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1、第六节无穷小的比较 第二章第二章 都是无穷小都是无穷小,1.引例引例 极限不同极限不同, 反映了无穷小趋于反映了无穷小趋于 0 的的“速度速度”是多样的是多样的 . 观观 察察 各各 极极 限限不可比不可比2.定义定义2.5 设设是自变量同一变化过程中的无穷小是自变量同一变化过程中的无穷小,(1)若若则称则称 是比是比 高阶高阶的无穷小的无穷小,记作记作(2)若若则称则称 是比是比 低阶低阶的无穷小的无穷小;(3)若若(4)若若或或则称则称 是是 的的同阶同阶无穷小，无穷小，则称则称 是是 的的等价等价无穷小无穷小, 记作记作记作记作(5)若若则称则称 是关于是关于 的的 k 阶阶无穷小无穷小
2、.例如例如 , 当当时时又如又如 ，故故时时是关于是关于 x 的二阶无穷小的二阶无穷小,且且例例2 证明证明: 当当时时,证证3. 常用的等价无穷小常用的等价无穷小例例3解解故同阶但不等价故同阶但不等价.例例3-1解解高阶的无穷小高阶的无穷小 .哪一个是高阶无穷小哪一个是高阶无穷小.通过比的通过比的极限说明极限说明阶的高低阶的高低4. 等价无穷小代换法等价无穷小代换法且且存在存在 , 则则证证例如例如,定理定理2.11 设设定理定理2.12证证即即即即例如例如,故故例例4-1 求求解解例例4-2解解非零因子的极非零因子的极限可先求出限可先求出例例4 原式原式 解解解解错错错误原因：错误原因：
3、问：问：下列推导是否正确？下列推导是否正确？不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换. 在用等价无穷小在用等价无穷小代换时，要用与分子或分母代换时，要用与分子或分母整体整体等价的无穷小等价的无穷小代换代换.对于代数和中各无穷小对于代数和中各无穷小, 一般不能分别一般不能分别代换代换. 即遇无穷小即遇无穷小 “+”, “ ”时时, 一般一般不不能能代换；代换；12 遇无穷小乘积时，可用各无穷小的等价遇无穷小乘积时，可用各无穷小的等价无穷小进行代换无穷小进行代换.注注例例注意注意: :在用等价无穷小代换时在用等价无穷小代换时, ,必须是在必须是在乘积形式乘积形式 的极限中的极限中, ,和差形式不能代换和差形式不能代换. .解解 (方法方法1)例例4-3原式原式解解 (方法方法2) 定理定理1.121. 无穷小的比较及无穷大的比较无穷小的比较及无穷大的比较常用等价无穷小常用等价无穷小 :2. 等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理内容小结内容小结例例3-2解解则将其与则将其与 作商，作商，所以所以 cosx-cos2x是是x的的2阶无穷小阶无穷小.
