份的平均气温.5. 从一批灯泡中任取从一批灯泡中任取一只一只,测试其寿命测试其寿命. 一、样本空间一、样本空间 样本点样本点 三、随机事件间的关系及运算三、随机事件间的关系及运算 二、随机事件的概念二、随机事件的概念四、小结四、小结 第二节样本空间、随机事件第二节样本空间、随机事件样本点样本点
10、e. S 现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具工具 .一、样本空间一、样本空间 实例实例1 将一枚硬币抛掷两次将一枚硬币抛掷两次,观察正面观察正面H、反面、反面T出现的情况出现的情况: S=(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)第第1次次第第2次次HHTHHTTT(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H): 在每次试验中必有在每次试验中必有一个样本点出现且仅一个样本点出现且仅有一个样本点出现有一个样本点出现 .则样本空间则样本空间实例实例2 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数.实例实例3 记录某公共汽车站某日
11、记录某公共汽车站某日 上午某时刻的等车人数上午某时刻的等车人数.实例实例4 从一批灯泡中任取从一批灯泡中任取 一只一只, 测试其寿命测试其寿命.实例实例5 记录某城市记录某城市120 急急 救电话台一昼夜接救电话台一昼夜接 到的呼唤次数到的呼唤次数. . 2. 同一试验同一试验 , 若试验目的不同若试验目的不同,则对应的样则对应的样 本空本空 间也不同间也不同. 例如例如 对于同一试验对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次”. 若观察正面若观察正面 H、反面、反面 T 出现的情况出现的情况 ,则样本空间为则样本空间为若观察出现正面的次数若观察出现正面的次数 , 则样本空间为则样
12、本空间为说明说明 1. 试验不同试验不同, 对应的样本空间也不同对应的样本空间也不同.说明说明 3. 建立样本空间建立样本空间,事实上就是建立随机现事实上就是建立随机现 象的数学模型象的数学模型. 因此因此 , 一个样本空间可以一个样本空间可以 概括许多内容大不相同的实际问题概括许多内容大不相同的实际问题.例如例如 只包含两个样本点的样本空间只包含两个样本点的样本空间它既可以作为抛掷硬币出现它既可以作为抛掷硬币出现正面正面或出现或出现反面反面的的模型模型 , 也可以作为产品检验中也可以作为产品检验中合格合格与与不合格不合格的模的模型型 , 又能用于排队现象中又能用于排队现象中有人排队有人排队与
13、与无人排队无人排队的的模型等模型等. 所以在具体问题的研究所以在具体问题的研究中中 , 描述随机现象的第一步描述随机现象的第一步就是建立样本空间就是建立样本空间. 随机事件随机事件 随机试验随机试验 E 的样本空间的样本空间 S 的子集称的子集称 为为 E 的随机事件的随机事件, 简称事件简称事件.通常以通常以大写英文字母大写英文字母 A, B, C, 来表示事件。来表示事件。试验中试验中,骰子骰子“出现出现1点点”, “出现出现2点点”, ,“出现出现6点点”,“点数不大于点数不大于4”, “点数为偶数点数为偶数” 等都为随机事件等都为随机事件. 实例实例 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, 观察出
14、现的点数观察出现的点数.1. 基本概念基本概念二、随机事件的概念二、随机事件的概念实例实例 上述试验中上述试验中 “点数不大于点数不大于6” 就是必然事件就是必然事件.必然事件必然事件 随机试验中必然会出现的结果随机试验中必然会出现的结果.不可能事件不可能事件 随机试验中不可能出现的结果随机试验中不可能出现的结果. 实例实例 上述试验中上述试验中 “点数大于点数大于6” 就是不可能事件就是不可能事件.实例实例 “出现出现1点点”, “出现出现2点点”, , “出现出现6点点”.基本事件基本事件: 由一个样本点组成的单点集由一个样本点组成的单点集.(相对于观察目的不可再分解的事件相对于观察目的不
15、可再分解的事件) （1）当且仅当集合）当且仅当集合A中的一个样本点出现时中的一个样本点出现时,称称事件事件A发生发生.如在掷骰子试验中，观察掷出的点数如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .事件事件 B=掷出奇数点掷出奇数点B发生当且仅当发生当且仅当B中的样本点中的样本点1,3,5中的某一个中的某一个出现出现.2. 几点说明几点说明(2) (2) 随机试验、样本空间与随机事件的关系随机试验、样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间每一个随机试验相应地有一个样本空间, 样样本空间的子集就是随机事件本空间的子集就是随机事件.随机试验随机试验样本空间样本空间子集子集随机事件随机事件随
16、随机机事事件件基本事件基本事件 必然事件必然事件不可能事件不可能事件复合事件复合事件两个特殊事件两个特殊事件 1. 包含关系包含关系若事件若事件 A 出现出现, 必然导致必然导致 B 出现出现 ,则称事件则称事件 B 包含事件包含事件 A,记作记作实例实例 “长度不合格长度不合格” 必然导致必然导致 “产品不合产品不合格格”所以所以“产品不合格产品不合格” 包含包含“长度不合格长度不合格”.图示图示 B 包含包含 A.SBA三、随机事件间的关系及运算三、随机事件间的关系及运算 2. A等于等于B 若事件若事件 A 包含事件包含事件 B， 而且事件而且事件B 包含事件包含事件 A，则称事件则称事
