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1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三章随机变量与分布函数 第一节随机变量及其分布第一节随机变量及其分布 第二节随机变量与随机向量的独立性第二节随机变量与随机向量的独立性 第三节随机变量的函数及其分布第三节随机变量的函数及其分布CHP312随机向量随机变量的独立性新机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二节 随机变量及随机向量的独立性一、随机向量及其分布一、随机向量及其分布二、边际分布二、边际分布三、条件分布三、条件分布四、随机变量的独立性四、随机变量的独立性CHP312随机向量随机变量的独立性新机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、随机向量及其分布一、随机向量及其分布构成一个n维随机变量
2、或n维随机向量。定义定义 若随机变量 定义在同一概率空间 上，则称 把它们作为一个随机向量，我们不仅能研究各个分量的性质，而且可以考察它们之间的联系，对许多问题来说，这是十分必要的。 对于任意的n个实数 CHP312随机向量随机变量的独立性新机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义 称 n 元函数为随机向量 的（联合）分布函数。亦即对于 中的 n 维矩形 ，有 利用测度论的方法还可以证明，若 为 上任一博雷尔点集，也有以后，我们将要用到这个结论。 给出了分布函数以后，我们可以计算事件CHP312随机向量随机变量的独立性新机动 目录 上页 下页 返回 结束 的概率，例如当 时，有类似于一元的
3、场合，可以证明多元分布函数的一些性质（1）单调性：关于每个变元是单调不减函数。（2）（3） 关于每个变元左连续。在二元场合，还应该有：对任意 ，都有（4）CHP312随机向量随机变量的独立性新机动 目录 上页 下页 返回 结束 性质（4）能推出单调性，但存在着反例说明，由单调性并不能保证（4）式成立。这是多元场合与一元场合的不同之处。 随机向量也有不同类型，最常见的也是离散型与连续型。 在离散型场合，概率分布集中在有限或可列个点上，重要的离散型分布有多项分布与多元超几何分布，它们分别是二项分布和超几何分布往多元场合的推广。 可以证明：满足（2），（3），（4）这三条性质的二元函数必为某二元随机
4、变量的分布函数。因此，以后我们称满足以上三条性质的函数 为二元联合分布函数。CHP312随机向量随机变量的独立性新机动 目录 上页 下页 返回 结束 重复这种实验 次，并假定这些实验是相互独立的，若以 分别记 出现的次数，则这里整数 ，且仅当 时上式才成立，否则为0。多项分布多项分布在实验中，若每次实验的可能结果为 ，而且CHP312随机向量随机变量的独立性新机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元超几何分布多元超几何分布袋中装有 号球 只， ，从中随机摸出 只，若以 分别记 号球的出现数，则这里整数 ，且仅当 时上式才成立，否则为0。 以上两个分布在抽样中常用，前者用于有放回场合，后者则用于
5、不放回场合。CHP312随机向量随机变量的独立性新机动 目录 上页 下页 返回 结束 在连续型场合，存在着非负函数 ，使这里的 称为密度函数，满足如下两个条件均匀分布和 元正态分布是比较常见的多维连续型分布均匀分布均匀分布若 为 中有限区域，其测度 ；则由密度函数给出的分布称为 上的均匀分布。CHP312随机向量随机变量的独立性新机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元正态分布多元正态分布若 是 阶正定对称矩阵，以 表示 的逆矩阵； 表示 的行列式的值。 是任意实值行向量，则由密度函数定义的分布称为 元正态分布，简称为 元正态分布是最重要的一种多维分布，它在概率论、数理统计、随机过程论中都占有
6、重要地位，具有许多重要性质。CHP312随机向量随机变量的独立性新机动 目录 上页 下页 返回 结束 元正态分布地密度函数可以写为向量形式：这里 表示向量 的转置。 二维正态分布的联合密度函数 的图形是一个钟形曲面，它与平行于坐标平面 的水平平面相交的截口为椭圆，而与平行 于另外两个坐标平面的竖直平面相交 的截口为正态曲线。 二维正态分布的图形特点二维正态分布的图形特点CHP312随机向量随机变量的独立性新机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、边际分布二、边际分布 为方便起见，讨论将对二维场合进行，多维时这些结论仍然成立。 考虑二维离散型分布的场合，设 取值 ； 取值 ，记显然此外对固定的
7、和 ，有CHP312随机向量随机变量的独立性新机动 目录 上页 下页 返回 结束 通常用以下表格表示通常用以下表格表示的分布律和边际分布律的分布律和边际分布律 称为联合概率分布， 称为边际分布。CHP312随机向量随机变量的独立性新机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意：注意： 联合分布不能由边际分布唯一确定，也就是说二维随机向量的性质不能由它两个分量的个别性质来确定，这时还必须考虑它们之间的联系，这也说明了研究多维随机向量的作用。一般地，若 是二维随机向量，其分布函数为 ，我们能由 得出 或 的分布函数，事实上，同理 及 称为 的边际分布函数。 若 是连续型分布函数，有密度函数 ，那么CH
