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1、1近代物理近代物理第一章第一章 实物粒子的波动性实物粒子的波动性原子的核式结构与Bohr理论德布罗意波电子杨氏干涉实验不确定关系波函数诠释与量子测量，算符共设薛定谔方程2原子的核式结构与Bohr理论对汤姆孙模型的否定该模型认为正电荷均匀分布于这个原子球内，而电子则嵌在其中。盖革实验：用 粒子轰击重元素原子， 粒子有八千分之一弹回。按汤姆孙模型计算，弹回的概率只有 卢瑟福核式结构模型卢瑟福核式结构模型：原子的正电荷及绝大部分质量集中在很小的核心。电子在原子核的库仑力吸引下绕原子核运动，而电子轨道半径即原子半径。3原子的核式结构与Bohr理论卢瑟福核式结构模型可以解释 粒子散射实验，但是不能解释电
2、磁辐射问题。依经典电动力学，电子因为在做加速运动，要不断向外辐射电磁波，因而绕核运动半径逐渐减小，造成原子在 秒内崩溃。而由于运转频率不断加快，发射的电磁波频率渐增，电磁波谱必然是连续的。实验事实：原子不崩溃； 氢原子光谱为分立谱线，可概括为：；（里德伯常数）4原子的核式结构与Bohr理论玻尔理论（旧量子论）：1）承认核式结构，但电子只能处于稳定轨道上（稳态），这些轨道只能有特定能量值，能量稳定，不辐射电磁波。即经典电动力学实效；2）在外界作用下，电子可从一个稳定轨道跳到另一个能量较低的稳定轨道，并发光，其频率为：3）稳定轨道需符合量子化条件。玻尔理论不能解释氢原子以外的其他原子光谱，即便对氢
3、原子，也只能解释频率，但不能解释强度。h为Planck常量5原子的核式结构与Bohr理论量子物理学的出发点是认为所有实物粒子都具波的属性因而没有经典轨道，将严格回答电子的稳态成因及所有光谱问题以及其它微观粒子运动规律。6所有物质都具有波动所有物质都具有波动性，称为性，称为德布罗意波。德布罗意波。电子在晶体上散射时的电子在晶体上散射时的电子束强度分布图与电子束强度分布图与 X光在晶体上的衍射强度光在晶体上的衍射强度分布图十分相似。分布图十分相似。德布罗意波7 We have seen that light comes in discrete units (photons) with partic
4、le properties (energy and momentum) that are related to thewave-like properties of frequency and wavelength.MATTER WAVESIn 1923 Prince Louis de Broglie postulated that ordinary matter can havewave-like properties, with the wavelength related to momentum p in the same way as for light de Broglie wave
5、lengthde Broglie relation Plancks constantPrediction: We should see diffraction and interference of matter wavesDe BroglieNB wavelength depends on momentum, not on the physical size of the particle8Estimate some de Broglie wavelengths Wavelength of electron with 50eV kinetic energy Wavelength of Nit
6、rogen molecule at room temperature Wavelength of Rubidium(87) atom at 50nK低温与量子效应9DavissonG.P. ThomsonDavisson, C. J., Are Electrons Waves?, Franklin Institute Journal 205, 597 (1928) The Davisson-Germer experiment: scattering a beam of electrons from a Ni crystal. Davisson got the 1937 Nobel prize.