17、件 A 与事件与事件 B 相等相等，记作记作 A=B.3. 事件事件 A 与与 B 的并的并(和事件和事件)实例实例某种产品的合格与否是由该产品的长度与某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定直径是否合格所决定,因此因此 “产品不合格产品不合格”是是“长度长度不合格不合格”与与“直径不合格直径不合格”的并的并.图示事件图示事件 A 与与 B 的并的并. SBA4. 事件事件 A 与与 B 的交的交 (积事件积事件)图示事件图示事件A与与B 的积的积事件事件.SABAB实例实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定与直径是否合格
18、所决定,因此因此“产品合格产品合格”是是“长度合格长度合格”与与“直径合格直径合格”的交或积事件的交或积事件.和事件与积事件的运算性质和事件与积事件的运算性质5. 事件事件 A 与与 B 互不相容互不相容 (互斥互斥) 若事件若事件 A 的出现必然导致事件的出现必然导致事件 B 不出现不出现, B出现也必然导致出现也必然导致 A不出现不出现,则称事件则称事件 A与与B互不相互不相容容, 即即实例实例 抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币, “出现花面出现花面” 与与 “出现字面出现字面” 是互不相容的两个事件是互不相容的两个事件.“骰子出现骰子出现1点点” “骰子出现骰子出现2点点”图示图示 A 与与 B
19、 互斥互斥.SAB互斥互斥实例实例 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, 观察出现的点数观察出现的点数 . 6. 事件事件 A 与与 B 的差的差 由事件由事件 A 出现而事件出现而事件 B 不出现所组成的不出现所组成的事件称为事件事件称为事件 A 与与 B 的差的差. 记作记作 A- - B.图示图示 A 与与 B 的差的差.SABSAB实例实例 “长度合格但直径不合格长度合格但直径不合格” 是是 “长度合长度合格格”与与 “直径合格直径合格” 的差的差. 设设 A 表示表示“事件事件 A 出现出现”, 则则“事件事件 A 不出现不出现”称为事件称为事件 A 的的对立事件或逆事件对立事件或逆事件. 记
20、作记作实例实例 “骰子出现骰子出现1点点” “骰子不出现骰子不出现1点点”图示图示 A 与与 B 的对立的对立.SB若若 A 与与 B 互逆互逆,则有则有A7. 事件事件 A 的对立事件的对立事件对立对立对立事件与互斥事件的区别对立事件与互斥事件的区别SSABABA、B 对立对立A、B 互斥互斥互互 斥斥对对 立立事件间的运算规律事件间的运算规律例例1 设设A,B,C 表示三个随机事件表示三个随机事件, ,试将下列事件试将下列事件用用A,B,C 表示出来表示出来. .(1) A 出现出现 , B, C 不出现不出现;(5) 三个事件都不出现三个事件都不出现;(2) A, B都出现都出现, C
21、不出现不出现;(3) 三个事件都出现三个事件都出现;(4) 三个事件至少有一个出现三个事件至少有一个出现;(6) 不多于一个事件出现不多于一个事件出现;(7) 不多于两个事件出现不多于两个事件出现;(8) 三个事件至少有两个出现三个事件至少有两个出现;(9) A, B 至少有一个出现至少有一个出现, C 不出现不出现;(10) A, B, C 中恰好有两个出现中恰好有两个出现.解解(1)没有一个是次品没有一个是次品;(2)至少有一个是次品至少有一个是次品;(3)只有一个是次品只有一个是次品;(4)至少有三个不是次品至少有三个不是次品;(5)恰好有三个是次品恰好有三个是次品; (6)至多有一个是
22、次品至多有一个是次品.解解 例例3 若用事件若用事件A表示表示“甲产品畅销，乙产品甲产品畅销，乙产品滞销滞销”，则事件，则事件 表示（表示（ ）。）。 A甲产品滞销，乙产品畅销甲产品滞销，乙产品畅销; B. 甲、乙两产品均畅销甲、乙两产品均畅销; . 甲产品滞销甲产品滞销; 甲产品滞销或乙产品畅销甲产品滞销或乙产品畅销. 由（由（1 1）（）（2 2）知：）知：A A与与B B互为逆事件。互为逆事件。 （2）例例4、若，则若，则A A与与B B互为逆事件。互为逆事件。 证明：如果证明：如果 而而矛盾，从而：矛盾，从而： （1）随机试验随机试验样本空间样本空间子集子集随机事件随机事件随随机机事事
23、件件基本事件基本事件必然事件必然事件不可能事件不可能事件复合事件复合事件四、小结四、小结1. 随机试验随机试验、样本空间与随机事件的关系样本空间与随机事件的关系2. 概率论与集合论之间的对应关系概率论与集合论之间的对应关系记号记号概率论概率论集合论集合论样本空间，必然事件样本空间，必然事件空间空间不可能事件不可能事件空集空集基本事件基本事件元素元素随机事件随机事件子集子集A的对立事件的对立事件A的补集的补集A出现必然导致出现必然导致B出现出现A是是B的子集的子集事件事件A与事件与事件B相等相等集合集合A与集合与集合B相等相等事件事件A与事件与事件B的差的差 A与与B两集合的差集两集合的差集事件事件A与与B互不相容互不相容A与与B 两集合中没有两集合中没有相同的元素相同的元素事件事件A与事件与事件B的和的和 集合集合A与集合与集合B的并集的并集 事件事件A与事件与事件B的的积事件积事件集合集合A与集合与集合B的交集的交集
