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1、6.2等差数列及其前n项和知识梳理双基自测23411.等差数列(1)定义:一般地,如果一个数列从起,每一项与它的前一项的等于,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的,公差通常用字母d表示.数学语言表示为(nN*),d为常数.(2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是,其中A叫做a,b的.(3)等差数列的通项公式:an=,可推广为an=.第2项差 同一个常数 公差 an+1-an=d等差中项 a1+(n-1)dam+(n-m)d2知识梳理双基自测23412.等差数列及其前n项和的性质(1)若m+n=p+q,则(m,n,p,qN*);m+n=2p,则am+an=2ap(m,n
2、,pN*).(2)若an是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)是公差为的等差数列.(3)若an,bn是等差数列,p,qR,则pan+qbn也是等差数列.(4)设Sn是等差数列an的前n项和,则数列也是数列.(5)若等差数列an的前n项和为Sn,则S2n-1=(2n-1)an.(6)若n为偶数,则 ;若n为奇数,则S奇-S偶=a中(中间项).am+an=ap+aqmd等差 3知识梳理双基自测2341(2)当d0时,它是关于n的二次函数.数列an是等差数列Sn=An2+Bn(A,B为常数).3.等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系(1)an=a1+(n-1)d可
3、化为an=dn+a1-d的形式.当d0时,an是关于n的一次函数;当d0时,数列an为递增数列;当d0,d0,则Sn存在最值;若a10,则Sn存在最值.大小 52知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“”,错误的打“”.(1)若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列. ()(2)已知数列an的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列an一定是等差数列. ()(3)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数. ()(4)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*,都有2an+1=an+an+2. ()(5)等差数列an的单调性是由公
4、差d决定的. ()(6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数. () 答案 答案关闭(1)(2)(3)(4)(5)(6) 6知识梳理双基自测234152.(2018内蒙古赤峰期末)张丘建算经是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女不善织,日减功迟,初日织五尺,末日织一尺,今共织九十尺,问织几日?”.已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布,则此问题的答案是()A.25日B.40日C.35日D.30日 答案解析解析关闭 答案解析关闭7知识梳理双基自测234153.在等差数列an中,a3+a6=11,a5+a8=39,则公差d为()A.-14 B.-7C.7
5、D.14 答案解析解析关闭a3+a6=11,a5+a8=39,4d=28,解得d=7.故选C. 答案解析关闭C8知识梳理双基自测234154.已知an为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6=. 答案解析解析关闭an是等差数列,设公差为d,a3+a5=2a4=0.a4=0.a4-a1=3d=-6.d=-2.S6=6a1+15d=66+15(-2)=6. 答案解析关闭69知识梳理双基自测234155.记等差数列an的前n项和为Sn,若a3=0,a6+a7=14,则S7=. 答案解析解析关闭 答案解析关闭10知识梳理双基自测23415自测点评1.用等差数列的定义判断数列是否
6、为等差数列,要注意定义中的三个关键词:“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”.2.等差数列与函数的区别:当公差d0时,等差数列的通项公式是n的一次函数;当公差d=0时,an为常数.3.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数,且常数项为0.4.等差数列的前n项和公式有两种表达形式,要根据题目给出的条件判断使用哪一种表达形式.11考点1考点2考点3考点4例1(1)在等差数列an中,a4=2,且a1+a2+a10=65,则公差d的值是()A.4B.3C.1D.2(2)设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等于()A.3B.4C.5D.
7、6思考求等差数列基本量的一般方法是什么? 答案 答案关闭(1)B(2)C 12考点1考点2考点3考点4解析:(1)在等差数列an中,a4=2,且a1+a2+a10=65,公差d的值是3.故选B.(2)(方法一)由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,数列an为等差数列,d=am+1-am=1,m0,a1=-2,又am=a1+(m-1)d=2,解得m=5.13考点1考点2考点3考点414考点1考点2考点3考点4(方法三)数列an为等差数列,且前n项和为Sn, 经检验m=5是原方程的解.故选C.15考点1考点2考点3考点4解题心得1.等差数列运算问题的一般求法是设出首项a
8、1和公差d,由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.2.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,已知其中三个就能求出另外两个,体现了用方程(组)解决问题的思想.3.减少运算量的设元的技巧,若三个数成等差数列,可设这三个数为a-d,a,a+d;若四个数成等差数列,可设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d.16考点1考点2考点3考点4对点训练对点训练1(1)已知等差数列an前9项的和为27,a10=8,则a100=()A.100 B.99C.98 D.97(2)设Sn为等差数列an的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16=. 答案 答案关闭(1)C