7、At fixed angle, find sharp peaks in intensity as a function of electron energyG.P. Thomson performed similar interference experiments with thin-film samplesiiELECTRON DIFFRACTIONELECTRON DIFFRACTIONThe Davisson-Germer experiment (1927)The Davisson-Germer experiment (1927)10Interpretation: similar to
8、 Bragg scattering of X-rays from crystalsairPath difference:Constructive interference whenNote difference from usual “Braggs Law” geometry: the identical scattering planes are oriented perpendicular to the surfaceNote i and r not necessarily equalElectron scattering dominated by surface layersELECTR
9、ON DIFFRACTION (cont)ELECTRON DIFFRACTION (cont)11Originally performed by Young (1801) to demonstrate the wave-nature of light. Has now been done with electrons, neutrons, He atoms among others.DdDetecting screenIncoming coherent beam of particles (or light)yAlternative method of detection: scan a d
10、etector across the plane and record number of arrivals at each pointTHE DOUBLE-SLIT EXPERIMENTFor particles we expect two peaks, for waves an interference pattern123）电子的杨氏双缝实验显示的波动性）电子的杨氏双缝实验显示的波动性（1）装置和强度分布）装置和强度分布 (2）实实验验结结论论少量电子通过仪器落在屏幕上时，少量电子通过仪器落在屏幕上时，显示了电子的显示了电子的“粒子性粒子性”，分布，分布毫无规律。毫无规律。随通过电子数的
11、增加，屏幕上形成了随通过电子数的增加，屏幕上形成了清晰的干涉条纹，显示了电子的清晰的干涉条纹，显示了电子的“波动性波动性”。电子数电子数1003000200007000013 电子12双缝器探测P1P2P12xx电子枪xx(b)(c)(d)总结：是概率幅， probability amplitude是双缝实验干涉概率幅观察屏上的分布是d而不是c ！14（3）实验分析及结论）实验分析及结论（a）不是大量粒子的预先位置的统计分布的结果）不是大量粒子的预先位置的统计分布的结果（b）也不是两缝间电子相互作用（碰撞）的结果）也不是两缝间电子相互作用（碰撞）的结果理由：单电子依次次通过双缝，积累足够多数目
12、后也可以得到清晰的干涉条纹同样。 干涉条纹是电子自身干涉的结果(C) 波动是电子本身的固有属性，波动是电子本身的固有属性，每个电子通过两个单缝，每个电子通过两个单缝，干涉正是发生在单粒子两部分的干涉正是发生在单粒子两部分的“几率波几率波”之间，之间，实物粒子波是实物粒子波是几率波几率波。理由：双逢干涉条纹不等于单逢各自条纹相加。15这样的概率解释背后的本质是什么？概率解释本身就是本质规律，还没有人能够作出比概率解释更多地解释。不存在能够推导出这些解释的“更本质的机制”。“或许，电子存在某种我们尚未掌握的内部机制-某种内部变量（隐变量）。一旦我们掌握了这些内部变量，我们就能准确预测它将到达哪里。
13、 ”？16倘若，由于某种我们目前尚未发现的内部结构，每个电子预先已经“打定主意”要决定通过某个缝，那我们就不可能看到干涉条纹。 12双缝器探测P1P2P12xx电子枪xx(b)(c)(d)设想，我们在电子枪刚刚发射时随机挡住部分电子在屏上条纹形状不变。而只是整体变弱。若电子事先打定注意走哪个缝，那我们随机堵住一个缝就等价于在电子枪前随机堵住部分电子。但是, 实验已证实随机堵住一个缝将没有干涉条纹。隐变量控制下的路径？17注：若每个电子预先已经“打定主意”要决定通过某个缝，在这个前提下，当你随机关闭一个缝，就等效于双缝齐开，而随机决定是否在电子枪前直接堵住电子。理由：若电子预先决定要进过的缝就是