8、P312随机向量随机变量的独立性新机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此 是连续型分布函数，其密度函数为同理 也是连续型分布函数，其密度函数为 及 称为 的边际分布密度函数。二元正态分布二元正态分布（P139） 元正态分布 时的特殊情况。相应地二元正态分布的边际分布仍为正态分布。CHP312随机向量随机变量的独立性新机动 目录 上页 下页 返回 结束 问题：问题： 均匀分布的边际分布是否还是均匀分布？例例设 服从单位圆 上的均匀分布，试求它的边际密度函数。解解联合密度函数为：当 时， 故 ；而当 时，对称可得 因而，单位圆上均匀分布的边际分布不是一维均匀分布。CHP312随机向量随机变量的独
9、立性新机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、条件分布三、条件分布 对于多个随机事件可以讨论它们的条件概率，同样地，对于多个随机变量也可以讨论它们的条件分布。 仍对二维的场合进行讨论。也还是从离散型开始。若已知 则事件 的条件概率为此式定义了随机变量 关于随机变量 的条件分布。 在一般情况下，它不同于 ，这表示从 的取值可以得出关于 的某些信息。CHP312随机向量随机变量的独立性新机动 目录 上页 下页 返回 结束 对于一般随机向量 ，我们也想定义条件分布函数 ，但是由于会出现 ，因此我们不能像上式一样简单地定义。自然会想到可以用下式来定义特别对于有连续密度函数的场合，这定义导出CHP312
10、随机向量随机变量的独立性新机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此在给定 的条件下， 的分布密度函数为因此在给定 的条件下， 的分布密度函数为利用积分中值定理， 当 时，这里当然也要求CHP312随机向量随机变量的独立性新机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例 二元正态分布 ，其中的条件分布仍然是正态分布，即例例 若 服从单位圆上的均匀分布，则在 的条件下 的条件分布是区间 上的均匀分布，即 特别指出，这一条件分布的均值是 的线性函数，这一结论在一些统计问题中很重要。CHP312随机向量随机变量的独立性新机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、随机变量的独立性四、随机变量的独立性定义定义 设
11、 是概率空间 上的 个随机变量，如果他们的联合分布函数等于各自边缘分布函数之积，即则称 相互独立。一族无限多个随机变量称作相互独立的，如果其中任意有限个相互独立。定理定理 如果随机变量 相互独立，则其中任何一部分随机变量仍独立。 于是，整体独立的多个随机变量是两两独立的，但其逆命题不真。CHP312随机向量随机变量的独立性新机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理随机向量 相互独立，当且仅当定理定理 如果 为离散型随机向量，则 与 独立的充分必要条件是它的联合分布等于边际分布之积。定理定理如果 为连续型随机向量，则 与 独立的充分必要条件是它的联合密度等于边际密度之积。对几乎处处的 成立。
12、 下面，以 为例讨论独立性定义的种种等价形式。若随机变量 与 独立，则条件分布化为无条件分布。即由 的取值不能得出任何关于 的信息。CHP312随机向量随机变量的独立性新机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机向量之间的独立性随机向量之间的独立性定义定义 对于 维随机向量 和 维随机向量 ，如果成立， 则称 与 相互独立。其中 分别是任意一个 维和 维的博雷尔点集。 显然若 与 独立，则 的子向量 与 的子向量独立命题命题 二维正态随机变量相互独立的充分必要条件为参数 。CHP312随机向量随机变量的独立性新机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机变量的独立性概念是概率论中最基本的概念之一，也
13、是最重要的概念之一，关于独立随机变量的研究构成了概率论的重要课题，我们将在第五章介绍一些基本结果。正态分布的一个条件正态分布的一个条件（1） 与 有连续的密度函数。 （2） 与 相互独立。弹落点的坐标 是一个二维随机变量，若满足（3） 的密度函数在 点的值仅与它到原点的距 离有关。则 与 均服从正态分布。CHP312随机向量随机变量的独立性新机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例假定在一段确定的时间内，放射性物质发射出的 粒子数服从参数为 的泊松分布，如果每个发射出的 粒子被记录下的概率均为 ，且各粒子能否被记录相互独立，求证在这段时间内被记录下的 粒子数 与未被记录下的粒子数 相互独立。解解 由于泊松分布在随机选择下不变，故随机变量 均服从泊松分布，参数分别为 与 ，于是，对任何非负整数 与 有CHP312随机向量随机变量的独立性新机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此， 与 相互独立。在独立重复的伯努利实验序列中，如果实验重复的次数服从泊松分布，那么成功次数和失败次数相互独立。命题命题这个命题的逆命题也成立，可以利用母函数给出简单的证明。注：注：CHP312随机向量随机变量的独立性新