9、(2)-72 17考点1考点2考点3考点418考点1考点2考点3考点419考点1考点2考点3考点4例2已知数列an满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.(1)设bn=an+1-an,证明bn是等差数列;(2)求an的通项公式.思考判断一个数列为等差数列的基本方法有哪些?20考点1考点2考点3考点4(1)证明 由an+2=2an+1-an+2得an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2.又因为b1=a2-a1=1,所以bn是首项为1,公差为2的等差数列.(2)解 由(1)得bn=1+2(n-1)=2n-1,即an+1-an=2n-1.故an+1-a1=n2,即
10、an+1=n2+a1.因为a1=1,所以an的通项公式为an=n2-2n+2.21考点1考点2考点3考点4解题心得等差数列的判定方法:(1)证明数列an为等差数列的基本方法有两种:利用等差数列的定义证明,即证明an+1-an=d(nN*);利用等差中项证明,即证明an+2+an=2an+1(nN*).(2)解答选择题、填空题时,也可用通项公式或前n项和公式直接判断:通项法:若数列an的通项公式为n的一次函数,即an=An+B,则an是等差数列.前n项和法:若数列an的前n项和Sn可以化为Sn=An2+Bn的形式(A,B是常数),则an是等差数列.(3)判断一个数列不是等差数列,只需说明某连续三
11、项(如前三项)不是等差数列即可.22考点1考点2考点3考点4对点训练对点训练2设数列an的前n项和为Sn,且Sn=2n-1.数列bn满足b1=2,bn+1-2bn=8an.(1)求数列an的通项公式;23考点1考点2考点3考点424考点1考点2考点3考点4 答案解析解析关闭 答案解析关闭25考点1考点2考点3考点4考向二等差数列前n项和的性质的应用例4在等差数列an中,前m项的和为30,前2m项的和为100,则前3m项的和为.思考本例题应用什么性质求解比较简便? 答案解析解析关闭 答案解析关闭26考点1考点2考点3考点4解题心得1.利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想,应用时
12、常将an+am=2ap(m+n=2p,m,n,pN*)与am+an=ap+aq(m+n=p+q,m,n,p,qN*)相结合,可减少运算量.2.在等差数列an中,依据题意应用其前n项和的性质解题能比较简便地求出结果,常用的性质有:在等差数列an中,数列27考点1考点2考点3考点4对点训练对点训练3(1)已知等差数列an的前17项和S17=51,则a5-a7+a9-a11+a13等于()A.3B.6C.17 D.51(2)已知等差数列an,bn的前n项和分(3)在等差数列an中,其前n项和为Sn,S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=. 答案 答案关闭(1)A(2)D(3)45 28考点1考点
13、2考点3考点429考点1考点2考点3考点4(3)an为等差数列,S3,S6-S3,S9-S6成等差数列.2(S6-S3)=S3+(S9-S6).a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=2(36-9)-9=45.30考点1考点2考点3考点4例5在等差数列an中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值.思考求等差数列前n项和的最值有哪些方法?31考点1考点2考点3考点432考点1考点2考点3考点4nN*,当n=12或n=13时,Sn有最大值,且最大值为S12=S13=130.又由S10=S15得a11+a12+a13+a14
14、+a15=0.5a13=0,即a13=0.当n=12或n=13时,Sn有最大值,且最大值为S12=S13=130.33考点1考点2考点3考点4解题心得求等差数列(公差不为0)前n项和Sn最值的三种方法(1)函数法:将等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数)看作二次函数,根据二次函数的性质求最值.利用性质求出其正负转折项,便可求得前n项和的最值.34考点1考点2考点3考点4对点训练对点训练4(1)等差数列an的前n项和为Sn,已知a5+a7=4,a6+a8=-2,则当Sn取最大值时,n的值是()A.5B.6C.7D.8(2)设数列an是公差d0,a7=-10;又数列an是等差数列,因
15、此在该数列中,前6项均为正数,自第7项起以后各项均为负数,于是当Sn取最大值时,n=6,选B.(2)由题意,得S6=6a1+15d=5a1+10d,a6=0,故当n=5或n=6时,Sn最大,选C. 答案解析关闭(1)B(2)C35考点1考点2考点3考点41.等差数列的判断方法(1)定义法;(2)等差中项法;(3)利用通项公式判断;(4)利用前n项和公式判断.2.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数,且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数,则该数列不是等差数列,它从第2项起成等差数列.3.方程思想和化归思想:在解有关等差数列的问题时,可以先考虑把已知条件都化归为
16、a1和d等基本量的关系,再通过建立方程(组)求解.36考点1考点2考点3考点4注意利用“an-an-1=d”时加上条件“n2”;否则,当n=1时,a0无定义.37思想方法整体思想在等差数列中的应用整体思想,就是在研究和解决有关数学问题时,通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征,从而对问题进行整体处理的解题方法.从整体上去认识问题、思考问题,常常能化繁为简、变难为易,同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性.整体思想的主要表现形式有:整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等.在等差数列中,若要求的Sn所需要的条件未知或不易求出时,可以考虑整体代入.38典例1已知等差数列an的前n项和为Sn,若a3+a4+a5=12,则S7的值为.答案28解析设数列an的首项为a1,公差为d.a3+a5=2a4,由a3+a4+a5=12得3a4=12,即a4=4.39典例2在等差数列an中,其前n项和为Sn.已知Sn=m,Sm=n(mn),则Sm+n=.答案-(m+n)解析设an的公差为d,则由Sn=m,Sm=n,40