14、被你关闭的缝，那就完全阻挡了电子，等同于在电子枪前堵住电子；若电子预先决定要进过的缝不是被你关闭的缝，那被你关闭的那条缝无论是关还是开对电子都不影响，就等同于双缝齐开。然而实验事实是：随机关闭一个缝同随机决定是否在电子枪前堵住电子将会形成不同条纹。因此，我们假定的前提，“ 每个电子预先已经打定主意要决定通过某个缝”必定不成立。隐变量控制下的路径？“电子预先打定主意要决定通过某个缝”是指电子就如同子弹一样是存在运动轨迹的经典粒子。18电子是如何通过双缝的 ？命题：“每个电子完整的通过一个缝。”事实二：若两缝齐开 ，干涉事实三：堵住一个缝无干涉问题：既然每次观测电子是通过哪个缝，我们总会发现电子必
15、然完整的通过一个缝，为什么不能据此推断电子在任何时候都是完整地通过一个缝？事实一：每次观测电子是通过哪个缝，我们总会发现电子必然完整的通过一个缝19电子是如何通过双缝的 ？“每次观测电子是通过哪个缝，我们总会发现电子必然完整的通过一个缝。”这一事实只表示：当电子被观察是通过哪个缝时，电子必然完整的通过一个缝。但并不表示当电子未被观察通过哪个缝时，电子也完整的通过一个缝。回答这个问题需要进一步的实验事实。才子阿牛的体态问题苹果丢失之谜20电子是如何通过双缝的 ？进一步事实：不加监视，双缝齐开，有干涉。随机堵住一缝无干涉。结论：在不被监视（观测）时，电子不可能完整的通过一个缝， 而是以波的形式通过
16、双缝！而经典粒子只能择一缝通过。此结论再次证明电子的波动性。21电子是如何通过双缝的 ？若不观测，电子波函数越过两个缝而发生干涉，电子并无确切位置（即通过哪个缝越过双缝屏）。如果观察电子通过哪个缝，观察扰动了电子的状态。观察行为本身为电子“制备”了这样一个确定位置。22不确定原理不确定原理(Uncertainty (Uncertainty Principle)Principle)任何波函数不能同时给出位置与动量的精确值。任何粒子，任何物理系统，在客观上不能同时具有确定的位置与确定的动量。定量地说，如果粒子被局限在 方向的 范围内，同一方向的动量必然有一个范围 且必须满足条件 双缝实验告诉我们，
17、电子不能预先打定注意要走哪条缝。这意味着：23波函数及其统计解释回顾电子的杨氏实验。条纹强度指的是什么？12双缝器探测P1P2P12xx电子枪xx(b)(c)(d)24波函数的统计解释玻恩（M.Born）1926年对波函数作出统计诠释。玻恩假定: 德布罗意波是描述粒子在空间概率分布的概率波，概率波的波函数用 表示。 是描述粒子在空间的几率分布的“概率振幅”(probability amplitude)n波函数的模方 代表时刻t，在空间r r点处单位体积中发现一个粒子的概率密度。n时刻t在空间r r点附近点附近 体积内发现粒子的概率为25中子，原子，分子的波动性26 DdyMaxima when
18、:Position on screen:so use small angle approximationSo separation between adjacent maxima:FRINGE SPACING INDOUBLE-SLIT EXPERIMENT27Estimate some de Broglie wavelengths Wavelength of electron with 50eV kinetic energy Wavelength of Nitrogen molecule at room temperature Wavelength of Rubidium(87) atom
19、at 50nK低温与量子效应28DOUBLE-SLIT EXPERIMENT WITH HELIUM ATOMSDOUBLE-SLIT EXPERIMENT WITH HELIUM ATOMS (Carnal & Mlynek, 1991,Phys.Rev.Lett.,66,p2689) (Carnal & Mlynek, 1991,Phys.Rev.Lett.,66,p2689) DdyPath difference:Constructive interference:Experiment: He atoms at 83K, with d=8m and D=64cmSeparation be
20、tween maxima:Measured separation:Predicted separation:Predicted de Broglie wavelength:Good agreement with experiment(proof following)29Neutrons, A Zeilinger et al. 1988 Reviews of Modern Physics 60 1067-1073 He atoms: O Carnal and J Mlynek 1991 Physical Review Letters 66 2689-2692 C60 molecules: M A
21、rndt et al. 1999 Nature 401 680-682 With multiple-slit gratingWithout gratingEXPERIMENTAL RESULTSInterference patterns can not be explained classically - clear demonstration of matter wavesFringe visibility decreases as molecules are heated. L. Hackermller et al. 2004 Nature 427 711-714 30Some key p
22、apers in the development of the double-slit experiment during the 20th century:Performed with a light source so faint that only one photon exists in the apparatus at any one timeG I Taylor 1909 Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 15 114-115Performed with electrons C Jnsson 1961 Zeitsc
23、hrift fr Physik 161 454-474,(translated 1974 American Journal of Physics 42 4-11)Performed with single electrons A Tonomura et al. 1989 American Journal of Physics 57 117-120Performed with neutronsA Zeilinger et al. 1988 Reviews of Modern Physics 60 1067-1073Performed with He atomsO Carnal and J Mly
24、nek 1991 Physical Review Letters 66 2689-2692Performed with C60 moleculesM Arndt et al. 1999 Nature 401 680-682Performed with C70 molecules showing reduction in fringe visibility as temperature risesand the molecules “give away” their position by emitting photonsL. Hackermller et al 2004 Nature 427
25、711-714Performed with Na Bose-Einstein CondensatesM R Andrews et al. 1997 Science 275 637-641An excellent summary is available in Physics World (September 2002 issue, page 15)and at http:/physicsweb.org/ (readers voted the double-slit experiment “the most beautiful in physics”).DOUBLE-SLIT EXPERIMEN
26、TBIBLIOGRAPHY31波函数及其统计解释回顾电子的杨氏实验。条纹强度指的是什么？12双缝器探测P1P2P12xx电子枪xx(b)(c)(d)32波函数及其统计解释玻恩（M.Born）1926年对波函数作出统计诠释。玻恩假定: 德布罗意波是描述粒子在空间概率分布的概率波，概率波的波函数用 表示。 是描述粒子在空间的几率分布的“概率振幅”(probability amplitude)n波函数的模方 代表时刻t，在空间r r点处单位体积中发现一个粒子的概率密度。n时刻t在空间r r点附近点附近 体积内发现粒子的概率为33波函数及其统计解释波函数代表物理系统（电子，原子，方子，各种多粒子系统等
27、）所处的状态，它包含物理系统的所有信息。量子力学公设：注解：态矢量也表示物理系统的状态，包含物理系统的全部信息。 比较：偏振态的概率幅；位置空间的态矢量，基础态34波函数归一化条件时刻t在空间r r点附近点附近 体积内发现粒子的概率为 在全空间发现粒子的概率为1。我们有波函数归一化条件：35波函数归一化问题统计诠释要求波函数平方可要求波函数平方可积，即，即有限正常数有限正常数如果如果则称则称归一化了。这时的归一化了。这时的表示粒子空间分布的概率密度。表示粒子空间分布的概率密度。36【例例】基基态氢原子中原子中电子的波函数子的波函数为其中，其中，C代表代表归一化因子，一化因子，为玻玻尔尔半径半径
28、（1）求）求归一化因子一化因子C因此，归一化波函数为因此，归一化波函数为 （2 2）求电子出现在球壳）求电子出现在球壳中的概率中的概率37n“发现电子处于某个位置”是指测量电子的位置，测量结果显示电子处于某个点 。此时，电子状态已经不再是原来的波函数 ，而是一个新的有确切位置的状态。测量改变了电子的状态。测量改变了电子的状态。测量过程实际上是波包坍缩的过程。测量过程实际上是波包坍缩的过程。回顾光子偏振状态测量。PBS对测量(measurement)的注解38对测量(measurement)的注解测量将量子状态强行投放到被测物理量的某个本征态上。（即波包塌缩，wave-packet collap
29、se）量子力学迄今未回答测量为什么会导致波包塌缩，本课程不讨论这个问题。波包坍缩会导致被测物理系统状态的改变，除非该系统原本就处于待测物理量的某个本征态。注解：“被测物理量的本征态”是指对于被测物理量有确定值的态。例如，若被测物理量是位置，“则位置本征态”就指位置有确定值的态。39对测量(measurement)的注解波包塌缩举例：1）偏振测量。2）位置测量。40对测量(measurement)的注解举例：1）偏振测量。水平偏振片，待测物理量本征态：2）位置测量。测量空间本征态：具有确切位置的态：荧光板偏振片测量与观察者意识无关。量子力学现有框架不考虑波包是如何坍塌的41对测量(measure
30、ment)的注解n即便状态（波函数）一样，单次测量结果未必一样。除非测量之前系统所处的状态对于待测物理量已经有确定值。例如：偏振，位置n在一次测量之后，紧接着对同一物理系统测量同一物理量，必然获得与前次测量同样的结果。n测量平均值（期待值）不是单次测量结果42不确定原理与测量不确定原理与测量任何波函数不能同时给出位置与动量的精确值。任何粒子，任何物理系统，在客观上不能同时具有确定的位置与确定的动量。定量地说，如果粒子被局限在 方向的 范围内，同一方向的动量必然有一个范围 且必须满足条件 43不确定原理(Uncertainty Principle)此原理的一个必然后果就是“测不准原理”：对任一客
31、体进行测量，以不确定量 测定其动量的 分量时，就不可能同时测定其位置比 更准确。-海森堡44不确定原理不确定原理(Uncertainty (Uncertainty Principle)Principle)例如，对于一个有确定动量（p）的电子，其位置z必然完全不确定，反之亦然。有确定动量电子的波函数为：平面波，波列无限长，在任何位置z发现电子的概率都相同，即位置完全不确定。45不确定原理(Uncertainty Principle)认为电子集中在此区域电子束axPPx=h/P 位置和动量的不确定关系位置和动量的不确定关系。粒子在同一方向上的位置粒子在同一方向上的位置和动量不能同时确定。和动量不能
32、同时确定。经典力学中，可用“轨道”来描写粒子的运动， 而微观粒子却不行。以电子单缝衍射为例x =a；由于 0PxPsin故在x方向动量不确定度P x=P sin=h sin/衍射关系a sin=x sin= 故 x Px= h把其余明纹的贡献考虑在内, 有xPxh46问题讨论问题讨论有人说，“我已经知道飞向单缝的（平面波）粒子在x方向动量为0，它穿过极窄的单缝后，位置也知道了。位置与动量可以精确掌握。”这不是不确定关系所谈的事。不确定关系指的是对某一个状态测量结果的预知预知极限。即，我们要求的是，对某个特定（时刻的）状态，回答：如果观测其位置，它是在什么范围；如果我观测其动量，它会在什么范围。
33、“有人说”的那个结果指的是：对于粒子在飞到挡板之前的状态，我们知道其动量（但不知其位置）；对于粒子通过窄缝后的状态，我们知道其位置（但是不知道其动量）。其实就是说：我既知道状态A的准确动量，又知道状态B的准确位置。这与我们说的同时知道某一个特定状态的位置与动量无关。 47问题讨论不确定关系认为，原则上，对这种预期观测值范围要满足一个关系。先测位置再测动量，不能给出任何预期性的范围。因为，当你观测位置时，你已经扰动了其动量状态，反之亦然。当你精确测量了某电子的位置，你可以精确预测电子的位置：当你立即对电子位置实施第二次测量，必然发现还是第一次测量的位置。但是你已经无法知道位置测量之前电子的动量了
34、。你也无法预言位置测量之后的电子动量：当你在精确测量位置之后，其动量已经是完全不确定的了。48不确定原理是说位置与动量不能同时确定。系统波函数是可以精确确定的，波函数的演化也是决定论式的。波函数的演化规律将是本课程的一个重点学习内容。问题讨论49对原子大小的粗略估计依经典电磁学理论，核外电子将不断辐射电磁波而作螺旋运动，最后落到原子核上。不确定关系可解决这一困难。假定电子离核距离为 .动量的弥散约为 。这就是说，电子动量数量级为 。于是动能是 。假定原子作能量最低安排： 这只是粗略估算，不必太过认真！ 50对原子大小的粗略估计1，经典电磁学：电子越靠近原子核能量越低。与原子核紧挨着的情况能量最
35、低。因此不支持核式结构。而量子物理学认为：由于不确定关系，若电被限制在一个很小的空间，其动量不确定度变大，动能升高从而总能量可能升高。因此电子不能无限靠近原子核。2， 总能量为负值。13.6eV为电离一个氢原子的能量，称为Rydberg能量。以上只是一个粗略估算！51能量，时间不确定性可用于估算粒子寿命与能量范围，精确测量能量所需要的最短时间等问题。这个关系式的导出可参见Haliday Physics.52算符与测量平均值任何动力学量（可观测量）都对应于一个算符。设物理量a对应于算符A。若某物理系统波函数为 对该系统光测a值，平均值为：注：“动力学量”是指位置，动量，能量，角动量等物理量，在本课程我们将简称为“物理量”。时间是一个参量，没有算符。53设位置算符为X。 一方面，依据波函数的概率诠释，位置平均值为：另一方面，依据上述算符公式，由此可假定：若以位置空间波函数来表示系统状态，则54以后我们还将说明，若以位置空间波函数来表示系统状态，则动量算符为：动量平均值为：对三维情况，采用：
